ルートヴィヒ・ボルツマン

ルートヴィヒ・ボルツマン フランス
1902年のボルツマン
生まれる	ルートヴィヒ・エドゥアルト・ボルツマン ( 1844-02-20 )1844年2月20日 ウィーン、オーストリア帝国
死亡	1906年9月5日（1906-09-05）（62歳） タイバイン、ゴリツィアとグラディスカ、オーストリア＝ハンガリー
母校	ウィーン大学（1866年博士号取得、1869年博士号取得）
知られている	統計力学 ボルツマン脳 ボルツマンのエントロピーの式 ボルツマン定数 ボルツマン方程式 ボルツマン分布 マクスウェル・ボルツマン分布 シュテファン・ボルツマン定数 シュテファン・ボルツマンの法則 マクスウェル・ボルツマン統計 ボルツマン・マタノ解析 ボルツマン因子 ボルツマン関係 標準的なアンサンブル 詳細なバランス 認識論的観念論 エルゴード仮説 等分割定理 H定理 記憶力のある素材 微視的可逆性 位相空間 ソフトマックス関数
受賞歴	ForMemRS（1899）[1]
科学者としてのキャリア
フィールド	物理
機関	グラーツ大学 ウィーン大学 ミュンヘン大学 ライプツィヒ大学
論文	機械理論の使用法 (1866)
博士課程の指導教員	ヨーゼフ・ステファン
その他の学術アドバイザー	ロバート・ブンゼン レオ・ケーニヒスベルガー グスタフ・キルヒホフ ヘルマン・フォン・ヘルムホルツ
博士課程の学生	ポール・エーレンフェスト フィリップ・フランク グスタフ・ヘルグロッツ フランク・ホチェヴァル イグナチ・クレメンチッチ
その他の著名な学生	リーゼ・マイトナー ステファン・マイヤー
サイン

ルートヴィヒ・エドゥアルト・ボルツマン（/ ˈ b ɒ l t s m ə n /、^[2] 米国では/ ˈ b oʊ l -, ˈ b ɔː l -/ 、^{[2] [3]} オーストリア領ドイツ語: [ˈluːdvɪɡ ˈbɔltsman] ; 1844年2月20日 - 1906年9月5日）は、オーストリアの物理学者、哲学者。彼の最大の業績は、統計力学の開発と、熱力学第二法則の統計的説明である。1877年に彼は、エントロピーの現在の定義、を提示した。ここで、 Ω は、システムのエネルギーに等しいエネルギーを持つミクロ状態の数であり、システムの統計的無秩序性の尺度として解釈される。^[4]マックス・プランクは定数k _{B を}ボルツマン定数と名付けた。^[5] ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

統計力学は現代物理学の柱の一つです。統計力学は、マクロ的な観察（温度や圧力など）が平均値の周りで変動するミクロなパラメータとどのように関係しているかを説明します。統計力学は熱力学的量（熱容量など）をミクロな挙動に結び付けますが、古典的な熱力学では、さまざまな材料についてそのような量を測定し、表にまとめるしか選択肢がありませんでした。^[6]

ボルツマンはウィーン郊外のエルトベルクでカトリックの家庭に生まれた。父ルートヴィヒ・ゲオルク・ボルツマンは税務官だった。ベルリンからウィーンに移住した祖父は時計製造業者で、母カタリーナ・パウエルンファインドはザルツブルク出身だった。ボルツマンは10歳まで自宅で学び、^[7]その後オーストリア北部のリンツの高校に通った。ボルツマンが15歳のとき、父親が亡くなった。^[8]

1863年から、ボルツマンはウィーン大学で数学と物理学を学び、1866年に博士号、1869年にヴェニア・レジェンディを取得した。ボルツマンは物理学研究所所長のヨーゼフ・シュテファンと緊密に協力した。ボルツマンにマクスウェルの研究を紹介したのはシュテファンであった。 ^[8]

1869年、25歳のとき、ヨーゼフ・シュテファン^[9]の推薦状のおかげで、ボルツマンはシュタイアーマルク州のグラーツ大学の数理物理学の教授に任命されました。1869年に彼はハイデルベルクで数か月を過ごし、ロバート・ブンゼンとレオ・ケーニヒスベルガーと共に働き、1871年にはベルリンでグスタフ・キルヒホフとヘルマン・フォン・ヘルムホルツと共に働きました。1873年にボルツマンはウィーン大学の数学教授に就任し、1876年までそこに留まりました。

