コンパクトオペレーター

関数解析という数学の一分野において、コンパクト作用素とは、いくつかの重要な点で、行列などの有限次元作用素と同様の振る舞いをする線形作用素のことである。無限次元空間では、有界集合は通常コンパクトではなく、有界列は収束する部分列を持つとは限らない。コンパクト作用素は、有界集合をその閉包がコンパクトな集合に写像することによって、あるいは同等に、ノルム空間では、有界列を収束する部分列を持つ列に写像することによって、この有限次元的な振る舞いを部分的に回復させる。

コンパクト作用素は、積分方程式の理論において初めて登場し、多くの積分作用素がコンパクト性を持つ。これらは、フレドホルム選択、線形作用素のスペクトル理論、微分方程式やソボレフ空間への応用において中心的な役割を果たす。例えば、コンパクト性は、作用素の非ゼロスペクトルが有限の重複度を持つ孤立した固有値から構成され、ゼロにおいてのみ累積が可能であることを意味することが多い。

コンパクト演算子は、最初に積分方程式に関連して研究されました。典型的な例は、次の形式の演算子です。

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy,}$

関数${\displaystyle k}$は積分核と呼ばれる。${\displaystyle k}$オペレーター${\displaystyle K}$有界な関数族を、一様有界かつ等連続な関数族に送る。アルツェラ・アスコリの定理によれば、このような関数族は、次のような空間においてコンパクト閉包を持つ。${\displaystyle C([a,b])}$したがって、多くの積分演算子はコンパクトである。^{[ 1 ] [ 2 ]}

このコンパクト性は、一部の無限次元線形方程式を有限次元線形方程式系に似せることができるため有用である。例えば、フレドホルム方程式

${\displaystyle u-\lambda Ku=f}$

多くの場合、有限次元近似とフレドホルムの代替法によって研究することができる。このように、コンパクト作用素は具体的な積分方程式と関数空間上の作用素の抽象的なスペクトル理論との間の橋渡しとなる。^{[ 3 ]}

同様の考え方は、解析学の他の分野にも見られる。関数空間のコンパクト埋め込み、例えばソボレフ空間からLp空間への特定の埋め込みなどを用いることで、微分値問題や境界値問題を、コンパクト積分作用素に用いられる方法と同様の方法で扱うことができる。

このセクション全体を通して、${\displaystyle X,Y,Z}$指定されたとおり、ノルム空間またはバナッハ空間を表し、${\displaystyle B(X,Y)}$は、有界線形作用素の空間を表す。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$コンパクトオペレーター${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$は、${\displaystyle K(X,Y)}$。

コンパクト作用素は、フレドホルム作用素およびフレドホルム代替作用素と密接に関連している。この関連性は、コンパクト作用素が多くの点で有限次元線形写像のように振る舞う理由の一つである。

させて${\displaystyle X}$バナッハ空間にして${\displaystyle K:X\to X}$コンパクトにしてください。それから

${\displaystyle IK}$

はインデックス 0 のフレドホルム演算子です。 equivalently、${\displaystyle IK}$は有限次元であり、範囲は${\displaystyle IK}$閉鎖されており、

${\displaystyle \dim \ker(IK)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Im} (IK){\bigr )}.}$

より一般的には、すべてのスカラーに対して${\displaystyle \lambda \neq 0}$オペレーター

${\displaystyle \lambda IK}$

は指数ゼロのフレドホルムである。^{[ 3 ] [ 10 ]}

コンパクト作用素のスペクトル理論は、一般的な有界作用素のスペクトル理論よりも、有限次元線形代数に近い。

させて${\displaystyle X}$を無限次元複素バナッハ空間とし、${\displaystyle T:X\to X}$コンパクト演算子である。${\displaystyle 0}$スペクトルに属する${\displaystyle \sigma (T)}$。 とは別に${\displaystyle 0}$、すべてのスペクトル値${\displaystyle T}$は有限重複度の固有値です。より正確には、${\displaystyle \lambda \neq 0}$そして${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$、 それから

${\displaystyle \ker(T-\lambda I)}$

は有限次元であり、範囲は${\displaystyle T-\lambda I}$閉鎖されており、${\displaystyle \lambda }$スペクトルの孤立点である。^{[ 3 ] [ 11 ]}

したがって、非ゼロのスペクトルは有限か可算無限のいずれかである。無限の場合、その唯一の可能な集積点は${\displaystyle 0}$同等に、すべての${\displaystyle r>0}$セット

