分配法則

分配法則

正の数の分配法則の視覚化
タイプ	法律、置き換えのルール
分野	初等代数学 ブール代数 抽象代数 集合論 命題計算
象徴的な声明	初等代数学 $${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$ 命題計算: ${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))}$ ${\displaystyle (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$

数学において、二項演算の分配法則は分配法則の一般化であり、初等代数 では等式が常に成り立つことを主張する 。たとえば、初等算術では、 したがって、乗算は加算に対して分配される と言うことができる。 $${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$$$${\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).}$$

この数の基本的な性質は、複素数、多項式、行列、環、体など、加算と乗算という 2 つの演算を持つほとんどの代数構造の定義の一部です。また、ブール代数や数理論理学でも見られ、論理 and ( と表記) と論理 or ( と表記)のそれぞれが他方に分配されます。 ${\displaystyle \,\land \,}$${\displaystyle \,\lor \,}$

集合と2つの二項演算子 と${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,*\,}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle S,}$

• この演算は、任意の要素が与えられた場合、（またはに関して）左分配的である。${\displaystyle \,*\,}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}$$

• の任意の要素が与えられた場合、この演算は右分配的である。${\displaystyle \,*\,}$${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle x,y,{\text{ and }}z}$${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}$$

• そして、その演算が左分配的かつ右分配的であれば、その演算は分配的である。 ^[1]${\displaystyle \,*\,}$${\displaystyle \,+\,}$

が可換である場合、上記の 3 つの条件は論理的に同等です。 ${\displaystyle \,*\,}$

このセクションの例で使用されている演算子は、通常の加算 と乗算の演算子です。${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \,\cdot .\,}$

示された演算が可換でない場合、左分配性と右分配性の間には区別があります。 ${\displaystyle \cdot }$

$${\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (left-distributive) }}}$$ $${\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (right-distributive) }}.}$$

どちらの場合でも、分配法則は次のように言葉で説明できます。

和(または差) に係数を掛けるには、各加数 (または減数と減数) にこの係数を掛け、その結果の積を加算 (または減算) します。

括弧の外側の演算（この場合は乗算）が可換である場合、左分配法則は右分配法則を意味し、その逆も同様であり、単に分配法則について話すことになります。

右分配法則にのみ従う演算の一例は除算ですが、これは可換ではありません。 この場合、左分配法則は適用されません。 $${\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.}$$$${\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}$$

分配法則は、環（整数環など）や体（有理数体など）の公理の 1 つです。ここで、乗算は加算に対して分配的ですが、加算は乗算に対して分配的ではありません。2 つの演算が互いに分配的である構造の例としては、集合代数やスイッチング代数などのブール代数があります。

和の掛け算は、次のように言葉で表現できます。ある和を別の和で掛け算する場合、ある和の各加数を他の和の各加数と掛け算し (符号に注意しながら)、結果として得られる積をすべて足します。

以下の例では、実数の集合に対する分配法則の使用法を示します。初等数学で乗算について言及する場合、通常はこの種の乗算を指します。代数の観点からは、実数は体を形成し、分配法則の妥当性を保証します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

最初の例（暗算と筆算）

暗算の際には、分配法則が無意識によく使用されます。 つまり、頭の中で計算するには、まず と を掛け算し、中間結果を足します。筆算も分配法則に基づいています。 $${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$${\displaystyle 6\cdot 16}$${\displaystyle 6\cdot 10}$${\displaystyle 6\cdot 6}$

2番目の例（変数あり）

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

3番目の例（合計が2つある場合）

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$ ここでは分配法則が 2 回適用されており、どの括弧を最初に乗算するかは問題ではありません。

4番目の例

ここでは分配法則が前の例とは逆に適用される。 因数はすべての加数に出現するため、因数分解できる。つまり、分配法則により、 $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$${\displaystyle 6a^{2}b}$$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

分配法則は行列の乗算に有効です。より正確には、 すべての - 行列と- 行列、および すべての- 行列と- 行列に 有効です。行列の乗算には交換法則が当てはまらないため、2 番目の法則は 1 番目の法則から導き出されません。この場合、これらは 2 つの異なる法則です。 $${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$$${\displaystyle l\times m}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle C,}$$${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$$${\displaystyle l\times m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B,C.}$

• 対照的に、序数の乗算は左分配的であり、右分配的ではありません。
• 外積はベクトル加算に対して左分配的および右分配的であるが、可換ではない。
• 集合の和集合は積集合に対して分配的であり、積集合は和集合に対して分配的である。
• 論理和("or") は論理積("and") に対して分配的であり、逆もまた同様です。
• 実数（および任意の全順序集合）の場合、最大演算は最小演算に対して分配的であり、その逆も同様です。$${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$$
• 整数の場合、最大公約数は最小公倍数に分配され、その逆も同様です。$${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$$
• 実数の場合、加算は最大演算だけでなく最小演算にも分配されます。$${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$$
• 二項式の乗算では、分布はFOIL法^[2]（最初の項が外側、最後の項が内側）と呼ばれることもあります。${\displaystyle ac,}$${\displaystyle ad,}$${\displaystyle bc,}$${\displaystyle bd}$${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• 複素数、四元数、多項式、行列を含むすべての半環では、乗算は加算に対して分配されます。${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• 八元数やその他の非結合的代数を含む、体上のすべての代数では、乗算は加算に対して分配されます。

