無料グループ

数学において、自由群${\displaystyle F_{S}}$与えられた集合に対して${\displaystyle S}$は、メンバーから構築できるすべての単語で構成されます。${\displaystyle S}$2 つの単語は、それらの等価性が群公理から導かれない限り、異なるものとみなされる（例：${\displaystyle st=suu^{-1}t}$しかし$s≠t⁻¹$のために${\displaystyle s,t,u\in S}$) のメンバー${\displaystyle S}$は、​${\displaystyle F_{S}}$、生成子の数は自由群のランクである。任意の群${\displaystyle G}$が と同型である場合、は自由であると呼ばれる。${\displaystyle F_{S}}$ある部分集合に対して${\displaystyle S}$の${\displaystyle G}$つまり、部分集合が存在する場合${\displaystyle S}$の${\displaystyle G}$あらゆる要素が${\displaystyle G}$は、有限個の要素の積として正確に1つの方法で記述できます。${\displaystyle S}$およびそれらの逆数（例えば、${\displaystyle st=suu^{-1}t}$)

関連するが、異なる概念として自由アーベル群がある。どちらの概念も、普遍代数からの自由対象の特殊な例である。そのため、自由群はその普遍性によって定義される。

自由群は、双曲幾何学の研究において、フックス群（双曲平面上で等長変換によって作用する離散群）の例として初めて現れた。1882年の論文で、ヴァルター・フォン・ダイクは、これらの群が可能な限り最も単純な表現を持つことを指摘した。^{[ 1 ]}自由群の代数的研究は、1924年にヤコブ・ニールセンによって開始され、彼はそれらに名前を付け、その基本的な性質の多くを確立した。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}マックス・デーンは、トポロジーとの関連性を認識し、ニールセン・シュライアー定理の完全な最初の証明を得た。^{[ 5 ]}オットー・シュライアーは、1927年にこの結果の代数的証明を発表し、^{[ 6 ]}クルト・ライデマイスターは、1932年の組合せトポロジーに関する著書で自由群の包括的な扱いを含めた。^{[ 7 ]} 1930年代後半、ヴィルヘルム・マグナスは自由群の下位中心系列と自由リー代数の間の関係を発見した。

グループ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$整数の集合はランク 1 を含まない。生成集合は${\displaystyle S=\{1\}}$整数は自由アーベル群でもあるが、ランクのすべての自由群は$\displaystyle \geq 2$非可換群である。2要素集合上の自由群${\displaystyle S}$これはバナッハ＝タルスキーのパラドックスの証明に登場し、そこで説明されている。

一方、非自明な有限群は自由群にはなり得ない。なぜなら、自由群の自由生成集合の要素は無限位数を持つからである。

代数トポロジーにおいて、k個の円の束（共通点が1つしかないk個のループの集合）の基本群は、 k個の要素の集合上の自由群である。

フリーグループ${\displaystyle F_{S}}$自由生成セット付き${\displaystyle S}$以下のように構成できます。 ${\displaystyle S}$は記号の集合であり、すべての に対して と仮定します。${\displaystyle s}$で${\displaystyle S}$対応する「逆」記号があり、$\displaystyle s^{-1}}$セットで${\displaystyle S^{-1}}$。 させて${\displaystyle T=S\cup S^{-1}}$、そして単語を定義する${\displaystyle S}$要素の書面による成果物である${\displaystyle T}$つまり、${\displaystyle S}$は、によって生成されるモノイドの要素です。${\displaystyle T}$空の単語とは、記号が全く含まれていない単語のことです。たとえば、${\displaystyle S=\{a,b,c\}}$、 それから${\displaystyle T=\{a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}}$、 そして $${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\,}$$ は単語です${\displaystyle F_{S}}$。

要素${\displaystyle S}$その逆のすぐ隣にあるので、単語は省略して簡略化できます。${\displaystyle c,c^{-1}}$ペア： $${\displaystyle ab^{3}c^{-1}ca^{-1}c\;\;\longrightarrow \;\;ab^{3}\,a^{-1}c.}$$ これ以上単純化できない単語は、縮約された単語と呼ばれます。

フリーグループ${\displaystyle F_{S}}$は、すべての短縮語のグループとして定義されます。${\displaystyle S}$単語の連結（必要に応じて縮約）を群演算とする。恒等式は空語である。

短縮語は、最初の文字と最後の文字が互いに逆順でない場合、巡回短縮語と呼ばれます。すべての単語は巡回短縮語と共役であり、巡回短縮語の巡回短縮共役は、その単語の文字の巡回順列です。例えば${\displaystyle b^{-1}abcb}$は循環的に還元されないが、共役である${\displaystyle abc}$これは、周期的に還元される。 の唯一の周期的に還元された共役体は${\displaystyle abc}$は${\displaystyle abc}$、${\displaystyle bca}$、 そして${\displaystyle キャブ}$。

