数理物理学

数理物理学とは、物理学の問題に応用するための数学的手法の開発を指します。『Journal of Mathematical Physics』では、この分野を「物理学の問題への数学の応用と、そのような応用や物理理論の定式化に適した数学的手法の開発」と定義しています。^[1]別の定義では、物理学に触発された数学、いわゆる物理数学も含まれます。^[2]

数理物理学にはいくつかの異なる分野があり、これらはおおよそ世界の特定の歴史的部分に対応しています。

数理物理学の手法を古典力学に適用するには、通常、ニュートン力学をラグランジアン力学とハミルトン力学の観点から厳密かつ抽象的で高度な再定式化する必要があります(制約条件がある場合の両アプローチを含む)。 どちらの定式化も解析力学で具体化されており、ノイマンの定理の最も基本的な定式化に具体化されているように、機械システムの動的進化の過程での対称性と保存量の概念間の深い相互作用を理解することにつながります。 これらのアプローチとアイデアは、統計力学、連続体力学、古典場の理論、量子場の理論など、物理学の他の分野に拡張されています。 さらに、微分幾何学において複数の例とアイデアを提供してきました(たとえば、シンプレクティック幾何学とベクトル束のいくつかの概念)。

数学そのものの中では、偏微分方程式、変分法、フーリエ解析、ポテンシャル理論、ベクトル解析がおそらく数理物理学と最も密接に関連している。これらの分野は、18 世紀後半から1930 年代にかけて(たとえば、ダランベール、オイラー、ラグランジュによって) 集中的に開発されました。これらの開発の物理的応用には、流体力学、天体力学、連続体力学、弾性理論、音響学、熱力学、電気、磁気、空気力学などがあります。

原子スペクトルの理論（および後に量子力学）は、線形代数、作用素のスペクトル理論、作用素代数、およびより広義には関数解析といった数学の分野の一部とほぼ同時に発展しました。非相対論的量子力学にはシュレーディンガー作用素が含まれ、原子および分子物理学と関連があります。量子情報理論は別の専門分野です。

特殊相対性理論と一般相対性理論では、かなり異なるタイプの数学が必要である。これは群論であり、量子場理論と微分幾何学の両方で重要な役割を果たした。しかし、これは徐々に位相幾何学と関数解析によって補完され、宇宙論的現象と量子場理論の現象 の数学的記述に用いられるようになった。これらの物理領域の数学的記述では、ホモロジー代数と圏論^[3]のいくつかの概念も重要である。

統計力学は、相転移の理論を含む独立した分野です。統計力学はハミルトン力学（またはその量子バージョン）に依存しており、より数学的なエルゴード理論や確率論の一部と密接に関連しています。組合せ論と物理学、特に統計物理学 との相互作用は増加しています。

「数理物理学」という用語の使用法は、特異な場合がある。物理学の発展から生まれた数学の特定の部分は、実際には数理物理学の一部とは見なされていないが、他の密接に関連する分野はそうである。たとえば、常微分方程式とシンプレクティック幾何学は一般に純粋に数学的な分野と見なされているが、力学システムとハミルトン力学は数理物理学に属する。ジョン・ヘラパスは、1847年に「自然哲学の数学的原理」というテキストのタイトルにこの用語を使用した。当時の範囲は「熱、気体の弾性、重力、およびその他の自然界の大きな現象の原因」であった。^[4]

「数理物理学」という用語は、物理学の問題や思考実験を数学的に厳密な枠組みの中で研究し解決することを目的とした研究を指すために使用されることがあります。この意味で、数理物理学は、数学的側面と理論物理学の側面が混ざり合っているという点のみで区別される非常に広範な学問領域をカバーしています。理論物理学に関連していますが、^[5]この意味での数理物理学は、数学に見られるのと同様のタイプの数学的厳密さを強調しています。

一方、理論物理学は観測と実験物理学との関連を重視しており、理論物理学者（およびより一般的な意味での数理物理学者）はしばしば経験的、直感的、または近似的な議論を使用する必要があります。^[6]このような議論は数学者によって厳密であるとは見なされていません。

