C*-代数

数学、特に関数解析において、C ^∗ -代数 （「シースター」と発音）とは、随伴の性質を満たす対合を伴うバナッハ代数のことである。特殊なケースとして、複素ヒルベルト空間上の連続線形作用素からなる複素代数Aがあり、これに次の 2 つの追加の性質が加わる。

Aは、作用素のノルム位相における位相的に閉じた集合である。
Aは、作用素の随伴をとる操作に関して閉じている。

ヒルベルトC*-代数のもう1つの重要なクラスには、代数が含まれる。 $C_{0}(X)$ X上の複素数値連続関数で、無限遠で消滅するもの。ここでXは局所コンパクトハウスドルフ空間である。

C*-代数は、当初は主に量子力学において物理的観測量の代数をモデル化するために用いられるものとして検討されました。この研究の流れは、ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学から始まり、 1933年頃にパスカル・ジョルダンによってより数学的に発展しました。その後、ジョン・フォン・ノイマンはこれらの代数の一般的な枠組みを確立しようと試み、それが作用素環に関する一連の論文で結実しました。これらの論文では、現在フォン・ノイマン代数として知られるC*-代数の特殊なクラスが考察されました。

1943年頃、イスラエル・ゲルファンドとマーク・ナイマークの研究により、ヒルベルト空間上の作用素に言及することなく、C*-環の抽象的な特徴付けが実現した。

C*-環は現在、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論において重要なツールとなっており、量子力学の代数的定式化にも用いられている。また、分離可能な単純核C*-環の分類、あるいは分類が可能な範囲を決定する研究も活発に行われている。

抽象的特徴付け

まず、ゲルファントとナイマークが1943年の論文で示したC*-環の抽象的な特徴付けから始めます。

AC*-代数Aは、複素数体上のバナッハ代数であり、写像がそれに付随する。 ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$ のために ${\textstyle x\in A}$ 以下の特性を持つ：

これは、 Aのすべてのxに対して、対合である。

x^{**}=(x^{*})^{*}=x

Aのすべてのx、yについて:

(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

(xy)^{*}=y^{*}x^{*}

すべての複素数に対して $\lambda \in \mathbb {C}$ そしてAのすべてのx：

(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.

Aのすべてのxについて:

\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.

注記。最初の4つの恒等式は、Aが*-代数であることを示しています。最後の恒等式はC*恒等式と呼ばれ、以下と同値です。

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

これはB*-恒等式と呼ばれることもあります。C*-代数とB*-代数の名称の由来については、下記の歴史の項を参照してください。

C*-恒等式は非常に強い要件です。例えば、スペクトル半径の公式と組み合わせると、C*-ノルムは代数構造によって一意に決定されることがわかります。

\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{は可逆ではない}}\}.

C*-環AとBの間の有界線形写像π : A → Bは、次の条件を満たす場合に*-準同型と呼ばれます。

Aのxとyについて

\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,

Aのxについて

\pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,

C*-環の場合、C*-環間の任意の*-準同型写像πは縮小写像、すなわちノルム≤1で有界である。さらに、C*-環間の単射*-準同型写像は等長写像である。これらはC*-恒等式の帰結である。

全単射の*-準同型πはC*-同型と呼ばれ、この場合AとBは同型であると言われます。

歴史：B-代数とC-代数

B*-代数という用語は、1946年にCEリッカートによって、次の条件を満たすバナッハ*-代数を記述するために導入されました。

$\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}$ 与えられたB*-代数内のすべてのxについて。（B*-条件）

この条件は自動的に、*-対合が等長であることを意味します。つまり、 $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$ したがって、 $\lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert$ したがって、B*-代数はC*-代数でもある。逆に、C*-条件はB*-条件を含意する。これは自明ではなく、条件を用いなくても証明できる。 $\lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert$ [ ¹^]これらの理由から、B*-代数という用語は現在の用語ではほとんど使用されず、「C*-代数」という用語に置き換えられています^。