1872年、オーストリアの大学に女性が入学できるよりずっと前に、ボルツマンはグラーツで数学と物理学の教師を志すヘンリエッテ・フォン・アイゲントラーと出会った。彼女は非公式に講義を聴講することを許可されなかった。ボルツマンは彼女の上訴の決定を支持し、それが認められた。1876年7月17日、ルートヴィヒ・ボルツマンはヘンリエッテと結婚し、ヘンリエッテ（1880年）、イダ（1884年）、エルゼ（1891年）の3人の娘と、アーサー・ルートヴィヒ（1881年）の息子が生まれた。^[10]ボルツマンは実験物理学の教授職に就くためグラーツに戻った。グラーツでの彼の教え子にはスヴァンテ・アレニウスやヴァルター・ネルンストなどがいた。^{[11] [12]}彼はグラーツで14年間を幸せに過ごし、そこで統計的な自然の概念を発展させた。

ボルツマンは1890年にドイツのバイエルン州ミュンヘン大学の理論物理学教授に任命されました。

1894年、ボルツマンは師であるヨーゼフ・シュテファンの後任としてウィーン大学の理論物理学教授に就任した。

ボルツマンは晩年、自身の理論を擁護するために多大な努力を費やした。^{[13]彼はウィーンの同僚の一部、特に1895年に哲学と科学史の教授となった}エルンスト・マッハとうまくいっていなかった。同年、ゲオルク・ヘルムとヴィルヘルム・オストワルドはリューベックでの会議でエネルギー論に関する自分たちの立場を発表した。彼らは、宇宙の主成分は物質ではなくエネルギーであると考えた。ボルツマンの立場は、論争で彼の原子理論を支持した他の物理学者の間で支持された。^[14] 1900年、ボルツマンはヴィルヘルム・オストワルドの招待でライプツィヒ大学に赴任した。オストワルドは、グスタフ・ハインリヒ・ヴィーデマンの死去により空席となった物理学の教授職をボルツマンに提供した。マッハが健康不良のため引退した後、ボルツマンは1902年にウィーンに戻った。^{[13] 1903年、ボルツマンはグスタフ}・フォン・エシェリヒ、エミール・ミュラーとともにオーストリア数学協会を設立した。彼の教え子にはカール・プジブラム、パウル・エーレンフェスト、リーゼ・マイトナーなどがいた。^[13]

ウィーンでボルツマンは物理学を教え、哲学の講義も行いました。ボルツマンの自然哲学の講義は非常に人気があり、かなりの注目を集めました。彼の最初の講義は大成功でした。最も大きな講堂が選ばれたにもかかわらず、聴衆は階段の下まで立ちっぱなしでした。ボルツマンの哲学講義が大成功を収めたため、皇帝は彼を宮殿での歓迎会に招待しました^{[いつ? ] 。 [15]}

1905年、彼はカリフォルニア大学バークレー校の夏期講座で招待講義を行い、その内容を人気エッセイ『ドイツ人教授のエルドラド旅行』に記した。^[16]

1906年5月、学部長の手紙で「重度の神経衰弱」と表現されたボルツマンの精神状態の悪化により、彼は職を辞せざるを得なくなった。彼の症状は、今日では双極性障害と診断されるような症状を患っていたことを示している。^{[13] [17]} 4ヵ月後の1906年9月5日、彼は妻と娘と休暇中にトリエステ（当時はオーストリア）近郊のドゥイーノで首を吊って自殺した。 ^{[18] [19] [20] [17]彼はウィーン}中央 墓地に埋葬されている。彼の墓石にはボルツマンのエントロピー式が刻まれている。^[13]${\displaystyle S=k\cdot \log W}$

ボルツマンの気体運動論は原子や分子の存在を前提としているように思われたが、ドイツの哲学者はほとんど全員、またエルンスト・マッハや物理化学者 ヴィルヘルム・オストワルドなどの多くの科学者はそれらの存在を信じなかった。^[21]ボルツマンは、原子論者ジェームズ・クラーク・マクスウェルの論文「気体の動力学理論の図解」によって分子理論に触れた。この論文では温度が分子の速度に依存すると説明されており、物理学に統計学が導入された。これがボルツマンに原子論を受け入れ、理論を拡張するきっかけを与えた。^[22]