フリーグループ${\displaystyle F_{S}}$は集合によって生成される普遍群である。${\displaystyle S}$これは次の普遍的な性質によって形式化できます。任意の関数が与えられた場合${\displaystyle f}$から${\displaystyle S}$グループへ${\displaystyle G}$一意の準同型が存在する${\displaystyle \varphi :F_{S}\to G}$次の図が可換になるようにする（ここで、名前のないマッピングは、から包含を表す）${\displaystyle S}$の中へ${\displaystyle F_{S}}$):

つまり、準同型写像${\displaystyle F_{S}\to G}$関数と1対1で対応している${\displaystyle S\to G}$非自由群の場合、関係の存在は準同型写像による生成元の可能な像を制限することになる。

これが構成的定義とどのように関連しているかを見るには、マッピングを考えてみてください。${\displaystyle S}$に${\displaystyle F_{S}}$各シンボルをそのシンボルからなる単語に送信するように構築する。${\displaystyle \varphi }$与えられた${\displaystyle f}$まず、${\displaystyle \varphi }$空の単語をアイデンティティに送信する${\displaystyle G}$そしてそれは同意しなければならない${\displaystyle f}$要素について${\displaystyle S}$残りの単語（複数の記号で構成されるもの）については、${\displaystyle \varphi }$準同型写像であるため、一意に拡張できます。${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$。

上記の性質は自由群を同型を除いて特徴づけるものであり、代替定義として用いられることもある。これは自由群の普遍性として知られており、生成集合は${\displaystyle S}$基礎と呼ばれる${\displaystyle F_{S}}$自由群の基底は一意に決定されない。

普遍代数における自由対象は、普遍的な性質を持つことが標準的な特徴である。圏論の言葉で言えば、自由群の構成（ほとんどの自由対象の構成と同様）は、集合の圏から群の圏への関手である。この関手は、群から集合への忘却関手に左随伴している。

自由群のいくつかの性質は、定義から容易に導き出せる。

1. どのグループでも${\displaystyle G}$ある自由群の準同型像${\displaystyle F_{S}}$。 させて${\displaystyle S}$生成器のセットである${\displaystyle G}$自然の地図${\displaystyle \varphi }$:${\displaystyle F_{S}\to G}$これは全射であり、主張を証明する。同様に、${\displaystyle G}$ある自由群の商群と同型である${\displaystyle F_{S}}$。 もし${\displaystyle S}$ここでは有限に選択できる、${\displaystyle G}$有限生成と呼ばれる。カーネル${\displaystyle \ker \varphi }$は、表現におけるすべての関係の集合です。${\displaystyle G}$; もし${\displaystyle \ker \varphi }$有限個の要素の共役によって生成できる${\displaystyle F}$、 それから${\displaystyle G}$有限表示可能である。
2. もし${\displaystyle S}$要素が複数ある場合${\displaystyle F_{S}}$はアーベル群ではなく、実際には中心は${\displaystyle F_{S}}$は自明である（つまり、恒等要素のみから構成される）。
3. 2つの無料グループ${\displaystyle F_{S}}$そして${\displaystyle F_{T}}$同型であるのは、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$同じ濃度を持つ。この濃度は自由群のランクと呼ばれる。${\displaystyle F}$したがって、任意の基数kに対して、同型を除いて、ランクkの自由群がちょうど 1 つ存在する。
4. 有限ランクn > 1の自由群は、 2 n − 1のオーダーの指数関数的成長率を持つ。