C*-代数という用語は、 1947年にIE Segalによって、 B ( H )のノルム閉部分代数、すなわち、あるヒルベルト空間H上の有界作用素の空間を記述するために導入されました。「C」は「閉」を意味します。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Segalは論文の中で、C*-代数を「ヒルベルト空間上の有界作用素の均一閉自己共役代数」と定義しています。^{[ 4 ]}

C*-代数の構造

C*-環は、技術的に便利な性質を数多く備えています。これらの性質の一部は、連続関数計算を用いるか、可換C*-環への還元によって確立できます。後者の場合、これらの構造がゲルファント同型写像によって完全に決定されるという事実を利用できます。

自己共役要素

自己共役要素は、次の形式の要素である。 $x=x^{*}$ .形式のC*-代数Aの要素の集合 $x^{*}x$ 閉じた凸円錐を形成する。この円錐は、次の形式の要素と同一である。 $xx^{*}$ この円錐の要素は非負（または正の場合もありますが、この用語は要素の使用と矛盾します）と呼ばれます。 $\mathbb {R}$ ）

C*-代数Aの自己共役要素の集合は、自然に半順序ベクトル空間の構造を持ちます。順序は通常、次のように表されます。 $\geq$ この順序では、自己共役要素 $x\in A$ 満たす $x\geq 0$ スペクトルが $x$ が非負であるのは、 $x=s^{*}s$ 一部の人にとって $s\in A$ 2つの自己共役要素 $x$ そして $y$ Aを満たす $x\geq y$ もし $x-y\geq 0$ 。

この半順序部分空間により、C*-代数上の正の線形汎関数を定義することが可能になり、それがC*-代数の状態を定義するために使用され、さらにGNS構成を使用してC*-代数のスペクトルを構築するために使用できます。

商と近似式

任意の C*-代数Aは近似的な恒等式を持つ。実際、Aの自己共役要素の有向族 { e _λ } _{λ∈Iが存在し、}

xe_{\lambda }\rightarrow x

0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .

Aが分離可能であれば、Aは逐次近似単位元を持ちます。より一般的には、Aが厳密に正の元、すなわちhAhがAにおいて稠密であるような正の元hを含む場合に限り、Aは逐次近似単位元を持ちます。

近似的な恒等式を用いることで、自然なノルムを持つ閉じた適切な両側イデアルによる C*-代数の代数商がC*-代数であることを示すことができる。

同様に、C*-代数の閉じた両側イデアルはそれ自体がC*-代数である。

例

有限次元C*-環

C上のn × n行列の代数 M( n , C ) は、行列をユークリッド空間C ⁿ上の作用素とみなし、行列に作用素ノルム‖·‖を用いると、 C*-代数になります。対合は共役転置によって与えられます。より一般的には、行列代数の有限直和を考えることができます。実際、ベクトル空間として有限次元であるすべての C*-代数は、同型を除いてこの形式です。自己共役の要件は、有限次元 C*-代数が半単純であることを意味し、この事実から次のArtin–Wedderburn型の定理を導き出すことができます。

定理。 有限次元C*-代数Aは、有限直和と正準的に同型である。
$A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae$
ここで min AはAの最小非ゼロ自己共役中心射影の集合である。

各 C*-代数Aeは、（非標準的な方法で）完全行列代数 M(dim( e ), C ) と同型である。min Aに添え字付けされた有限族{dim( e )} _eは、 Aの次元ベクトルと呼ばれる。このベクトルは、有限次元 C*-代数の同型類を一意に決定する。K理論の言葉で言えば、このベクトルはAのK ₀群の正錐である。

† -代数（より正確には、†-閉代数）は、物理学^{[ 5 ]}で有限次元C*-代数を指す際に時折用いられる名称です。ダガー記号†が名称に用いられるのは、物理学者が通常この記号をエルミート随伴を表すために使用し、無限次元に関連する微妙な点についてはあまり気にしないためです。（数学者は通常、アスタリスク*をエルミート随伴を表すために使用します。）†-代数は量子力学、特に量子情報科学において重要な役割を果たします。