こうした数理物理学者は、主に物理理論を拡張し解明する。数学的厳密さのレベルが求められるため、これらの研究者は理論物理学者がすでに解決済みとみなしていた問題を扱うことが多い。しかし、以前の解決法が不完全であったり、不正確であったり、単にナイーブすぎたりしたことを示すことができる場合もある。統計力学から熱力学の第二法則を推論する試みに関する問題などがその例である。^{[要出典]その他の例としては、特殊相対性理論と一般相対性理論における同期手順に伴う微妙な問題（}サニャック効果とアインシュタインの同期） が挙げられる。

物理理論を数学的に厳密な基盤に置こうとする努力は、物理学を発展させただけでなく、いくつかの数学の分野の発展にも影響を与えました。たとえば、量子力学の発展と関数解析のいくつかの側面は、多くの点で互いに平行しています。量子力学、量子場の理論、量子統計力学の数学的研究は、作用素代数における成果の原動力となっています。量子場の理論の厳密な数学的定式化を構築する試みは、表現論などの分野でもいくつかの進歩をもたらしました。

自然を数学的に分析する伝統は古代ギリシャにまで遡ります。例としては、ユークリッド（光学）、アルキメデス（平面の平衡について、浮体について）、プトレマイオス（光学、調和論）などが挙げられます。^{[7] [8]}その後、イスラムとビザンチンの学者がこれらの著作を基にして研究を進め、最終的には12世紀とルネサンス期に西洋に再導入または利用可能になりました。

16 世紀の最初の 10 年間に、アマチュア天文学者のニコラウス・コペルニクスが太陽中心説を提唱し、1543 年にその論文を出版した。彼はプトレマイオスの周転円の考えを保持し、より単純な周転円軌道のセットを構築することで天文学を単純化しようとしただけだった。周転円は円の上に円が重なって構成される。アリストテレス物理学によれば、円は完全な運動形態であり、アリストテレスの 5 番目の要素 (ギリシャ語でエーテル (英語では純粋な空気) として知られる精髄または普遍的本質) の固有の運動であった。これは月下球を超えた純粋な物質であり、したがって天体の純粋な構成要素であった。ティコ・ブラーエの助手であったドイツ人のヨハネス・ケプラー[1571–1630]は、コペルニクスの軌道を楕円に修正し、ケプラーの惑星運動の法則の方程式で形式化した。

熱心な原子論者であったガリレオ・ガリレイは、 1623年の著書『試金者』で「自然の書は数学で書かれている」と主張した。^[9] 1632年に書いた望遠鏡による観測に関する著書では、地動説を支持した。^{[10]実験を導入したガリレオは、アリストテレス}物理学そのものを論駁することで、地動説を論駁した。ガリレオの1638年の著書『二つの新科学についての序説』では、等自由落下の法則と慣性運動の原理を確立し、今日の古典力学の中心概念の礎を築いた。^[10]ガリレオの慣性の法則とガリレオの不変性の原理（ガリレオの相対性とも呼ばれる）により、慣性を持つ物体については、それが相対的に静止しているか相対的に運動しているか、つまり別の物体に対して静止しているか運動しているか だけを知ることが経験的に正当化される。

ルネ・デカルトは、渦運動の原理に基づく完全な太陽中心宇宙論体系、デカルト物理学を開発したことで有名であり、これが広く受け入れられたことでアリストテレス物理学は終焉を迎えた。デカルトは科学における数学的推論を形式化しようとし、3次元空間内の位置を幾何学的にプロットし、時間の流れに沿ってその進行を示すためのデカルト座標を開発した。 ^[11]

ニュートンの同時代人であるクリスティアーン・ホイヘンスは、一連のパラメータによって物理的な問題を理想化した最初の人物であり、観測不可能な物理現象の機械論的説明を完全に数学化した最初の人物であり、これらの理由からホイヘンスは最初の理論物理学者であり、現代数理物理学の創始者の一人であると考えられています。^{[12] [13]}