その他の関連結果は以下のとおりです。

1. ニールセン・シュライアーの定理：自由群のすべての部分群は自由である。さらに、自由群が${\displaystyle F}$ランクnを持ち、部分群は${\displaystyle H}$インデックスeを持つ${\displaystyle F}$、 それから${\displaystyle H}$ランク 1 + e ( n– 1)を含まない。
2. 階数kの自由群は、明らかにkより小さいすべての階数の部分群を持つ。それほど明白ではないが、階数が 2 以上の（非可換！ ）自由群は、すべての可算階数の部分群を持つ。
3. ランクk > 1 の自由群の交換子部分群は無限ランクを持つ。例えば、${\displaystyle F(a,b)}$それは整流子によって自由に生成される${\displaystyle [a^{m},b^{n}]}$mとnがゼロでない場合。
4. 2つの要素を持つ自由群はSQ普遍群である。これは、任意のSQ普遍群がすべての可算階数の部分群を持つことから導かれる。
5. 木に対して自由かつ向きを保ちながら作用する任意の群は、可算ランク（商グラフのオイラー標数に1を加えた値）の自由群である。
6. 有限ランクの自由群の自由生成集合に関するケイリーグラフは、群が向きを保ちながら自由に作用する木である。位相空間（1次元単体複体）として、このケイリーグラフは$\displaystyle \Gamma (F)$可縮である。有限表示群の場合${\displaystyle G}$上記で定義された自然準同型写像、${\displaystyle \varphi :F\to G}$ケイリーグラフの被覆マップを定義する。${\displaystyle \varphi ^{*}:\Gamma (F)\to \Gamma (G)}$実際には普遍被覆である。したがって、ケイリーグラフの基本群は$\displaystyle \Gamma (G)$は、の核と同型である。${\displaystyle \varphi }$生成子間の関係の通常のサブグループ${\displaystyle G}$極端なケースは、${\displaystyle G=\{e\}}$自明な群は、生成元が 1 個であると考えると、${\displaystyle F}$それらはすべて些細なことであり、ケイリーグラフは$\displaystyle \Gamma (G)$は円の束であり、その基本群は${\displaystyle F}$自体。
7. 自由群の任意の部分群、${\displaystyle H\subset F}$は、円の束の被覆空間、すなわちシュライアー剰余類グラフに対応する。${\displaystyle F/H}$これは、上記のニールセン・シュライアーの定理の位相幾何学的証明を与えるために使用できる。
8. PJ Higginsによる以下の論文で示されている、これらの結果に対する群圏アプローチは、上記の被覆空間の使用に関連しています。このアプローチにより、例えばグルシュコの定理や、群のグラフの基本群圏の標準形など、より強力な結果が得られます。このアプローチでは、有向グラフ上の自由群圏がかなり活用されています。
9. グルシュコの定理は、部分集合が${\displaystyle B}$自由グループの${\displaystyle F}$n個の要素で 生成${\displaystyle F}$そしてn個の要素を持つと、${\displaystyle B}$生成する${\displaystyle F}$自由に。

集合上の自由アーベル群${\displaystyle S}$は、明らかな修正を加えた同様の方法で、その普遍性によって定義されます。ペアを考えてみましょう。${\displaystyle (F,\varphi )}$、 どこ${\displaystyle F}$はアーベル群であり、${\displaystyle \varphi :S\to F}$は関数です。${\displaystyle F}$は自由アーベル群であると言われている。${\displaystyle S}$に関して${\displaystyle \varphi }$任意のアーベル群に対して${\displaystyle G}$およびあらゆる機能${\displaystyle \psi :S\to G}$一意の準同型が存在する${\displaystyle f:F\to G}$そのため $${\displaystyle f(\varphi (s))=\psi (s),\ \forall s\in S.}$$

自由アーベル群${\displaystyle S}$自由群として明示的に識別できる${\displaystyle F(S)}$その交換子によって生成される部分群を法として、${\displaystyle [F(S),F(S)]}$つまり、そのアーベル化である。言い換えれば、上の自由アーベル群は${\displaystyle S}$は、文字の順序のみによって区別される単語の集合である。したがって、自由群の階数は、その群を自由アーベル群としてアーベル化したときの階数としても定義できる。

1945年頃、アルフレッド・タルスキは、 2つ以上の生成元を持つ自由群が同じ1階理論を持つかどうか、そしてこの理論が決定可能かどうかを問いかけた。セラ（2006）は、任意の2つの非可換自由群が同じ1階理論を持つことを示すことで最初の質問に答え、カルランポヴィッチとミャスニコフ（2006）は、この理論が決定可能であることを示すことで両方の質問に答えた。

自由確率論における同様の未解決問題（2011年時点）として、任意の2つの非可換有限生成自由群のフォン・ノイマン群環が同型であるかどうかという問題がある。

• グループの生成セット
• グループによるプレゼンテーション
• ニールセン変換とは、自由群の自己同型群の要素の因数分解のことである。
• 自由群の標準形と群の自由積
• 無料商品

• Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei (2006). "自由非可換群の初等理論" . Journal of Algebra . 302 (2): 451– 552. doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.03.033 . MR 2293770 . 
• W. マグナス、A. カラス、D. ソリター、「組合せ群論」、ドーバー出版（1976年）。
• PJ Higgins、1971年、「Categories and Groupoids」、van Nostrand、{ニューヨーク}。Theory and Applications of Categories、7 (2005) pp 1–195に再録。
• Sela, Zlil (2006). "群上のディオファントス幾何学。VI. 自由群の初等理論". Geom. Funct. Anal . 16 (3): 707–730 . doi : 10.1007/s00039-006-0565-8 . MR 2238945. S2CID 123197664 .  
• Serre、Jean-Pierre、Trees、Springer (2003) (「arbres、amalgames、SL ₂」の英語翻訳、第 3 版、astérisque 46 (1983))
• PJ Higgins、「群のグラフの基本群圏」、Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976)、no. 1、145–149。
• Aluffi, Paolo (2009).代数学: 第0章. AMS Bookstore. p.  70. ISBN 978-0-8218-4781-7。。
• グリエ、ピエール・アントワーヌ (2007)。抽象代数。スプリンガー。 p.  27.ISBN​ 978-0-387-71567-4。。