ボルツマンは「無生物自然における過程の客観的存在の問題について」（1897年）などの哲学論文を執筆した。彼は現実主義者であった。^[23]著書「ショーペンハウアーのテーゼについて」で、ボルツマンは自身の哲学を唯物論と呼び、さらに「観念論は自我と様々な観念だけが存在すると主張し、それらから物質を説明しようとする。唯物論は物質の存在から出発し、そこから感覚を説明しようとする。」と述べている。^[24]

ボルツマンの最も重要な科学的貢献は、熱力学第二法則に基づく気体運動論にある。これは、ニュートン力学が過去と未来の運動を区別しなかったが、ルドルフ・クラウジウスによる第二法則を説明するエントロピーの発明は分子レベルでの分散または分散に基づいていたため、未来は一方向であったため重要であった。ボルツマンがジェームズ・クラーク・マクスウェルの気体運動論に関する研究に出会ったのは25歳の時であり、この研究では温度は分子の衝突によって引き起こされると仮定していた。マクスウェルは統計を使用して分子の運動エネルギー分布の曲線を作成し、ボルツマンはそこから運動論とエントロピーの考えを明確化して発展させ、気体中の分子の速度の説明としてマクスウェル・ボルツマン分布を作成した。 ^[25]マクスウェルと彼が作成した確率分布の動的発展をモデル化する最初の方程式を導いたのはボルツマンであった。^[26]ボルツマンの重要な洞察は、分散は分子の「状態」の増加の統計的確率によって発生するというものであった。ボルツマンは、分布方程式を気体だけでなく液体や固体にも適用することでマクスウェルを超えた。ボルツマンはまた、1877年の論文で、エントロピーが熱、空間分離、放射によって増加することを実証することで、カルノー、ルドルフ・クラウジウス、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ケルビン卿を超えて理論を拡張した。 ^[27]マクスウェル・ボルツマン統計とボルツマン分布は、古典統計力学の基礎において中心的な位置を占め続けている。これらは、量子統計を必要としない他の現象にも適用でき、温度の意味についての洞察を提供する。

彼は熱力学の第二法則を説明するために多くの試みを行ったが、その試みは多岐にわたる。彼はヘルムホルツのモノサイクルモデル^{[28] [29]} 、ギブスのような純粋なアンサンブルアプローチ、エルゴード理論のような純粋な機械的アプローチ、組合せ論的議論、ストーザランザッツ^[30]などを試した。

1808年のジョン・ドルトン、スコットランドのジェームズ・クラーク・マクスウェル、米国のジョサイア・ウィラード・ギブスの発見以来、ほとんどの化学者はボルツマンの原子と分子の信念を共有していましたが、物理学界の権威の多くは数十年後までこの信念を共有していませんでした。ボルツマンは、当時のドイツの著名な物理学雑誌の編集者と長く論争していました。編集者は、ボルツマンが原子と分子を便利な理論的構成以外のものとして言及することを許可しませんでした。ボルツマンの死後わずか数年後、 1905年のアインシュタインの理論的研究に基づいたペランのコロイド懸濁液の研究（1908〜1909年）は、アボガドロ定数とボルツマン定数の値を確認し、微小粒子が実際に存在することを世界に納得させました。

プランクを引用すると、「エントロピーと確率の対数的な関係は、L・ボルツマンが気体の運動論で初めて示した」 ^[31]。エントロピーSのこの有名な式は、 ^[32]である。もう1つの方法は、1948年にクロード・シャノンが導入した情報エントロピーの定義である。^[33]これは通信理論での使用を意図したものだが、あらゆる分野に適用できる。すべての確率が等しい場合はボルツマンの式に簡約されるが、そうでない場合ももちろん使用できる。その長所は、階乗やスターリングの近似に頼ることなく、即座に結果が得られることである。しかし、同様の式はボルツマンの研究にまで遡り、ギブズにも明示的に示されている（参考文献を参照）。 ここで、k _Bはボルツマン定数、ln は自然対数である。W（ドイツ語で「確率」を意味するWahrscheinlichkeitの略）は、マクロ状態の発生確率^[34]、またはより正確には、システムのマクロ状態に対応する可能なミクロ状態の数、つまり、さまざまな分子に異なる位置と運動量を割り当てることによって実現できる、システムの（観測可能な）熱力学的状態の（観測不可能な）「方法」の数です。ボルツマンのパラダイムは、 N 個の同一の粒子からなる理想気体で、そのうちN _{i は}位置と運動量のi番目のミクロ状態（範囲）にあります。W は、順列 の公式を使用してカウントできます。 ここで、i はすべての可能な分子状態にわたる範囲であり、 は階乗を表します。分母の「補正」は、同じ状態にある区別できない粒子 を考慮しています。 $${\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln W}$$ $${\displaystyle W=N!\prod _{i}{\frac {1}{N_{i}!}}}$$${\displaystyle !}$