デカルトは科学における数学的推論を形式化しようとし、3次元空間内の位置を幾何学的にプロットし、時間の流れに沿った進行を示すためのデカルト座標を開発した。 ^[14]デカルト以前の幾何学と空間の記述は、古代数学者ギリシャの構成モデルに従っていた。そのような意味では、幾何学的形状は空間を記述し考えるための構成要素を形成し、時間は独立した存在であった。デカルトは、それまで主に商取引に使用されていた数学的ツールである代数を使用して空間を記述する新しい方法を導入した。デカルト座標は、時間と空間を単なる別の座標軸として対にする概念も導入した。この重要な数学的枠組みは、すべての現代物理学の基礎であり、次の世紀に開発されたすべての数学的枠組みで使用されている。

この時代には、微積分学の基本定理（1668年にスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリー^[15]によって証明された）や、フェルマーの定理を使った微分による関数の極値と極小値の発見（フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーによる）などの微積分学の重要な概念は、ライプニッツやニュートンより前にすでに知られていました。アイザック・ニュートン（1642–1727）は、微積分学のいくつかの概念（ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは物理学の文脈外で同様の概念を開発しましたが）と物理学の問題を解くニュートン法を開発しました。彼は微積分学を運動理論に応用することに非常に成功しました。ニュートンの運動理論は、1687年に出版された『自然哲学の数学的原理』^{[16]で示され、ニュートンの}万有引力の法則とともにガリレオの運動の3つの法則を絶対空間の枠組み（ニュートンはユークリッド幾何学構造の物理的に実在する実体として、あらゆる方向に無限に広がると仮定した）の上にモデル化し、絶対時間を前提とすることで、物体が絶対空間に対して運動するという絶対運動の知識を正当化したとされている。ガリレオの不変性/相対性の原理は、ニュートンの運動理論に暗黙的に含まれていたにすぎない。ケプラーの天体運動法則とガリレオの地上運動法則を表面上は統一力に還元することで、ニュートンは数学的に厳密さを達成したが、理論的な緩みがあった。^[17]

18世紀には、スイス人のダニエル・ベルヌーイ（1700–1782）が流体力学や振動弦の分野で貢献した。スイス人のレオンハルト・オイラー（1707–1783）は変分法、動力学、流体力学などの分野で特別な研究を行った。また、解析力学の研究でイタリア生まれのフランス人ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736–1813）も有名で、ラグランジュ力学と変分法を定式化した。ハミルトン力学と呼ばれる解析力学の定式化への大きな貢献は、アイルランドの物理学者、天文学者、数学者であるウィリアム・ローワン・ハミルトン（1805–1865）によってもなされた。ハミルトン力学は、場の理論や量子力学を含む物理学の現代理論の定式化に重要な役割を果たした。フランスの数理物理学者ジョゼフ・フーリエ（1768年 - 1830年）は、熱方程式を解くためにフーリエ級数の概念を導入し、積分変換によって偏微分方程式を解く新しいアプローチを生み出しました。

19世紀初頭まで、フランス、ドイツ、イギリスの以下の数学者が数理物理学に貢献した。フランスのピエール＝シモン・ラプラス（1749–1827）は、数理天文学、ポテンシャル論に多大な貢献をした。シメオン・ドニ・ポアソン（1781–1840）は、解析力学とポテンシャル論の研究をした。ドイツでは、カール・フリードリヒ・ガウス（1777–1855）が、電気、磁気、力学、流体力学の理論的基礎に重要な貢献をした。イギリスでは、ジョージ・グリーン（1793–1841）が1828年に『電気と磁気の理論への数学的解析の応用に関する論文』を出版し、数学への重要な貢献に加えて、電気と磁気の数学的基礎を築くための初期の進歩を遂げた。

