弱収束（ヒルベルト空間）

数学において、ヒルベルト空間における弱収束とは、弱い位相における点の列の収束である。

ヒルベルト空間H内の点列がH内の点xに弱収束するとは、 ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$

となる。ここで、はヒルベルト空間上の内積であると理解される。表記 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

この種の収束を表すために使われることもある。^[1]

• シーケンスが強く収束する場合 (つまり、ノルムで収束する場合)、それは弱収束もします。
• すべての閉集合および有界集合は弱相対コンパクト(弱位相における閉包がコンパクト) なので、ヒルベルト空間Hのすべての有界列 には弱収束部分列が含まれます。閉集合および有界集合は一般にヒルベルト空間では弱コンパクトではないことに注意してください (無限次元ヒルベルト空間の正規直交基底からなる集合を考えます。この基底は閉集合および有界ですが、0 を含まないため弱コンパクトではありません)。ただし、有界集合および弱閉集合は弱コンパクトであるため、結果としてすべての凸有界閉集合は弱コンパクトになります。${\displaystyle x_{n}}$
• 一様有界性の原理の結果として、すべての弱収束する数列は有界になります。
• ノルムは（逐次的に）弱下半連続である： がxに弱収束する場合、${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

そして、この不等式は収束が強くない場合は厳密です。たとえば、無限正規直交列は以下に示すように弱くゼロに収束します。

• 弱くかつならば、強く:${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$${\displaystyle x_{n}\to x}$

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• ヒルベルト空間が有限次元、つまりユークリッド空間である場合、弱収束と強収束は同値です。

ヒルベルト空間は、次のように定義される内積を備えた 区間上の平方積分可能な関数の空間である。${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

（L ^p空間を参照 ）。${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

は、積分 ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

が無限大に近づくとき、任意の二乗可積分関数はゼロに近づく。これはリーマン・ルベーグの補題により、すなわち ${\displaystyle g}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

が無限大に近づくにつれてにおける 0 の数は増えていきますが、もちろん は任意の に対してゼロ関数と等しくはなりません。はまたはノルムでは 0 に収束しないことに注意してください。この相違は、このタイプの収束が「弱い」とみなされる理由の 1 つです。 ${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle L_{\infty }}$${\displaystyle L_{2}}$

正規直交となるように構築されたシーケンスを考えてみましょう。 ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}$

ここで、m = nの場合には 1 、そうでない場合には 0 となる。この数列が無限大の場合には、弱収束して 0 となる。簡単な証明は以下の通りである。x ∈ Hの場合には、 ${\displaystyle \delta _{mn}}$

${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$（ベッセルの不等式）

ここで等式は{ e _n }がヒルベルト空間基底のときに成立する。したがって

${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}$（上記の級数は収束するので、対応する数列は必ずゼロになる）

つまり

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}$

バナッハ・サックスの定理は、すべての有界列には部分列と点xが含まれ、 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

N が無限大に近づくにつれてxに強く収束します。

弱収束の定義はバナッハ空間に拡張できます。バナッハ空間B内の点の列は、上で定義された 任意の有界線型関数 に対して、つまり双対空間内の任意の に対して、 である場合に 、 B内の点xに弱収束するといいます。 がおよび上のLp 空間である場合、そのような任意の は、 のある に対して の形を持ちます 。ここで は上の測度であり、は共役インデックスです。 ${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle p<+\infty }$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$$${\displaystyle y\in \,L^{q}(\Omega )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

がヒルベルト空間である場合、リースの表現定理により、 内の 何らかの に対して、弱収束のヒルベルト空間定義が得られます。 ${\displaystyle B}$$${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$$${\displaystyle y}$${\displaystyle B}$

• デュアルトポロジー
• 作用素位相– ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相