${\displaystyle \{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\}}$

は有限である。したがって、コンパクト作用素は非ゼロのスペクトル値の連続帯を持つことはできない。

非ゼロスペクトルの有限次元性は、フレドホルム理論の観点からも表現できる。${\displaystyle \lambda \neq 0}$オペレーター

${\displaystyle T-\lambda I}$

有限次元の核と余核を持ち、これらの次元は等しい。

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim {\bigl (}X/\operatorname {Im} (T-\lambda I){\bigr )}.}$

特に、${\displaystyle T-\lambda I}$可逆性を持たないのはまさに${\displaystyle \lambda }$これは固有値であり、残差やゼロから離れた連続スペクトルによるものではありません。

随伴も同じ非ゼロのスペクトル値を持つ。${\displaystyle \lambda \neq 0}$のスペクトル内にある${\displaystyle T}$、 それから${\displaystyle \lambda }$は随伴演算子の固有値でもある。${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$より正確には、

${\displaystyle \dim \ker(T-\lambda I)=\dim \ker(T^{*}-\lambda I)}$

代数的重複度を考慮に入れると。^{[ 3 ]}

これらの結果はしばしばリース・シャウダーのコンパクト作用素理論と呼ばれる。これらは、有限次元線形写像のスペクトルが固有値のみから構成されるという基本的な事実を一般化すると同時に、固有値が無限次元で蓄積される可能性があるという現象も許容する。${\displaystyle 0}$。

演算子のコンパクト性に関連する概念として、コンパクトなレゾルベントを持つ演算子がある。非有界演算子${\displaystyle A}$微分演算子などの演算子は、コンパクトレゾルベントを持つと言われます。${\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}$一部の人にとって存在する${\displaystyle \lambda }$そしてはコンパクト演算子である。この条件は、のスペクトルが${\displaystyle A}$有限重複度を持つ離散固有値を持ち、有限集積点は存在しない。コンパクトレゾルベントは、有界領域上の楕円型作用素に対してよく現れるが、その場合、コンパクトソボレフ埋め込みが必要なコンパクト性を提供する。

ヒルベルト空間上のコンパクト作用素は、有限次元線形代数と特に密接な関係にある。コンパクト作用素の一般的なバナッハ空間スペクトル特性に加えて、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素は、直交分解、特異値展開、そして自己共役の場合には、有限次元エルミート行列のスペクトル定理に類似したスペクトル定理を許容する。

させて${\displaystyle X,Y}$バナッハ空間である。有界線形作用素${\displaystyle T:X\to Y}$は、すべての弱収束列に対して、完全連続であると呼ばれる。${\displaystyle (x_{n})}$から${\displaystyle X}$シーケンス${\displaystyle (Tx_{n})}$はノルム収束する${\displaystyle Y}$[ ^{15 ]​}

バナッハ空間間のコンパクト作用素は常に完全連続ですが、完全連続作用素がコンパクトでない場合もあるため、その逆は成り立ちません。ただし、次の場合は逆が成り立ちます。${\displaystyle X}$は反射的バナッハ空間である。その場合、すべての完全連続演算子は${\displaystyle T:X\to Y}$コンパクトです。^{[ 15 ]}

やや紛らわしいことに、コンパクト演算子は古い文献では「完全連続」と呼ばれることがあるが、現代の用語では後者はより弱い条件である。

有限ランク演算子は、コンパクト演算子の最も単純な例です。${\displaystyle T:X\to Y}$有限次元範囲を持つ場合、${\displaystyle T}$任意の有界部分集合の${\displaystyle X}$は有限次元ノルム空間の有界部分集合であり、したがってコンパクト閉包を持つ。ゆえに有限階数作用素はコンパクトである。有限次元空間では、これはすべての有界線形作用素を説明するが、無限次元空間ではコンパクト性は真の制約となる。

例の1つのクラスは、数列空間上の対角演算子または乗算演算子によって与えられます。たとえば、$\displaystyle \ell ^{p}}$、 と$1 ≤ p ≤ ∞$、次の形式の演算子

${\displaystyle (Tx)_{n}=t_{n}x_{n}}$

スカラー数列がコンパクトである場合${\displaystyle (t_{n})}$はゼロに近づく。このような演算子は、数列を切り捨てることによって得られる有限ランクの対角演算子によって、演算子ノルムで近似することができる。${\displaystyle (t_{n})}$逆に、${\displaystyle (t_{n})}$ゼロに収束しないため、適切な座標ベクトルの像は収束する部分列を持たず、対応する乗算演算子はコンパクトではない。