ニュートンが光の粒子説を発表する数十年前、オランダのクリスティアーン・ホイヘンス（1629–1695）が光の波動説を展開し、1690年に発表した。1804年までには、トーマス・ヤングの二重スリット実験により、光が波であるかのような干渉縞が明らかになり、こうしてホイヘンスの光の波動説、および光波は発光エーテルの振動であるというホイヘンスの推論が受け入れられた。ジャン＝オーギュスタン・フレネルはエーテルの仮説上の動作をモデル化した。英国の物理学者マイケル・ファラデーは、遠隔作用ではなく場の理論的概念を導入した。19世紀半ばには、スコットランドのジェームズ・クラーク・マクスウェル（1831–1879）が電気と磁気をマクスウェルの電磁場理論に還元し、他の人によって4つのマクスウェル方程式にまで絞り込まれた。当初、光学は^{マクスウェル場の結果}として発見されました。その後、放射線、そして今日知られている電磁スペクトルもこの電磁場 ^{の結果として発見されまし}た。

イギリスの物理学者レイリー卿[1842–1919] は音に関する研究を行った。アイルランド人のウィリアム・ローワン・ハミルトン(1805–1865)、ジョージ・ガブリエル・ストークス(1819–1903)、ケルビン卿(1824–1907) はいくつかの主要な研究を行った。ストークスは光学と流体力学のリーダーであり、ケルビンは熱力学で重要な発見をした。ハミルトンは解析力学で注目すべき研究を行い、今日ではハミルトン力学として知られる新しい強力なアプローチを発見した。このアプローチへの非常に重要な貢献は、特に正準変換に言及したドイツ人の同僚の数学者カール・グスタフ・ヤコビ(1804–1851)によるものである。ドイツ人のヘルマン・フォン・ヘルムホルツ(1821–1894)米国では、ジョサイア・ウィラード・ギブス（1839年 - 1903年）の先駆的な研究が統計力学の基礎となりました。この分野における基本的な理論的成果は、ドイツのルートヴィヒ・ボルツマン（1844年 - 1906年）によって達成されました。これらの人々は、電磁気理論、流体力学、統計力学の基礎を築きました。

1880 年代までには、マクスウェルの電磁場内の観測者は、電磁場内の他の物体に対する観測者の速度に関係なく、電磁場をほぼ一定の速度で測定するという顕著なパラドックスがあった。つまり、観測者の速度は電磁場に対して絶えず失われる^{[説明が必要]が、電磁場}内の他の物体に対しては保存される。しかし、物体間の物理的相互作用におけるガリレイ不変性の侵害は検出されなかった。マクスウェルの電磁場はエーテルの振動としてモデル化されていたため、物理学者はエーテル内の運動がエーテルのドリフトをもたらし、電磁場をシフトさせ、観測者が電磁場に対して失った速度を説明すると推論した。ガリレイ変換は、ある基準フレームの位置を別の基準フレームの位置の予測に変換するために使用される数学的プロセスであり、すべて直交座標上にプロットされていたが、このプロセスは、オランダのヘンドリック・ローレンツ[1853–1928] によってモデル化されたローレンツ変換に置き換えられた。

しかし、1887年に実験者マイケルソンとモーリーはエーテルのドリフトを検出できなかった。エーテルへの動きも、ローレンツ収縮でモデル化されたように、エーテルの短縮を引き起こすという仮説が立てられた。エーテルは、マクスウェルの電磁場をすべての慣性系にわたってガリレイの不変性の原理と一致させ、ニュートンの運動理論は保護されたという仮説が立てられた。

オーストリアの理論物理学者で哲学者のエルンスト・マッハは、ニュートンが仮定した絶対空間を批判した。数学者のジュール＝アンリ・ポアンカレ（1854–1912）は絶対時間さえも疑問視した。1905年、ピエール・デュエムはニュートンの運動理論の基礎に対する痛烈な批判を発表した。^[17]同じく1905年、アルバート・アインシュタイン（1879–1955）は特殊相対性理論を発表し、エーテル自体の存在も含め、エーテルに関するすべての仮説を捨てて、電磁場の不変性とガリレイ不変性の両方を新たに説明した。ニュートンの理論の枠組みである絶対空間と絶対時間を反駁する特殊相対性理論は、相対空間と相対時間を指し、物体の移動経路に沿って 長さは収縮し、時間は膨張する。

