トレース不等式

数学では、ヒルベルト空間上の行列や線型作用素に関する不等式が数多く存在します。この記事では、行列のトレースに関連する重要な作用素不等式をいくつか取り上げます。^{[1] [2] [3] [4]}

はエルミート行列の空間を表し、は半正定値エルミート行列の集合を表し、 は正定値エルミート行列の集合を表します。無限次元ヒルベルト空間上の演算子については、トレース類かつ自己随伴であることが要求されます。この場合も同様の定義が適用されますが、ここでは簡単にするために行列についてのみ説明します。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

区間上の任意の実数値関数に対して、スペクトル分解 が与えられたとき、 固有値と対応する射影子上に定義することによって、区間内の固有値を持つ任意の演算子の行列関数を定義することができる。${\displaystyle f}$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle A\in \mathbf {H} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle P}$$${\displaystyle f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ ${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}$

区間上で定義された関数は、すべてのおよびすべてのに対して次の 式が成り立つ場合、演算子単調であると言われます。 ここで、不等式は演算子が半正定値であることを意味します。実際には演算子単調 ではないことを確認できます。${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle n,}$${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$${\displaystyle I,}$$${\displaystyle A\geq B\implies f(A)\geq f(B),}$$${\displaystyle A\geq B}$${\displaystyle AB\geq 0}$${\displaystyle f(A)=A^{2}}$

関数が凸作用素であるとは、すべてのおよびすべてのに対して、および に固有値を持つとき、次が成り立つこと を言う。および はに固有値を持つので、 作用素はに固有値を持つことに注意。${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle 0<\lambda <1}$$${\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}$$${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle I.}$

関数は${\displaystyle f}$凹演算子は凸演算子です;=、つまり、上記の不等式は逆になります。 ${\displaystyle -f}$${\displaystyle f}$

区間上で定義された関数は次のように表現される。${\displaystyle g:I\times J\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle I,J\subseteq \mathbb {R} }$ すべておよびすべてで 固有値が にすべて固有値が にあり、任意の次が成り立つ とき、共凸である。${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}}$${\displaystyle J,}$${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$$${\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})~\leq ~\lambda g(A_ {1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2})。}$$

関数は${\displaystyle g}$−が共に凸である場合、すなわち、上記の不等式が逆転している場合、共に凹である。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

関数が与えられた場合、上の関連するトレース関数は によって与えられ 、は固有値を持ち 、は演算子の トレースを表します。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbf {H} _{n}}$$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

が連続で、n が任意の整数であるとします。 が単調増加であれば、 H _n上でもが単調増加です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle t\mapsto f(t)}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

同様に、が凸であればH _n上で も が凸であり、fが厳密に凸であれば は厳密に凸です。 ${\displaystyle t\mapsto f(t)}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)}$

例えば ^[1]の証明と議論を参照。

の場合、関数は演算子単調であり、演算子凹です。 ${\displaystyle -1\leq p\leq 0}$${\displaystyle f(t)=-t^{p}}$

の場合、関数は演算子単調であり、演算子凹です。 ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

の場合、関数は凸演算子である。さらに、 ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$${\displaystyle f(t)=t^{p}}$

${\displaystyle f(t)=\log(t)}$は凹演算子であり、単調演算子であるが、

${\displaystyle f(t)=t\log(t)}$凸演算子です。

この定理の最初の証明は、 fが演算子単調であるための必要十分条件を与えたK. Löwnerによるものです。 ^[5] この定理の基本的な証明は^[1]で議論されており、より一般的なバージョンは^{[6]で議論されています。}

すべてのエルミートn × n行列 Aと Bと導関数f' を持つすべての微分可能凸関数 、またはすべての正定値エルミート n × n行列 Aと Bとすべての微分可能凸関数f :(0,∞)→に対して、次の不等式が成り立ちます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

どちらの場合でも、f が厳密に凸である場合、等式はA = Bの場合にのみ成立します。アプリケーションでよく選択されるのはf ( t ) = t log tです(以下を参照)。

となるようにすると、 ${\displaystyle C=A-B}$${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle B+tC=(1-t)B+tA}$、

からまで変化します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

定義する

${\displaystyle F(t)=\operatorname {Tr} [f(B+tC)]}$。

トレース関数の凸性と単調性により、 は凸であり、すべてのに対して、 ${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle t\in (0,1)}$

${\displaystyle F(0)+t(F(1)-F(0))\geq F(t)}$、

つまり、

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq {\frac {F(t)-F(0)}{t}}}$、

そして実際、右辺は で単調減少します。 ${\displaystyle t}$

極限をとると、 ${\displaystyle t\to 0}$

${\displaystyle F(1)-F(0)\geq F'(0)}$、

これを並べ替えて置き換えるとクラインの不等式となる。

${\displaystyle \mathrm {tr} [f(A)-f(B)-(A-B)f'(B)]\geq 0}$

が厳密に凸で の場合、は 厳密に凸であることに留意してください。最後の主張は、このことと がで単調減少であるという事実から導かれます。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C\neq 0}$${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle {\tfrac {F(t)-F(0)}{t}}}$${\displaystyle t}$