ボルツマンは1877年に物理系のエネルギーレベルは離散的である可能性があると示唆したことから量子力学の先駆者の一人とも考えられるが、ボルツマンはこれを物理的な意味を持たない数学的装置として使用した。^[35]

ボルツマン方程式は理想気体のダイナミクスを記述するために考案されました。 ここで、ƒ は特定の時間における単一粒子の位置と運動量の分布関数を表し（マクスウェル・ボルツマン分布を参照）、Fは力、mは粒子の質量、tは時間、v は粒子の平均速度です。 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {F}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{\mathrm {衝突} }}$$

この方程式は、単一粒子位相空間における点群の密度分布の位置と運動量の確率分布の時間的および空間的変化を記述します。(ハミルトン力学を参照してください。) 左辺の第 1 項は分布関数の明示的な時間変化を表し、第 2 項は空間変化を与え、第 3 項は粒子に作用する力の影響を記述します。方程式の右辺は衝突の影響を表します。

原理的には、適切な境界条件が与えられれば、上記の方程式は気体粒子の集団のダイナミクスを完全に記述します。この一次微分方程式は、 f が任意の単一粒子分布関数を表すことができるため、一見単純に見えます。また、粒子に作用する 力は、速度分布関数fに直接依存します。ボルツマン方程式は積分するのが難しいことで有名です。デビッド・ヒルベルトは何年もかけてこの方程式を解こうとしましたが、実際には成功しませんでした。

ボルツマンが想定した衝突項の形は近似的でした。しかし、理想気体の場合、ボルツマン方程式の標準的なチャップマン-エンスコグ解は非常に正確です。衝撃波条件下でのみ、理想気体に対して誤った結果をもたらすことが予想されます。

ボルツマンは長年、彼のガス力学方程式、つまり有名なH定理を使って熱力学の第二法則を「証明」しようと試みた。しかし、衝突項を定式化する際に彼が立てた重要な仮定は「分子カオス」であり、第二法則を示唆するあらゆるものに必要な時間反転対称性を破る仮定だった。ボルツマンの見かけ上の成功は確率的仮定のみから生まれたため、ロシュミットのパラドックスをめぐるロシュミットらとの長い論争は最終的に失敗に終わった。

最終的に、1970年代にEGDコーエンとJRドルフマンは、ボルツマン方程式を高密度に系統的（べき級数的）に拡張することは数学的に不可能であることを証明しました。その結果、高密度の気体と液体の非平衡統計力学では、代わりにグリーン-久保関係、ゆらぎ定理、およびその他のアプローチに重点が置かれています。

熱力学の第二法則、または「エントロピーの法則」が無秩序の法則である（または、動的に秩序立った状態は「限りなくあり得ない」）という考えは、熱力学の第二法則に対するボルツマンの見解によるものです。

特に、ボルツマンはそれを確率的衝突関数、つまり機械的粒子のランダム衝突から生じる確率法則に還元しようとした。マクスウェルに倣って、^[36]ボルツマンは気体分子を箱の中で衝突するビリヤードのボールとしてモデル化し、衝突のたびに非平衡速度分布（同じ速度と方向に移動する分子のグループ）が次第に無秩序になり、最終的には巨視的均一性と最大微視的無秩序性、または最大エントロピー状態（巨視的均一性はすべての場のポテンシャルまたは勾配の消滅に対応）の状態に至ることを指摘した。^[37]彼は、第二法則は単に、機械的に衝突する粒子の世界では無秩序な状態が最も起こりやすいという事実の結果であると主張した。秩序ある状態よりも無秩序な状態の方がはるかに多いため、システムはほぼ常に最大無秩序状態（平衡状態にある箱の中のガスなど、アクセス可能なミクロ状態が最も多いマクロ状態）にあるか、それに向かって動いているかのいずれかになります。ボルツマンは、分子が「同じ速度と方向」で動く動的秩序状態は、「考えられる最もあり得ないケース...無限にあり得ないエネルギー構成」であると結論付けました。^[38]

