単位間隔

数学において、単位区間は閉区間 [0,1]、つまり0 以上 1 以下のすべての実数の集合です。単位区間はI (大文字のI ) と表記されることが多いです。実解析における役割に加えて、単位区間は位相幾何学の分野でホモトピー理論を研究するためにも使用されます。

文献では、「単位区間」という用語は、0 から 1 までの区間が取り得る他の形状(0,1]、[0,1)、および(0,1)にも適用されることがあります。ただし、表記法I は、閉区間[0,1]に対して最も一般的に使用されます。

単位区間は、拡張された実数直線に同相な完全な距離空間です。位相空間としては、コンパクト、収縮可能、経路連結、局所経路連結です。ヒルベルト キューブは、単位区間の可算な数の複製の位相積を取ることで得られます。

数学的解析において、単位区間は境界が 0 と 1 の 2 つの点で構成される1 次元解析多様体です。その標準的な方向は0 から 1 までです。

単位区間は完全に順序付けられた集合であり、完全な格子です（単位区間のすべての部分集合には上限と下限があります）。

セットのサイズまたは基数は、セットに含まれる要素 の数です。

単位区間は実数の部分集合です。しかし、その大きさは連続体の濃度である集合全体と同じです。実数は無限に長い直線に沿った点を表すために使用できるため、このことは、その直線の一部である長さ 1 の線分の点の数が、直線全体と同じであることを意味します。さらに、その線分の点の数は、面積1 の正方形、体積1の立方体、さらには無限のn次元ユークリッド空間と同じです(空間充填曲線を参照)。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

上記のすべての集合内の要素（実数または点）の数は、自然数の数よりも確実に大きいため、無数です。

単位区間は曲線です。開区間 (0,1) は正の実数のサブセットであり、それらの方向を継承します。区間が 1 から入力されると方向が反転します。たとえば、区間内のxの自然対数を定義するために使用される積分では、そのようなxの対数が負の値になります。実際、この積分は符号付き面積として評価され、そこでの方向が反転しているため、単位区間上の 面積が負になります。${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$

長さが2で正負の単位で区切られた区間[-1,1]は、三角関数の正弦と余弦、双曲関数の正接の範囲などで頻繁に現れます。この区間は逆関数の領域に使用できます。たとえば、𝜃 が[−π/2, π/2]に制限されている場合、 はこの区間にあり、そこで逆正弦が定義されます。 ${\displaystyle \sin \theta}$

時々、「単位区間」という用語は、ホモトピー理論における[0,1]の役割に類似した役割を果たす数学のさまざまな分野におけるオブジェクトを指すために使用されます。たとえば、箙の理論では、単位区間 (の類似物) は、頂点集合がであり、ソースが 0 でターゲットが 1 である単一のエッジeを含むグラフです。連続マップ間のホモトピーの概念に類似した、箙準同型間のホモトピーの概念を定義できます。 ${\displaystyle \{0,1\}}$

論理学では、単位区間[0,1] はブール領域{0,1}の一般化として解釈することができ、その場合、0 または 1 の値のみを取るのではなく、0 から 1 までの間の任意の値を想定できます。代数的には、否定(NOT) は1 − xに置き換えられ、論理積(AND) は乗算 ( xy ) に置き換えられ、論理和(OR) はド・モルガンの法則に従って1 − (1 − x )(1 − y )と定義されます。

これらの値を論理的な真理値として解釈すると、多値論理が生成され、これがファジー論理と確率論理の基礎となります。これらの解釈では、値は真理の「度合い」、つまり命題がどの程度真実であるか、または命題が真実である確率として解釈されます。

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• インターバル表記
• 単位正方形、立方体、円、双曲線、球
• ユニットインパルス
• 単位ベクトル

• Robert G. Bartle、1964 年、「The Elements of Real Analysis」、John Wiley & Sons。