1パラメータ群

数学において、1パラメータ群または1パラメータ部分群は通常、連続群準同型を意味する。

${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \rightarrow G}

実際のラインから${\displaystyle \mathbb {R} }$（他の位相群​​への加法群として）${\displaystyle G}$。 もし${\displaystyle \varphi }$単射である場合${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$画像は、以下のサブグループになります。${\displaystyle G}$それは${\displaystyle \mathbb {R} }$加法群として。その名前にもかかわらず、「1パラメータ群」は実際には群ではなく、群間の準同型写像です。

1 パラメータ群は、 1893 年にSophus Lieによって無限小変換を定義するために導入されました。Lie によれば、無限小変換とは、それが生成する 1 パラメータ群の無限小変換のことです。^{[ 1 ]}これらの無限小変換によって、任意の次元のリー群を記述するために使用されるリー代数が生成されます。

1パラメータ群が集合に及ぼす作用はフローと呼ばれます。多様体上の滑らかなベクトル場は、ある点において局所フロー、すなわちベクトル場の積分曲線に沿って点を写像する局所微分同相写像の1パラメータ群を誘導します。ベクトル場の局所フローは、ベクトル場に沿ったテンソル場のリー微分を定義するために用いられます。

曲線${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} \rightarrow G} は、1 パラメータ部分群と呼ばれます。${\displaystyle G}$条件^{[ 2 ]を満たす場合}

${\displaystyle \phi (t)\phi (s)=\phi (s+t)}$。

リー理論において、1パラメータ群は、対応するリー代数の1次元部分空間に対応する。リー群とリー代数の対応関係は、1890年代にソフス・リーによって始められた学問の基礎となっている。

もう1つの重要な事例は関数解析に見られる。${\displaystyle G}$ヒルベルト空間上のユニタリ作用素の群である。1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理を参照のこと。

PMコーンは著書『リー群』の中で、次の定理を示した。

連結した1次元リー群は、解析的に実数の加法群と同型である。${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$または${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$実数の加法群${\displaystyle \mod 1}$特に、すべての 1 次元リー群は局所的に同型である。${\displaystyle \mathbb {R} }$[ ^{3 ]​}

物理学では、1パラメータ群は力学系を記述します。^{[ 4 ]}さらに、物理法則のシステムが微分可能な対称性の1パラメータ群を許容する場合、ノーターの定理により保存量があります。

時空の研究において、単位双曲線を用いて時空間測定を較正することは、 1908年にヘルマン・ミンコフスキーが論じて以来一般的になっている。相対性原理は、単位双曲線のどの直径を用いて世界線を決定するかという恣意性に還元された。双曲線角を持つ双曲線のパラメータ化を用いることで、特殊相対性理論は、ラピディティによって添え字付けられた1パラメータ群による相対運動の計算を提供した。ラピディティは、相対性理論の運動学および動力学において速度に取って代わる。ラピディティは有界ではないため、それが基づいている1パラメータ群は非コンパクトである。ラピディティの概念は、 1910年にETウィテカーによって導入され、翌年にアルフレッド・ロブによって命名された。ラピディティパラメータは、19世紀の概念である双曲線バーソルの長さに相当する。数理物理学者のジェームズ・コックル、ウィリアム・キングドン・クリフォード、アレクサンダー・マクファーレンは、いずれも自身の著作の中で、演算子によるデカルト平面の等価写像を用いていた。${\displaystyle (\cosh {a}+r\sinh {a})}$、 どこ${\displaystyle a}$は双曲線角であり、$\displaystyle r^{2}=+1}$。

リー群の理論における重要な例は、${\displaystyle G}$とみなされる${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$可逆群${\displaystyle n\times n}$複素数要素を持つ行列。その場合、基本的な結果は次のとおりです。^{[ 5 ]}

定理：${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )} は 1 パラメータ群である。このとき、一意の群が存在する。${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle X}$そのため

$\displaystyle \varphi (t)=e^{tX}}$

すべての人々のために$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$。

この結果から、${\displaystyle \varphi }$行列は微分可能であるが、これは定理の仮定ではなかった。${\displaystyle X}$その後、回復することができます${\displaystyle \varphi }$として

${\displaystyle \left.{\frac {d\varphi (t)}{dt}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}e^{tX}=\left.(Xe^{tX})\right|_{t=0}=Xe^{0}=X}$。

この結果は、例えば、行列リー群間の任意の連続準同型写像が滑らかであることを示すために使用できる。^{[ 6 ]}

技術的な問題は、${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} )}$部分空間として${\displaystyle G}$より粗いトポロジーを持つ可能性がある${\displaystyle \mathbb {R} }$;これは次のような場合に起こる可能性があります${\displaystyle \varphi }$は単射です。例えば、次のような場合を考えてみてください。${\displaystyle G}$トーラスである${\displaystyle T}$、 そして${\displaystyle \varphi }$直線を巻き付けて構築する${\displaystyle T}$不合理な傾きで。

その場合、誘導されるトポロジーは実数直線の標準的なトポロジーとは異なる可能性がある。

• 指数写像（リー理論）
• 積分曲線
• 1パラメータ半群
• ネーターの定理

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol.  222 (2nd  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666。