有限次元C*-環の直接的な一般化は、近似的に有限次元のC*-環である。

演算子のC*-環

C*-代数の典型的な例は、複素ヒルベルト空間 H 上で定義された有界（等価的に連続）線形作用素の代数 B(H) です。ここで、x* は作用素 x : H → H の随伴作用素を表します。実際、適切なヒルベルト空間Hに対して、すべてのC * -代数Aは、B ( H )のノルム閉随伴閉部分代数と *-同型です。これがゲルファント-ナイマークの定理の内容です。

コンパクト演算子のC*-環

H を可分な無限次元ヒルベルト空間とする。H上のコンパクト作用素の代数K ( H ) は、B ( H )のノルム閉部分代数である。また、対合に関しても閉じているため、C*-代数である。

コンパクト作用素の具体的なC*-環は、有限次元C*-環に対するウェダーバーンの定理と同様の特徴付けを許容する。

定理。AがK ( H )の C*-部分代数である場合、次の条件を満たすヒルベルト空間 { H _i } _{i ∈ I}が存在する。
$A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),$
ここで、(C*-)直和は、|| T _i || → 0となるデカルト積 Π K ( H _i ) の要素 ( T _{i ) から構成される。}

K ( H ) には単位元はありませんが、 K ( H )の近似的な数列の恒等式を導出できます。具体的には、Hは平方和可能な数列の空間l ^{2と同型です}。H = l ²と仮定できます。各自然数nに対して、 H _{n を}添え字k ≥ nでゼロになるl ²の数列の部分空間とし、e _{n を}H _nへの直交射影とします。数列 { e _n } _nはK ( H )の近似的な恒等式です。

K ( H )はB ( H )の両側閉イデアルである。可分ヒルベルト空間の場合、これは唯一のイデアルである。B ( H )をK ( H )で割った商空間はカルキン代数である。

可換C*-環

Xを局所コンパクトハウスドルフ空間とする。 $C_{0}(X)$ X上の複素数値連続関数で、無限遠で消滅するもの（局所コンパクト性に関する記事で定義）は、可換 C*-代数を形成する。 $C_{0}(X)$ 点ごとの乗算と加算の下で、対合は点ごとの共役である。 $C_{0}(X)$ 乗法単位元を持つのは、 $X$ コンパクトです。他の C*-代数と同様に、 $C_{0}(X)$ 近似的な同一性を持つ。 $C_{0}(X)$ これはすぐにわかります。コンパクト部分集合の有向集合を考えます。 $X$ 、各コンパクトについて $K$ させて $f_{K}$ コンパクトサポートの関数であり、それは 1 である $K$ このような関数は、局所コンパクトハウスドルフ空間に適用されるティーツェ拡張定理によって存在します。 $\{f_{K}\}$ これは近似的な同一性である。

ゲルファント表現によれば、すべての可換C*-代数は、代数と*-同型である。 $C_{0}(X)$ 、どこ $X$ は弱*トポロジーを備えた文字の空間である。さらに、 $C_{0}(X)$ は同型である $C_{0}(Y)$ C*-代数として、次のことが導かれる。 $X$ そして $Y$ これらは同相である。この特徴づけは、非可換トポロジーと非可換幾何学の研究プログラムの動機の一つとなっている。

C*-包絡代数

近似的な恒等写像を持つバナッハ *-代数Aが与えられたとき、一意の (C*-同型を除いて) C*-代数E ( A ) と、 AからE ( A )への普遍的な*-射 π が存在する。つまり、他のすべての連続 *-射π ' : A → Bは π を介して一意に分解される。代数E ( A ) は、バナッハ *-代数AのC*-包絡代数と呼ばれる。

特に重要なのは、局所コンパクト群Gの C*-代数である。これは、Gの群環の包絡 C*-代数として定義される。G の C*-代数は、Gが非可換群の場合のGの一般的な調和解析の文脈を提供する。特に、局所コンパクト群の双対は、群 C*-代数の原始イデアル空間として定義される。C *-代数のスペクトルを参照のこと。