積分演算子は、多くの重要なケースでコンパクトな演算子も提供します。

${\displaystyle (Kf)(x)=\int _{a}^{b}k(x,y)f(y)\,dy}$

十分に規則的なカーネルを持つ${\displaystyle k}$、 それから${\displaystyle K}$は、有界な関数族を、一様に有界で等連続な関数族に写像することが多い。アルツェラ・アスコリの定理によれば、このような関数族は、次のような空間においてコンパクト閉包を持つ。${\displaystyle C([a,b])}$例えば、オペレーター

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,dt,}$

どこ${\displaystyle g\in C([0,1])}$、コンパクト演算子を定義します${\displaystyle C([0,1])}$ヒルベルト空間では、ヒルベルト・シュミット積分作用素はコンパクトである。特に、$${\displaystyle k\in L^{2}(\Omega \times \Omega )}$$すると積分演算子

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\オメガ }k(x,y)f(y)\,dy}$

コンパクト${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$。

無限次元バナッハ空間における恒等作用素は、基本的な非例である。恒等作用素は有界ではあるが、コンパクトではない。なぜなら、無限次元バナッハ空間の閉単位球はコンパクトではないからである。言い換えれば、恒等作用素がコンパクトとなるのは、すべての有界列が収束部分列を持つ場合のみであるが、これは無限次元バナッハ空間では成り立たない。同様の議論により、無限次元バナッハ空間において、恒等作用素の任意の非零スカラー倍はコンパクトではないことがわかる。

シーケンス空間上の片側シフト演算子もコンパクトではありません。例えば、${\displaystyle \ell ^{2}}$前方シフトにより標準基底ベクトルが送られる${\displaystyle e_{n}}$に${\displaystyle e_{n+1}}$シーケンス${\displaystyle (e_{n+1})}$ノルム収束する部分列を持たないため、有界列の像は${\displaystyle (e_{n})}$は相対的にコンパクトではない。後方シフトも同じ理由でコンパクトではない。

ノルム空間から完全核空間への有界線形作用素はすべてコンパクトである。なぜなら、完全核空間の有界集合はプレコンパクトだからである。^{[ 16 ] [ 17 ]}複素解析的な例として、コーシー積分作用素が挙げられる。単位円盤の場合、${\displaystyle \mathbb {D} }$、 定義する

${\displaystyle (Tf)(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \mathbb {D} }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ,\qquad z\in \mathbb {D} .}$

オペレーターとして${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$フレシェの空間へ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$正則関数の${\displaystyle \mathbb {D} }$コンパクト部分集合上の一様収束の位相を持つこの演算子はコンパクトである。${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$は局所的に一様に有界である${\displaystyle \mathbb {D} }$、したがってモンテルの定理により比較的コンパクトである。^{[ 18 ]}コンパクト性は、正則関数を厳密に定義域内のコンパクト部分集合上でのみ見ることから生じる。境界振動は、${\displaystyle L^{2}(\partial \mathbb {D} )}$しかし、コンパクトオープンなトポロジーでは見えなくなる。${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$。

コンパクト演算子は、関数空間間の包含写像として現れることが多い。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$はノルム空間であり、${\displaystyle X\subseteq Y}$包含

${\displaystyle I:X\to Y,\qquad Iu=u,}$

が連続である場合、埋め込みと呼ばれます。この包含写像がコンパクト演算子である場合、埋め込みはコンパクトと呼ばれます。つまり、 のすべての有界列がコンパクトである場合です。${\displaystyle X}$ノルムで収束する部分列を持つ${\displaystyle Y}$コンパクト埋め込みはしばしば^{[ 19 ] [ 20 ]と表記される。}

${\displaystyle X{\overset {c}{\hookrightarrow }}Y.}$

埋め込みのコンパクト性は連続性よりも強い。連続埋め込みは形式の推定値を与える。

${\displaystyle \|u\|_{Y}\leq C\|u\|_{X},}$

一方、コンパクト埋め込みはプレコンパクト性も主張する。より強い空間における有界集合${\displaystyle X}$弱い空間で見ると比較的コンパクトになる${\displaystyle Y}$。