ボルツマンは、熱力学の第二法則が単なる統計的事実であることを示すという偉業を成し遂げた。エネルギーが徐々に無秩序になっていくことは、最初は整然としていたトランプが何度もシャッフルされることによって無秩序になっていくことに似ており、カードを膨大な回数シャッフルすれば最終的に元の順序に戻るのと同じように、宇宙全体もいつかは、まったくの偶然によって、最初の状態に戻るに違いない。（死にゆく宇宙という考えに対するこの楽観的な結論は、それが自然に起こるまでにおそらく経過するであろうタイムラインを推定しようとすると、いくぶん弱まる。）^[39]エントロピーが増加する傾向は、熱力学の初心者には理解しにくいように思えるが、確率論の観点からは理解しやすい。6 が両方とも表を向いた 2 つの普通のサイコロを考えてみよう。サイコロを振った後、これら 2 つの 6 が表を向く確率は小さい（36 分の 1）。したがって、サイコロのランダムな動き（攪拌）は、熱エネルギーによる分子の混沌とし​​た衝突のように、確率の低い状態を確率の高い状態へと変化させると言えます。熱力学計算に含まれる数百万の原子のように、数百万のサイコロがある場合、すべてが6になる確率は非常に小さくなるため、システムはより確率の高い状態のいずれかに移行する必要があります。 ^[40]

ルートヴィヒ・ボルツマンの物理学と哲学への貢献は、現代科学に永続的な影響を残しました。統計力学と熱力学における彼の先駆的な研究は、物理学の最も基本的な概念のいくつかの基礎を築きました。たとえば、マックス・プランクは、黒体放射理論における共振器の量子化において、システムのエントロピーを記述するためにボルツマン定数を使用し、1900年に彼の公式に到達しました。 ^[41]しかし、ボルツマンの研究は彼の生前必ずしも容易に受け入れられたわけではなく、特に原子と分子の存在に関して、同時代の人々から反対に直面しました。それでも、彼のアイデアの妥当性と重要性は最終的に認識され、それ以来、現代物理学の基礎となっています。ここでは、ボルツマンの遺産と科学のさまざまな分野への影響のいくつかの側面を掘り下げます。

ボルツマンの気体運動論は、圧力や温度などのマクロな特性を個々の原子や分子の挙動の観点から説明する最初の試みの 1 つでした。多くの化学者がすでに原子や分子の存在を認めていましたが、物理学界全体がこの見解を受け入れるまでには時間がかかりました。ボルツマンとドイツの著名な物理学雑誌の編集者との間で原子や分子の受け入れをめぐって長く続いた論争は、この考えに対する当初の抵抗を浮き彫りにしています。

原子と分子の存在が広く受け入れられるようになったのは、ジャン・ペランのコロイド懸濁液の研究などの実験によってアボガドロ定数とボルツマン定数の値が確認されてからです。ボルツマンの運動論は、原子と分子の実在を実証し、気体、液体、固体のさまざまな現象を説明する上で重要な役割を果たしました。

ボルツマンが開拓した統計力学は、マクロな観察とミクロな挙動を結び付けます。熱力学の第二法則に対する彼の統計的説明は重要な業績であり、エントロピー ( ) の現在の定義を提供しました。ここで、k _Bはボルツマン定数、Ω は特定のマクロ状態に対応するミクロ状態の数です。 ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

マックス・プランクは後に、ボルツマンの統計力学への貢献を称えて定数k _Bをボルツマン定数と名付けました。ボルツマン定数は熱力学量を微視的特性と関連付ける上で中心的な役割を果たしており、現在では物理学における基本的な定数として、多くの科学分野のさまざまな方程式に登場しています。

ボルツマン方程式は希薄気体や希薄ガスの問題を解決するのに実用的であるため、さまざまな技術分野で使用されています。スペースシャトルの上層大気圏への再突入を計算するのに使用されています。^{[42]これは}中性子輸送理論や半導体におけるイオン輸送の基礎となっています。^{[43] [44]}