1965年にS.ゴールデン^[7]とCJトンプソン^[8]は独立して、

任意の行列に対して、 ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{A+B}\leq \operatorname {Tr} e^{A}e^{B}.}$

この不等式は3つの演算子に対して一般化できる: ^[9]非負演算子の場合、 ${\displaystyle A,B,C\in \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{\ln A-\ln B+\ln C}\leq \int _{0}^{\infty }\operatorname {Tr} A(B+t)^{-1}C(B+t)^{-1}\,\operatorname {d} t.}$

Tr e ^R = 1となるようにする。g = Tr Fe ^Rと定義すると、 ${\displaystyle R,F\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} e^{F}e^{R}\geq \operatorname {Tr} e^{F+R}\geq e^{g}.}$

この不等式の証明は、上記とクラインの不等式を組み合わせることで得られる。f ( x ) = exp( x )、 A = R + F、B = R + gIとする。^[10]

がトレースクラスとなるような自己随伴作用素であるとする。すると、${\displaystyle H}$${\displaystyle e^{-H}}$${\displaystyle \gamma \geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma =1,}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma H+\operatorname {Tr} \gamma \ln \gamma \geq -\ln \operatorname {Tr} e^{-H},}$

等しい場合、そしてその場合のみ${\displaystyle \gamma =\exp(-H)/\operatorname {Tr} \exp(-H).}$

次の定理は、EH Liebによって証明されました。^{[9]これは、} EP Wigner、MM Yanase、Freeman Dysonの予想を証明し、一般化したものです。^{[11] 6年後、T. Ando [12]}とB. Simon ^[3]によって他の証明が与えられ、それ以来さらにいくつかの証明が与えられています。

すべての行列、およびかつとなるすべての およびに対して、上の実数値写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0\leq q\leq 1}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle q+r\leq 1}$${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{+}\times \mathbf {H} _{n}^{+}}$

${\displaystyle F(A,B,K)=\operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{r})}$

• 凹面である${\displaystyle (A,B)}$
• は において凸です。${\displaystyle K}$

ここでは 、${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle K.}$

固定されたエルミート行列に対して、関数 ${\displaystyle L\in \mathbf {H} _{n}}$

${\displaystyle f(A)=\operatorname {Tr} \exp\{L+\ln A\}}$

は凹面です。 ${\displaystyle \mathbf {H} _{n}^{++}}$

^{この定理と証明はEH Lieb [9]} Thm 6によるもので、Liebはこの定理をLiebの凹面定理の系として得ています。最も直接的な証明はH. Epstein ^[13]によるものです。この議論のレビューについては MB Ruskaiの論文^{[14] [15]}を参照してください。

安藤孝太郎によるリープの凹面定理の証明^[12]は、次のような重要な補足をもたらした。

すべての行列、および と （すべて）に対して、 上の実数値写像は次のように与えられる。 ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1\leq q\leq 2}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle q-r\geq 1}$${\displaystyle \mathbf {H} _{m}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (K^{*}A^{q}KB^{-r})}$

凸状です。

2つの演算子に対して次のマップを定義する ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n}^{++}}$

${\displaystyle R(A\parallel B):=\operatorname {Tr} (A\log A)-\operatorname {Tr} (A\log B).}$

密度行列 およびの場合、マップは梅垣の量子相対エントロピーです。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle R(\rho \parallel \sigma )=S(\rho \parallel \sigma )}$

の非負性は、とのクラインの不等式から導かれることに注意してください。 ${\displaystyle R(A\parallel B)}$${\displaystyle f(t)=t\log t}$

マップは共凸です。 ${\displaystyle R(A\parallel B):\mathbf {H} _{n}^{++}\times \mathbf {H} _{n}^{++}\rightarrow \mathbf {R} }$

すべての に対して、リープの凹定理により、 は共凹であり、したがって ${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})}$

${\displaystyle (A,B)\mapsto {\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)}$

凸です。しかし

${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 1}{\frac {1}{p-1}}(\operatorname {Tr} (B^{1-p}A^{p})-\operatorname {Tr} A)=R(A\parallel B),}$

そして、凸性は極限で保存されます。

証明はG.リンドブラッドによるものである。^[16]

ジェンセンの不等式の演算子バージョンはC.デイビスによるものである。^[17]

区間上の連続実関数がジェンセンの作用素不等式を満たすのは、次の式が成り立つときである。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle f\left(\sum _{k}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}\right)\leq \sum _{k}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

を持つ演算子に対しては、上のスペクトルを持つ自己随伴演算子に対しては です。 ${\displaystyle \{A_{k}\}_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}A_{k}^{*}A_{k}=1}$ ${\displaystyle \{X_{k}\}_{k}}$${\displaystyle I}$

以下の2つの定理の証明については ^{[17] [18]}を参照。

fを区間I上で定義された連続関数とし 、 mと nを自然数とする。fが凸ならば 、不等式は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} {\Bigl (}f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}{\Bigr )}\leq \operatorname {Tr} {\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k}{\Bigr )},}$