フォン・ノイマン代数

フォン・ノイマン環（ 1960年代以前はW*環として知られていた）は、C*環の特殊な種類である。フォン・ノイマン環は、ノルム位相よりも弱い弱作用素位相において閉じていることが求められる。

シャーマン・タケダの定理は、任意のC*-代数には普遍的な包絡W*-代数が存在し、W*-代数への任意の準同型写像はそれを通して因数分解されることを示唆している。

C*-代数の型

AC*-代数Aがタイプ I であるのは、 Aのすべての非退化表現 π に対して、フォンノイマン代数 π( A ) ″ (すなわち、π( A ) の双可換性) がタイプ I のフォンノイマン代数である場合に限る。実際には、因子表現、すなわち π( A ) ″が因子となる表現 π だけを考慮すれば十分である。

局所コンパクト群は、その群C*-環がタイプIである場合に限り、タイプIであると言われる。

しかし、C*-環が非タイプI表現を持つ場合、ジェームズ・グリムの結果によれば、タイプIIおよびタイプIII表現も持つことになる。したがって、C*-環と局所コンパクト群においては、タイプIと非タイプIの性質についてのみ議論することが意味を持つ。

C*-環と量子場理論

量子力学では、通常、物理系は単位元を持つ C*-代数Aで記述されます。A の自己共役元(x* = x となる元x )は、系の観測量、つまり測定可能な量と考えられています。系の状態は、A上の正の汎関数(すべてのu ∈ Aに対してφ( u*u ) ≥ 0 となるC-線形写像 φ : A → C )で、φ(1) = 1 となるものとして定義されます。系が状態 φ にある場合、観測量xの期待値はφ( x ) となります。

このC*-代数アプローチは、局所量子場理論のハーグ-カストラー公理化において用いられ、ミンコフスキー時空のすべての開集合がC*-代数と関連付けられる。

注記

↑ Doran & Belfi 1986 、pp. 5–6、 Google Books。
↑ Doran & Belfi 1986 、p. 6、 Google Books。
↑シーガル 1947
↑シーガル 1947 、p.75
↑ John A. Holbrook、David W. Kribs、Raymond Laflamme。「量子誤り訂正におけるノイズレスサブシステムと可換性の構造」。Quantum Information Processing 。第2巻、第5号、381 ～ 419ページ。

参考文献

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Connes、Alain (1994)、非可換幾何学、Gulf Professional、ISBN 0-12-185860-Xこの本は新しい研究資料の源として広く認められており、多くの裏付けとなる直感を提供しているが、難解である。
Dixmier、Jacques (1969)、Les C*-algèbres et leurs représentations、Gauthier-Villars、ISBN 0-7204-0762-1これはやや古い参考書ではありますが、今でも質の高い技術解説書として評価されています。英語版はノース・ホラント・プレスから入手可能です。
ロバート・S・ドーラン; Belfi、Victor A. (1986)、C*-代数の特徴付け: ゲルファント・ナイマルクの定理、CRC Press、ISBN 978-0-8247-7569-8。
Emch, G. (1972), Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3数学的に厳密な参考書であり、物理学に関する広範な背景知識を提供する。
AI Shtern (2001) [1994]、「C*-代数」、数学百科事典、EMS Press
酒井、S. (1971)、C*-代数とW*-代数、Springer、ISBN 3-540-63633-1。
Segal, Irving (1947)、「作用素環の既約表現」、アメリカ数学会報、53 (2): 73–88、doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5。

[1] Doran & Belfi 1986 、pp. 5–6、 Google Books。

[2] Doran & Belfi 1986 、p. 6、 Google Books。

[3] シーガル 1947

[4] シーガル 1947 、p.75

[5] John A. Holbrook、David W. Kribs、Raymond Laflamme。「量子誤り訂正におけるノイズレスサブシステムと可換性の構造」。Quantum Information Processing 。第2巻、第5号、381 ～ 419ページ。

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[ 4 ]

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C*-代数

抽象的特徴付け

歴史：B-代数とC-代数