デカルト座標では、直線座標が任意に使用されていました。ガウスは、デカルトの研究に触発されて、直線軸を曲線に置き換えて曲線幾何学を導入しました。ガウスは、現代物理学のもう1つの重要なツールである曲率も導入しました。ガウスの研究は2次元に限定されていました。それを3次元以上に拡張すると、（当時は発明されていなかった）テンソルが必要になるなど、多くの複雑さが生じました。曲面幾何学をN次元に拡張したのはリーマンでした。1908年、アインシュタインの元数学教授ヘルマン・ミンコフスキーは、曲線幾何学の構築を適用して、時間軸を4番目の空間次元（全体で4D時空）のように扱うことで、3D空間と1D時間軸をモデル化し、空間と時間の分離が間もなく消滅することを宣言しました。^[18]アインシュタインは当初これを「余分な学識」と呼んだが、後に一般相対性理論でミンコフスキー時空を非常に優雅に使用し、^[19]慣性として認識されるか加速として認識されるかに関係なく、すべての参照フレームに不変性を拡張し、これを当時亡くなっていたミンコフスキーの功績とした。一般相対性理論は、デカルト座標をガウス座標に置き換え、ニュートンの仮想的な重力のベクトルが瞬時に横断する空でありながらユークリッド空間であると主張するニュートンの主張する空間（遠隔での瞬間的な作用）を重力場に置き換えた。重力場はミンコフスキー時空そのものであり、リーマン曲率テンソルに従って幾何学的に「曲がる」ローレンツ多様体に基づいてモデル化されたアインシュタインエーテルの4Dトポロジーである。ニュートンの重力の概念、「2 つの質量は互いに引き合う」は、幾何学的議論、「質量は時空の曲率を変換し、質量を持つ自由落下粒子は時空の測地線に沿って移動する」に置き換えられました (リーマン幾何学は、1850 年代以前に、数学者カール フリードリヒ ガウスとベルンハルト リーマンが本質的幾何学と非ユークリッド幾何学を探求する際にすでに存在していました)。質量またはエネルギーの近くで。(特殊相対性理論 (一般相対性理論の特殊なケース) では、質量のないエネルギーでさえ、その質量の等価性によって、空間と時間の 4 つの統一された次元の幾何学を局所的に「曲げる」ことで、重力効果を発揮します。 )

20世紀のもう一つの革命的な発展は量子論であり、これはマックス・プランク（1856-1947）の黒体放射に関する重要な貢献とアインシュタインの光電効果に関する研究から生まれた。1912年、数学者アンリ・ポアンカレは『量子論について』を出版した。^{[20] [21]}彼はこの論文で量子化の最初の非ナイーブな定義を導入した。初期の量子物理学の発展は、アルノルド・ゾンマーフェルト(1868–1951) とニールス・ボーア(1885–1962) によって考案されたヒューリスティックな枠組みに引き継がれましたが、これはすぐにマックス・ボルン(1882–1970)、ルイ・ド・ブロイ(1892–1987)、ヴェルナー・ハイゼンベルク(1901–1976)、 ポール・ディラック(1902–1984)、エルヴィン・シュレーディンガー(1887–1961)、サティエンドラ・ナート・ボース(1894–1974)、ヴォルフガング・パウリ(1900–1958) によって開発された量子力学に取って代わられました。この革命的な理論的枠組みは、無限次元ベクトル空間上の自己随伴演算子による状態の確率的解釈、および進化と測定に基づいています。それはヒルベルト空間（ユークリッド空間の一般化と積分方程式の研究を求めて数学者のダヴィド・ヒルベルト（1862–1943）、エアハルト・シュミット（1876–1959）、フリジェシュ・リース（1880–1956）によって導入された）と呼ばれ、ジョン・フォン・ノイマンによってその有名な著書『量子力学の数学的基礎』の中で公理的な現代版の中で厳密に定義され、その中で彼はヒルベルト空間に関する現代の関数解析の関連部分、特にスペクトル理論（無限個の変数を持つ二次形式を調査したダヴィド・ヒルベルトによって導入された。何年も後になって、彼のスペクトル理論が水素原子のスペクトルと関連していることが明らかになった。彼はこの応用に驚いた。）を構築した。ポール・ディラックは代数的構成を用いて電子の相対論的モデルを作成し、その磁気モーメントと反粒子である陽電子の存在を予測した。