_Iに含まれるスペクトルを持つすべての（X ₁ , ... , X _n）自己随伴m × m行列と、 Iに含まれるスペクトルを持つ すべての（A ₁ , ... , An）m × m 行列に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

逆に、上記の不等式がn と m（ n > 1 ） に対して満たされる場合 、 f は凸です。

区間上で定義された連続関数の場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle f}$凸演算子です。
• それぞれの自然数に対して不等式が成り立つ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}X_{k}A_{k}{\Bigr )}\leq \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}f(X_{k})A_{k},}$

任意のヒルベルト空間上のすべての有界自己随伴作用素に対して、スペクトルが含まれ、${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (A_{1},\ldots ,A_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}^{*}A_{k}=1.}$

• ${\displaystyle f(V^{*}XV)\leq V^{*}f(X)V}$無限次元ヒルベルト空間上の各等長写像に対して、${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

のスペクトルを持つすべての自己随伴演算子。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle Pf(PXP+\lambda (1-P))P\leq Pf(X)P}$無限次元ヒルベルト空間上の各射影に対して、内のスペクトルを持つすべての自己随伴演算子と内のすべての が存在する。${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle I}$

^{EH LiebとWE Thirringは[19]} 1976年に次の不等式を証明した：任意のおよび${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$${\displaystyle r\geq 1,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{r}A^{r}B^{r}).}$$

^1990年[20]にH. Arakiは上記の不等式を次のように一般化した：任意のおよびおよび に対して、および に対して${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$${\displaystyle q\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB)^{rq})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q}),}$$${\displaystyle r\geq 1,}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} ((B^{r}A^{r}B^{r})^{q})~\leq ~\operatorname {Tr} ((BAB)^{rq}),}$$${\displaystyle 0\leq r\leq 1.}$

リープ・サーリング不等式に近い不等式は他にもいくつかある。例えば、次のとおりである。^[21]任意のおよびに対して、さらに 一般的には、次のとおりである。^[22]任意のおよびに対して、上記の不等式は、トレースの巡回性を利用して、 およびをと 交換することでわかるように、前の不等式を一般化したものである。${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0}$${\displaystyle \alpha \in [0,1],}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} (BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)~\leq ~\operatorname {Tr} (B^{2}AB^{2}),}$$${\displaystyle A\geq 0,}$ ${\displaystyle B\geq 0,}$ ${\displaystyle r\geq 1/2}$${\displaystyle c\geq 0,}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BAB^{2c}AB)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{c+1}A^{2}B^{c+1})^{r}).}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B^{2}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A^{(1-\alpha )/2}}$${\displaystyle \alpha =2c/(2c+2)}$$${\displaystyle \operatorname {Tr} ((BA^{\alpha }BBA^{1-\alpha }B)^{r})~\leq ~\operatorname {Tr} ((B^{2}AB^{2})^{r}).}$$

さらに、リープ＝ティリング不等式に基づいて、次の不等式が導かれた：^[23]任意のおよびすべてのに対して、 ${\displaystyle A,B\in \mathbf {H} _{n},T\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$${\displaystyle 1/p+1/q=1}$$${\displaystyle |\operatorname {Tr} (TAT^{*}B)|~\leq ~\operatorname {Tr} (T^{*}T|A|^{p})^{\frac {1}{p}}\operatorname {Tr} (TT^{*}|B|^{q})^{\frac {1}{q}}.}$$

E.エフロスは^[24]で次の定理を証明した。

が作用素凸関数であり、およびが可換な有界線型作用素、すなわち交換子である場合、視点${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$${\displaystyle [L,R]=LR-RL=0}$

${\displaystyle g(L,R):=f(LR^{-1})R}$

は共凸である、すなわち、(i=1,2)に対して、 ${\displaystyle L=\lambda L_{1}+(1-\lambda )L_{2}}$${\displaystyle R=\lambda R_{1}+(1-\lambda )R_{2}}$${\displaystyle [L_{i},R_{i}]=0}$${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$

${\displaystyle g(L,R)\leq \lambda g(L_{1},R_{1})+(1-\lambda )g(L_{2},R_{2}).}$

エバディアンらは後に、とが可換でない場合にも不等式を拡張した。 ^[25]${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$

フォン・ノイマンのトレース不等式は、考案者のジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられ、それぞれ特異値とを持つ複素行列と、 ^[26]とが 場合のみ等式となることを述べています。 ^[27]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{n}}$${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \cdots \geq \beta _{n}}$ $${\displaystyle |\operatorname {Tr} (AB)|~\leq ~\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\beta _{i}\,,}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle B^{\dagger }}$

この単純な帰結は次の通りである: ^[28]エルミート 正半定値複素行列とに対して、固有値がそれぞれ減少順に並べられているとすると、 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i+1}~\leq ~\operatorname {Tr} (AB)~\leq ~\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\,.}$$

• リープ・サーリング不等式
• シュール・ホーンの定理 – 与えられた固有値を持つエルミート行列の対角線を特徴付ける
• トレースの恒等式 – 行列のトレースを含む方程式
• フォン・ノイマン・エントロピー – 量子論におけるエントロピーの種類

• Scholarpedia 一次情報源。