ボルツマンの統計力学における研究は、自由度の高いシステムにおける粒子の統計的挙動を理解するための基礎を築きました。1877年の論文では、彼は物理システムの離散的なエネルギーレベルを数学的な装置として使い、同じことが連続システムにも適用できることを示しました。これは量子力学の発展の先駆けとも言えます。^[45]ボルツマンの伝記作家の一人は、ボルツマンのアプローチが「プランクへの道を開いた」と述べています。^[46]

エネルギー準位の量子化の概念は量子力学における基本原理となり、量子電気力学や量子場理論などの画期的な理論につながりました。したがって、エネルギー準位の量子化に関するボルツマンの初期の洞察は、量子物理学の発展に大きな影響を与えました。

• Verhältniss zur Fernwirkungstheorie、Specielle Fälle der Elektrostatik、stationären Strömung und Induction (ドイツ語)。 Vol. 2. ライプツィヒ：ヨハン・アンブロジウス・バルト。 1893年。
• Theorie van der Waals、Gase mit zusammengesetzten Molekülen、Gasdissociation、Schlussbemerkungen (ドイツ語)。 Vol. 2. ライプツィヒ：ヨハン・アンブロジウス・バルト。 1896年。
• Theorie der Gase mit einaomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere Weglänge verschwinden (ドイツ語)。 Vol. 1. ライプツィヒ：ヨハン・アンブロジウス・バルト。 1896年。
• Abreilung der Grundgleichungen für ruhende、均質、等方性 Körper (ドイツ語)。 Vol. 1. ライプツィヒ：ヨハン・アンブロジウス・バルト。 1908年。
• Vorlesungen uber Gastheorie (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。 1922年。

• 
  『Vorlesungen uber Gastheorie』第 1 巻と第 2 巻(1896-1898)
• 
  『Vorlesungen über Gastheorie』第 1 巻と第 2 巻のタイトルページ(1896-1898)
• 
  『Vorlesungen über Gastheorie』第 1 巻と第 2 巻の目次(1896-1898)
• 
  『Vorlesungen uber Gastheorie』第 1 巻と第 2 巻の紹介(1896-1898)

1885年にオーストリア帝国科学アカデミーの会員となり、1887年にはグラーツ大学の総長となった。 1888年にはスウェーデン王立科学アカデミーの会員に選出され、 1899年には王立協会外国人会員（ForMemRS）に選出された。^[1] 彼にちなんで名付けられた ものは数多くある。

