完全に区切られた空間

位相幾何学や数学の関連分野において、全有界性は、集合が必ずしも閉じていない状況におけるコンパクト性の一般化です。全有界集合は、あらゆる固定された「サイズ」の有限個の部分集合で覆うことができます（「サイズ」の意味は周囲の空間の構造によって異なります）。

プレコンパクト（またはプレコンパクト）という用語は、同じ意味で使用されることもありますが、プレコンパクトは、比較的コンパクトであることを意味する場合にも使用されます。これらの定義は、完全な距離空間のサブセットについては一致しますが、一般には一致しません。

計量空間 が完全に有界であるための必要十分条件は、任意の実数 に対して、中心がM にあり、その和集合がM を含む、 半径 の開球の有限集合が存在することである。同様に、計量空間Mが完全に有界であるための必要十分条件は、任意の に対して、被覆の各要素の半径が最大で であるような有限被覆が存在することである。これは、有限ε-ネットが存在することと同等である。^[1] 計量空間が完全に有界であるためには、すべての数列がコーシー部分列を許容する必要がある。完全な計量空間では、集合がコンパクトであるためには、それが閉じていて完全に有界である場合が必要である。^[2]${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$

完全に有界な空間はそれぞれ有界である（有限個の有界集合の和集合が有界であるのと同じように）。逆はユークリッド空間の部分集合（部分空間位相を持つ）に対しては真であるが、一般には当てはまらない。例えば、離散計量を備えた無限集合は有界であるが、完全に有界ではない：^[3]半径以下の離散球はすべて単数であり、単数の有限和集合は無限集合を覆うことができない。 ${\displaystyle \epsilon =1/2}$

計量は、有限被覆の各要素が同等のサイズであり、均一構造のサイズに弱めることができることを保証するためにのみ、全有界性の定義に登場します。均一空間Xの部分集合Sが完全に有界であるためには、任意の側近Eに対して、各直交座標がEの部分集合であるXの部分集合によるSの有限被覆が存在する必要があります。(言い換えると、E は「サイズ」εを置き換え、部分集合のサイズは、その直交座標が E の部分集合である場合に限ります。 ) [ 4 ^]

定義はさらに拡張され、コンパクト性とコーシー完備化の概念を持つ任意の空間のカテゴリに拡張できます。つまり、空間が完全に有界となるのは、その (コーシー) 完備化がコンパクトである場合のみです。

• 概念が定義されるときはいつでも、すべてのコンパクト セットは完全に有界です。
• すべての完全に有界な集合は有界です。
• 実数直線の部分集合、またはより一般的には有限次元ユークリッド空間の部分集合が全有界となるのは、それが有界となる場合のみである。^{[5] [3]}
• ヒルベルト空間、またはより一般的にはバナッハ空間内の単位球は、空間が有限次元を持つ場合のみ、（ノルム位相において）全有界です。
• コンパクト集合上の等連続有界関数は一様位相においてプレコンパクトである。これがアルツェラ・アスコリ定理である。
• 距離空間が可分であるためには、それが完全に有界な距離空間と同相でなければならない。 ^[3]
• 全有界部分集合の閉包もまた全有界である。^[6]

距離空間では、集合がコンパクトであるためには、それが完全かつ完全に有界である必要があります。^[5]選択公理がなければ、順方向のみが成り立ちます。プレコンパクト集合は、コンパクト集合といくつかの特性を共有しています。

• コンパクト集合と同様に、完全に有界な集合の有限和も完全に有界です。
• コンパクト集合とは異なり、全有界集合のすべての部分集合は、再び全有界になります。
• コンパクト集合の連続像はコンパクトです。プレコンパクト集合の一様連続像はプレコンパクトです。

全有界性の概念は距離空間と密接に結びついているが、位相群のより大きな代数構造により、いくつかの分離特性を犠牲にすることができる。例えば、距離空間では、集合がコンパクトであるためには、完全かつ全有界である必要がある。以下の定義によれば、同じことが任意の位相ベクトル空間（必ずしもハウスドルフや完全である必要はない）にも当てはまる。^{[6] [7] [8]}