20 世紀の数理物理学に大きく貢献した人物には次のような人々がいます (生年月日順)。

• ウィリアム・トムソン（ケルビン卿） [1824–1907]
• オリバー・ヘヴィサイド[1850–1925]
• ジュール・アンリ・ポアンカレ[1854–1912]
• ダヴィト・ヒルベルト[1862–1943]
• アーノルド・ゾンマーフェルト[1868–1951]
• コンスタンティン・カラテオドリ[1873–1950]
• アルバート・アインシュタイン[1879–1955]
• エミー・ネーター[1882–1935]
• マックス・ボルン[1882–1970]
• ジョージ・デイヴィッド・バーコフ[1884–1944]
• ヘルマン・ワイル[1885–1955]
• サティエンドラ・ナス・ボース[1894–1974]
• ルイ・ド・ブロイ[1892–1987]
• ノーバート・ウィーナー[1894–1964]
• ジョン・ライトン・シング[1897–1995]
• マリオ・シェンベルク[1914–1990]
• ヴォルフガング・パウリ[1900–1958]
• ポール・ディラック[1902–1984]
• ユージン・ウィグナー[1902–1995]
• アンドレイ・コルモゴロフ[1903–1987]
• ラース・オンサガー[1903–1976]
• ジョン・フォン・ノイマン[1903–1957]
• 朝永信一郎[1906–1979]
• 湯川秀樹[1907–1981]
• ニコライ・ニコラエヴィチ・ボゴリュボフ[1909–1992]
• スブラマニャン チャンドラセカール[1910–1995]
• マーク・カック[1914–1984]
• ジュリアン・シュウィンガー[1918–1994]
• リチャード・フィリップス・ファインマン[1918–1988]
• アーヴィング・エズラ・シーガル[1918–1998]
• 久保良吾[1920–1995]
• アーサー・ストロング・ワイトマン[1922–2013]
• 楊振寧[1922– ]
• ルドルフ・ハーグ[1922–2016]
• フリーマン・ジョン・ダイソン[1923–2020]
• マーティン・ガッツウィラー[1925–2014]
• アブドゥス・サラム[1926–1996]
• ユルゲン・モーザー[1928–1999]
• マイケル・フランシス・アティヤ[1929–2019]
• ジョエル・ルイス・レボウィッツ[1930– ]
• ロジャー・ペンローズ[1931– ]
• エリオット・ハーシェル・リーブ[1932– ]
• ヤキル・アハロノフ[1932– ]
• シェルドン・グラショー[1932– ]
• スティーブン・ワインバーグ[1933–2021]
• ルドヴィグ・ドミトリエヴィチ・ファデーエフ[1934–2017]
• ダヴィッド・ルエル[1935– ]
• ヤコフ・グリゴレヴィチ・シナイ[1935– ]
• ウラジミール・イゴレヴィチ・アーノルド[1937–2010]
• アーサー・マイケル・ジャッフェ[1937– ]
• ロマン・ウラジミール・ジャッキウ[1939– ]
• レナード・サスキンド[1940– ]
• ロドニー・ジェームズ・バクスター[1940– ]
• マイケル・ビクター・ベリー[1941– ]
• ジョヴァンニ・ガラヴォッティ[1941– ]
• スティーブン・ウィリアム・ホーキング[1942–2018]
• ジェロルド・エルドン・マースデン[1942–2010]
• マイケル・C・リード[1942– ]
• ジョン・マイケル・コスターリッツ[1943– ]
• イスラエル・マイケル・シーガル[1945– ]
• アレクサンダー・マルコヴィチ・ポリャコフ[1945– ]
• バリー・サイモン[1946– ]
• ハーバート・スポーン[1946– ]
• ジョン・ローレンス・カーディ[1947– ]
• ジョルジョ・パリシ[1948- ]
• アバハイ・アシュテカール[1949- ]
• エドワード・ウィッテン[1951– ]
• F. ダンカン ハルデイン[1951– ]
• アショク・セン[1956– ]
• フアン マルティン マルダセナ[1968– ]

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