線形群

数学において、行列群とは、特定の体K上の可逆行列からなる群Gであり、行列乗算演算が可能である。線形群とは、行列群と同型な群（すなわち、体K上に忠実な有限次元表現を持つ群）である。

有限群は、ケイリーの定理を用いて置換行列で実現できるため、線形群である。無限群の中で、線形群は興味深く扱いやすいクラスを形成する。線形群ではない群の例としては、「大きすぎる」群（例えば、無限集合の置換群）や、何らかの異常な振る舞いを示す群（例えば、有限生成無限ねじれ群）などが挙げられる。

群Gは、体K、整数d、およびGから一般線形群GL _d ( K ) ( K上の次元dの忠実な線形表現)への単射準同型が存在する場合に線形であると言われます。必要に応じて、 G はK 上の次数 d の線形であると言うことで、体と次元を明示することができます。基本的な例としては、線形群の部分群として定義される群があります。例えば、次のようになります。

1. グループ GL _n ( K ) 自体。
2. 特殊線形群SL _n ( K ) (行列式が 1 の行列の部分群)
3. 可逆な上三角行列（または下三角行列）のグループ
4. g _{i が}集合Iによってインデックス付けされたGL _n ( K )の要素の集合である場合、 g _iによって生成される部分群は線形群です。

リー群の研究においては、複素数体上で忠実に表現できるリー群にのみ注目することが、教育的に都合が良い場合がある。（著者によっては、群がGL _n ( C ) の閉部分群として表現されることを要求する場合もある。）このアプローチを採用している書籍としては、Hall (2015) ^{[ 1 ]}や Rossmann (2002) ^{[ 2 ]などがある。}

線形群は膨大な数の例として挙げられますが、無限群の中でも特に注目すべき性質を数多く持っています。有限生成線形群は、以下の性質を持ちます。

• それらは残余的に有限である。
• バーンサイドの定理：標数0の体上で線形な有限指数のねじれ群は有限でなければならない。 ^{[ 6 ]}
• シュールの定理：ねじれ線形群は局所的に有限である。特に、有限生成であれば有限である。^{[ 7 ]}
• セルバーグの補題：任意の有限生成線形群は、有限指数のねじれのない部分群を含む。^{[ 8 ]}

ティッツの代替案によれば、線形群は非可換自由群を含むか、あるいは実質的に可解群（つまり、有限指数の可解群を含む）である。これには、例えば次のような多くの帰結がある。

• 有限生成線形群のデーン関数は、多項式関数または指数関数のいずれかしかあり得ない。
• 可換線形群は実質的に解ける群であり、特に初等可換群は実質的に解ける群である。
• フォン・ノイマン予想は線形群に対して成り立つ。

非線形群の無限生成例を挙げるのは難しくありません。例えば、無限アーベル群 ( Z /2 Z ) ^N x ( Z /3 Z ) ^{N は}線形ではありません。^{[ 9 ]}無限集合上の対称群はこの群を含むため、線形でもありません。有限生成例を見つけるのはより微妙で、通常は上記のいずれかの性質を利用する必要があります。

• 有限線形群は必ず剰余有限群であるため、単純群と無限群の両方であることはできない。したがって、例えばトンプソン群Fや、ヒグマン群を最大固有正規部分群で割った商群のような有限生成無限単純群は、線形群ではない。
• 上述のティッツの代替案の帰結により、グリゴルチュクのグループのような中間的な成長のグループは線形ではない。
• ティッツの代替案によれば、前述のように、フォン・ノイマン予想に対する反例はすべて線形ではない。これには、トンプソンの群Fやタルスキのモンスター群も含まれる。
• バーンサイドの定理によれば、タルスキーのモンスター群のような無限有限生成ねじれ群は線形にはなり得ない。
• 線形ではない双曲群の例があり、それらはリー群 Sp( n , 1 ) の格子の商として得られます。^{[ 10 ]}
• 自由群の外部自己同型群 Out (F _n )は、 nが少なくとも 4 の場合、線形ではないことが知られています。 ^{[ 11 ]}
• 編み込み群の場合とは対照的に、種数 > 2 の曲面の写像類群が線形であるかどうかは未解決の問題である。

ある群が線形であることが確立されると、例えば可能な限り低い次元の「最適な」忠実な線形表現を見つけようとしたり、あるいは（忠実でない表現も含めて）そのすべての線形表現を分類しようとしたりすることは興味深い。これらの問題は表現論の対象である。この理論の重要な部分には以下が含まれる。

• 有限群の表現論；
• リー群、そしてより一般的には線形代数群の表現論。

無限有限生成群の表現論は一般に謎に包まれています。この場合、関心の対象となるのは群の指標多様体であり、これは自由群、曲面群、より一般的にはリー群の格子（例えば、マルグリスの超剛性定理やその他の剛性結果を通して）など、ごく少数の場合にのみよく理解されています。

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。
• ロスマン、ウルフ（2002）、『リー群：線形群からの入門』、オックスフォード大学大学院数学テキスト、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780198596837。
• スプレンコ、DA（1976）。行列群。数学モノグラフ翻訳シリーズ。第 45巻。アメリカ数学会。ISBN 0-8218-1595-4。
• ウェールフリッツ、BAF (1973)。無限の線形群。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol.  76.シュプリンガー・フェルラーク。