定義の一般的な論理形式は次のようになります。空間のサブセットが完全に有界である場合、かつその場合のみ、任意のサイズに対しての有限カバーが存在し、 の各要素のサイズが最大でも である場合に、そのサブセットがそれ自身のサブセットとして考えたときに完全に有界である場合に限ります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$

我々は、恒等群の任意の近傍に対して、部分集合が（左）小さいと呼ばれるのは、次の条件のいずれかを満たす場合のみであるという慣例を採用する。 [ 6 ]位相^群の 部分集合が（左）全有界であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たす場合である。 ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. 定義: 恒等式の任意の近傍に対して、${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left(x_{n}+U\right).}$
2. の任意の近傍に対して、となる有限部分集合が存在する(ここで右辺はミンコフスキー和)。${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle F\subseteq X}$${\displaystyle S\subseteq F+U}$ ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$
3. の任意の近傍に対して、それぞれが-小さいような有限個の部分集合が存在する。^[6]${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle U}$
4. 単位元の近傍フィルタの任意のフィルタサブベース （におけるのすべての近傍からなる）に対して、任意の に対して、の有限個の -小部分集合によるの被覆が存在する^[6]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$
5. ${\displaystyle S}$はコーシー有界である：の恒等集合の近傍と の可算無限部分集合のそれぞれに対して、 となる別個の が存在する。 ^[6]（ が有限であれば、この条件は空に満たされる）。${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x,y\in I}$${\displaystyle x-y\in U.}$${\displaystyle S}$
6. 次の 3 つの集合はいずれも、（左）全有界であること（上記の定義のいずれか）を満たします。
   1. [ 6 ^]の 閉鎖${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$
      • この集合がリストにあるということは、次の特徴が成り立つことを意味します:が (左) 完全に有界であるのは、(上記の定義条件のいずれかに従って) が (左) 完全に有界である場合に限ります。以下にリストされている他の集合についても同じ特徴が成り立ちます。${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$
   2. （単位元）によって定義される標準商によるの像。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$${\displaystyle 0}$
   3. 合計^[9]${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

プレコンパクトという用語は、通常、ハウスドルフ位相ベクトル空間の文脈で登場します。^{[10] [11]} その場合、以下の条件もすべて（左）全有界であることと同値です。 ${\displaystyle S}$

7. の閉鎖の完了 はコンパクトである。^{[10] [12]}${\displaystyle {\widehat {X}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$${\displaystyle S}$
8. 上のすべての超フィルターはコーシーフィルターです。${\displaystyle S}$

右全有界の定義も同様です。積の順序を入れ替えるだけです。

条件4は、の任意の部分集合が完全に有界である（実際はコンパクトである。上記の§コンパクト集合との比較を参照）ことを意味する。がハウスドルフ集合でない場合、例えば、は閉じていないコンパクト完全集合である。^[6]${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$

任意の位相ベクトル空間は加法に関してアーベル位相群であるため、上記の条件が適用される。歴史的には、ステートメント6(a)は位相ベクトル空間の全有界性の最初の定式化であり、1935年のジョン・フォン・ノイマンの論文に遡る。^[13]

この定義には、弱位相を備えた局所凸空間では、プレコンパクト集合がまさに有界集合であるという魅力的な特性があります。

可分バナッハ空間の場合、（ノルム位相における）プレコンパクト集合は、関数の弱収束列によってうまく特徴付けられる。 が可分バナッハ空間である場合、 がプレコンパクトであるためには、すべての関数の弱収束列が^[14]に一様収束することが必要である。${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S.}$

• 位相ベクトル空間の完全に有界な部分集合の平衡包もまた完全に有界である。 ^{[6] [15]}
• 2 つのコンパクト (完全に有界) 集合のミンコフスキー和はコンパクト (完全に有界) です。
• 局所凸（ハウスドルフ）空間において、全有界集合の凸包と円包が全有界となるのは、が完備である場合のみである。^[16]${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

• コンパクトなスペース
• 局所的にコンパクトな空間
• 非コンパクト性の尺度
• オルトコンパクト空間
• パラコンパクト空間
• 比較的コンパクトな部分空間