アルツェラ・アスコリの定理は、その一例を示している。一様に有界で等連続な関数族を${\displaystyle C([a,b])}$コンパクト閉包を持つ。これが多くの積分作用素がコンパクトである理由の1つである。積分作用素は有界な関数の集合を等連続な族に写像する。^{[ 1 ] [ 21 ]}

レリッヒ・コンドラチョフの定理は、他のコンパクト埋め込みも生成する。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$が適切な正則性を持つ有界領域である場合、特定のソボレフ空間埋め込みはコンパクトである。例えば、${\displaystyle 1\leq p<n}$そして

${\displaystyle 1\leq q<p^{*}={\frac {np}{n-p}},}$

そして天然のインクルージョン

${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )\hookrightarrow L^{q}(\Omega )}$

はコンパクトである。したがって、 のすべての有界列は${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$収束する部分列を持つ${\displaystyle L^{q}(\Omega )}$[ ^{20 ] [ 19 ]​}

非例としては、ルベーグ空間の包含が挙げられる。${\displaystyle (X,\mu )}$は有限測度空間である。このとき、ヘルダーの不等式により${\displaystyle L^{q}(X,\mu )\subset L^{p}(X,\mu )}$いつでも${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$^{[ 22 ]}しかし 、この包含関係は一般にコンパクトではない。例えば、${\displaystyle [0,1]}$ルベーグ測度では、ラデマッハー関数はあらゆる点で有界列を形成する。${\displaystyle L^{q}}$だが、どの部分列も収束しない${\displaystyle L^{p}}$^{[ 22 ]}したがって、レリッヒ・コンドラチョフの定理のような埋め込みのコンパクト性は、より強いノルム空間をより弱いノルム空間に含めることだけではなく、追加の正則性に依存します。

コンパクト埋め込みは偏微分方程式と変分法の研究において中心的な役割を果たします。コンパクト埋め込みを用いることで、近似解の弱い列や有界な列を、部分列に移行した後、より弱いノルムで強く収束する列に置き換えることができます。このコンパクト性は、存在証明、楕円型境界値問題の研究、および多くの微分作用素がコンパクト作用素と同様の離散スペクトル挙動を示すことを示す際に利用されます。^{[ 23 ]}

正則関数空間は、別の種類のコンパクト埋め込みを提供する。${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}}$をドメインとし、${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$上の正則関数の空間を表す${\displaystyle \Omega }$コンパクト部分集合上での一様収束の位相を持つ。多くの正則関数のバナッハ空間はコンパクトに埋め込まれる。${\displaystyle {\mathcal {O}}(\Omega )}$例えば、ユニットディスク上のインクルージョン

${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\mathbb {D} )}$

ハーディスペースより${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$正則関数の空間への変換はコンパクトである。${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$有界集合${\displaystyle H^{p}(\mathbb {D} )}$は局所的に一様に有界である${\displaystyle \mathbb {D} }$、したがってモンテルの定理によりコンパクト開位相において相対的にコンパクトである。^{[ 18 ] [ 24 ]}

同じ原理がベルグマン空間にも適用されます。${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$は、領域上の正則関数のベルグマン空間である。${\displaystyle \Omega }$すると、コンパクト部分集合の推定値は、各コンパクト部分集合に対して、${\displaystyle K\subset \Omega }$、

${\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{A^{p}(\Omega )}.}$

したがって、有界集合は${\displaystyle A^{p}(\Omega )}$普通の家族であり、自然な包含

${\displaystyle A^{p}(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal {O}}(\Omega )}$

コンパクトである。同様のコンパクト性に関する記述は、より小さなサブドメインへの制限にも当てはまる。${\displaystyle \Omega '\Subset \Omega }$ハーディ空間またはベルグマン空間の有界集合が、正則関数の空間で相対的にコンパクトになる。${\displaystyle \Omega '}$[ ^{24 ]​}

複数の複素変数において、有界領域上のハーディ空間およびベルグマン空間、そして管領域上のハーディ空間に対して、同様のコンパクト埋め込みが存在します。例えば、錐上の管領域上のハーディ空間は、一様分布を満たす正則関数から構成されます。${\displaystyle L^{p}}$平行移動した実スライスに対する -型境界。内部推定は再びチューブのコンパクト部分集合の局所的有界性を意味するので、有界集合は正規族を形成し、コンパクト開位相でコンパクトになります。^{[ 24 ] [ 25 ]}

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