• 熱力学
• 統計力学

• Roman Sexl & John Blackmore (編)、「Ludwig Voltzmann – Ausgewahlte Abhandlungen」、(Ludwig Voltzmann Gesamtausgabe、Band 8)、Vieweg、ブラウンシュヴァイク、1982 年。
• ジョン・ブラックモア（編）、「ルートヴィヒ・ボルツマン - 晩年の人生と哲学、1900-1906、第 1 巻：ドキュメンタリー史」、クルーワー、1995 年。ISBN 978-0-7923-3231-2 
• ジョン・ブラックモア、「ルートヴィヒ・ボルツマン - 晩年の人生と哲学、1900-1906、第 2 巻: 哲学者」、クルーワー、ドルドレヒト、オランダ、1995 年。ISBN 978-0-7923-3464-4 
• ジョン・ブラックモア（編）、「ルートヴィヒ・ボルツマン ― 哲学者としての悩める天才」、シンセシス、第119巻、第1号および第2号、1999年、1～232ページ。
• ブランデル、スティーブン; ブランデル、キャサリン M. (2006)。熱物理学の概念。オックスフォード大学出版局。p. 29。ISBN 978-0-19-856769-1。
• ボルツマン、ルートヴィッヒ・ボルツマン – Leben und Briefe、Walter Hoeflechner 編、Akademische Druck-u。フェルラーグサンシュタルト。グラーツ、エスターライヒ、1994
• ブラッシュ、スティーブン G.（編訳）、ボルツマン、気体理論講義、カリフォルニア州バークレー：カリフォルニア大学出版局、1964年
• ブラッシュ、スティーブン・G（編）、運動理論、ニューヨーク：ペルガモン・プレス、1965年
• ブラッシュ、スティーブン G. (1970)。「ボルツマン」。チャールズ・コールストン・ギリスピー (編)。科学人名辞典。ニューヨーク: スクリブナー。ISBN 978-0-684-16962-0。
• ブラッシュ、スティーブン・G. (1986)。熱と呼ぶ運動の種類：気体の運動理論の歴史。アムステルダム：北ホラント。ISBN 978-0-7204-0370-1。
• セルチニャーニ、カルロ（1998年）。ルートヴィヒ・ボルツマン：原子を信じた男。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-850154-1。
• ダリゴル、オリヴィエ（2018）。原子、力学、確率：ルートヴィヒ・ボルツマンの統計力学。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-881617-1。
• Ehrenfest, P. & Ehrenfest, T. (1911) "Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik"、Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Band IV、2. Teil (F. Klein および C. Müller (編))ライプツィヒ: Teubner、3 ～ 90頁、「力学における統計的アプローチの概念的基礎」として翻訳。ニューヨーク: コーネル大学出版局、1959 年。 
• エバーデル、ウィリアム・R（1988年）。「継続性の問題とモダニズムの起源：1870-1913年」。ヨーロッパ思想史。9（5）：531-552。doi ：10.1016/0191-6599（88）90001-0。
• エバーデル、ウィリアム・R（1997年）。『The First Moderns』シカゴ：シカゴ大学出版局。ISBN 9780226224800。
• ギブス、ジョサイア・ウィラード（1902年）。『統計力学の基本原理、特に熱力学の理論的基礎に関連して展開』。ニューヨーク：チャールズ・スクリブナー・サンズ。
• ジョンソン、エリック（2018）。不安と方程式：ボルツマンのエントロピーを理解するMITプレス。ISBN 978-0-262-03861-4。
• Klein, Martin J. (1973)。「ボルツマンの統計的アイデアの発展」。EGD Cohen ; W. Thirring (編)。ボルツマン方程式: 理論と応用。Acta physica Austriaca 補足 10。ウィーン: Springer。pp. 53–106。ISBN 978-0-387-81137-6。
• リンドリー、デイビッド（2001年）。『ボルツマンの原子：物理学に革命をもたらした大論争』ニューヨーク：フリープレス。ISBN 978-0-684-85186-0。
• ロトカ、AJ (1922)。 「進化のエネルギー論への貢献」。Proc . Natl. Acad. Sci. USA。8  ( 6 ): 147–51。Bibcode : 1922PNAS .... 8..147L。doi : 10.1073/ pnas.8.6.147。PMC 1085052。PMID 16576642。 
• ステファン・マイヤー(1904)。 1904 年 2 月 20 日、ルートヴィヒ ボルツマンの祝祭 (ドイツ語)。 JA・バース。
• プランク、マックス(1914)。熱放射の理論。P. Blakiston Son & Co.モートン・マシウスによる『Waermestrahlung 』第2版の英訳。ドーバー社（ 1959年）および（1991年）により再版。ISBN 0-486-66811-8 
• シャープ、キム（2019）。エントロピーと数え方の道：統計力学と熱力学第二法則の簡単な入門（SpringerBriefs in Physics）。Springer Nature。ISBN 978-3030354596 
• トールマン、リチャード C. (1938)。統計力学の原理。オックスフォード大学出版局。再版：ドーバー（1979年）。ISBN 0-486-63896-0 

• Uffink, Jos (2004) 「統計物理学におけるボルツマンの研究」スタンフォード哲学百科事典2007 年6 月 11 日閲覧。
• ルートヴィヒ・ボルツマン - 無秩序の天才 (Youtube)
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ルートヴィヒ・ボルツマン」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ルース・ルーウィン・シメ著『リーゼ・マイトナー: 物理学に携わった人生』第 1 章「ウィーンの少女時代」では、リーゼ・マイトナーがボルツマンの教育と経歴について語っています。
• Eftekhari, Ali、「ルートヴィヒ・ボルツマン (1844–1906)」。多数の引用とともに、ボルツマンの哲学的見解について論じています。
• ラジャセカール、S.アサヴァン、N. (2006 年 9 月 7 日)。 「ルートヴィヒ・エドワード・ボルツマン」。arXiv :物理学/0609047。
• 数学系譜プロジェクトにおけるルートヴィヒ・ボルツマン
• ワイスタイン、エリック・ヴォルフガング（編）。 「ルートヴィヒ、ボルツマン（1844–1906）」。サイエンスワールド。