標準的な真理関数型命題論理では、論理証明における分配^{[3] [4]は、2つ}の有効な置換規則を使用して、ある論理式内の特定の論理接続詞の個々の出現を、指定された論理式の部分式全体にわたるそれらの接続詞の個別の適用に拡張します。規則は次のとおりです。 ここで、「」は、メタ論理記号とも表記され、「証明で に置き換えることができる」または「論理的に同等である」を表します。 $${\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))}$$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle \,\equiv ,\,}$

分配性は、真理関数型命題論理のいくつかの論理接続詞の特性です。次の論理同値性は、分配性が特定の接続詞の特性であることを示しています。以下は、真理関数型トートロジーです。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}$$

二重分配

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}$$

浮動小数点演算などの近似演算では、演算精度の制限により、加算に対する乗算 (および除算) の分配法則が成り立たない場合があります。たとえば、有効桁数に関係なく、10 進演算では恒等式が成立しません。銀行家の丸めなどの方法は、精度を上げることと同様に、場合によっては役立つことがありますが、最終的には計算エラーが避けられません。 ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$

分配法則は半環、特に環と分配格子の特殊なケースで最もよく見られます。

半環には、一般にととで示される2つの二項演算があり、が分配されることが求められる。${\displaystyle \,+\,}$${\displaystyle \,*,}$${\displaystyle \,*\,}$${\displaystyle \,+.}$

環は加法的な逆元を持つ半環です。

格子は、2 つの二項演算を持つ別の種類の代数構造です。 これらの演算のいずれかが他の演算に対して分配される場合 (に対して分配するとします)、その逆も成り立ち (に対して分配するとします)、格子は分配的であると呼ばれます。分配性 (順序理論)も参照してください。 ${\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .}$${\displaystyle \,\land \,}$${\displaystyle \,\lor }$${\displaystyle \,\lor \,}$${\displaystyle \,\land \,}$

ブール代数は、特別な種類の環 (ブール環) または特別な種類の分配格子 (ブール格子) として解釈できます。それぞれの解釈は、ブール代数における異なる分配法則の原因となります。

分配法則を持たない同様の構造には、環と除算環の代わりに、近傍環と近傍体があります。演算は通常、右側では分配的であるように定義されますが、左側では分配的ではありません。

いくつかの数学の分野では、一般化された分配法則が検討されています。これには、上記の条件の緩和や無限演算への拡張が含まれる場合があります。特に、順序理論では、分配法則の重要な変種が数多くあります。その中には、無限分配法則などの無限演算が含まれるものや、分配法則 (順序理論)の記事で説明されているように、1 つの二項演算のみがある場合に定義されるものもあります。これには、完全に分配的な格子の概念も含まれます。

順序関係がある場合、または のいずれかに置き換えることで上記の等式を弱めることもできます。当然、これは一部の状況でのみ意味のある概念につながります。この原則の応用は、区間演算に関する記事で説明されている部分分配性の概念です。 ${\displaystyle \,=\,}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\geq .}$

圏理論では、およびが圏上のモナドである場合、分配法則は、がモナドの緩い写像であり、 がモナドの共乗写像であるような自然な変換です。これは、 上のモナド構造を定義するために必要なデータとまったく同じです。乗算写像は であり、単位写像は です。モナド間の分配法則を参照してください。 ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ ${\displaystyle S\to S}$${\displaystyle (S,\lambda )}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$${\displaystyle S^{\prime }.S}$${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$

一般化された分配法則は情報理論の分野でも提案されている。

逆を任意の群の二項演算に関連付ける普遍的な恒等式、すなわち反転を持つ半群のより一般的な文脈で公理としてとらえられる恒等式は、 （一項演算としての逆の）反分配的性質と呼ばれることもある。^[5]${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$

加法的に書かれた群の可換性を取り除き、片側分配性のみを仮定する近環の文脈では、（両側）分配元だけでなく、反分配元についても語ることができる。後者は（非可換な）加算の順序を逆にする。左近環（すなわち、左に掛け算するとすべての元が分配される環）を仮定すると、反分配元は右に掛け算すると加算の順序を逆にする：^[6]${\displaystyle a}$${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$

命題論理とブール代数の研究では、反分配法則という用語は、含意が連言と選言を因数分解するときにそれらの交換を示すために使用されることがある。^[7] $${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$ $${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

これら 2 つのトートロジーは、ド・モルガンの法則の二重性から直接生じた結果です。

無料辞書『ウィクショナリー』で「distributivity」を調べてください。

• 整数演算の分配法則のデモンストレーション（cut-the-knotより）