作用素論

スペクトル定理は、線形作用素または行列に関する一連の結果のいずれかです。^{[ 1 ]}広義には、スペクトル定理は、作用素または行列が対角化（つまり、ある基底で対角行列として表現）できる条件を提供します。この対角化の概念は、有限次元空間上の作用素については比較的単純ですが、無限次元空間上の作用素については、いくつかの修正が必要です。一般に、スペクトル定理は、乗算作用素によってモデル化できる線形作用素のクラスを特定します。これは、見つけることができる限り単純なものです。より抽象的な言葉で言えば、スペクトル定理は可換C*-代数に関する記述です。歴史的な観点からは、スペクトル理論も参照してください。

スペクトル定理が適用される作用素の例としては、自己共役作用素や、より一般的にはヒルベルト空間上の正規作用素が挙げられる。

スペクトル定理は、演算子が作用する基礎となるベクトル空間の、スペクトル分解、固有値分解、または固有値分解と呼ばれる標準的な分解も提供する。

複素ヒルベルト空間間の任意の有界線形作用素Aの極分解は、部分等長作用素と非負作用素の積として正準因数分解される。 ^{[ 3 ]}

行列の極分解は次のように一般化されます。A が有界線形演算子である場合、Aは部分等長作用素、P は非負の自己共役作用素、U の初期空間は P の値域の閉包である積A = UPとして一意に因数分解されます。

以下の問題があるため、演算子U はユニタリではなく部分的な等長性に弱めなければなりません。Aがl ² ( N )の片側シフトである場合、| A | = ( A*A ) ^1/2 = Iとなります。したがって、A = U | A | の場合、U はAでなければなりませんが、これはユニタリではありません。

極分解の存在は、ダグラスの補題の結果である。

演算子Cは、 C ( Bh ) = Ahで定義され、連続性によってRan ( B )の閉包に拡張され、 Ran( B )の直交補空間上でゼロとなる。A *A ≤ B*B がKer( B ) ⊂ Ker( A )を意味するため、演算子C は適切に定義されている。したがって、補題が成り立つ。

特に、A*A = B*Bの場合、Cは部分等長写像であり、 Ker( B* ) ⊂ Ker( C )の場合に一意となる。 一般に、任意の有界作用素Aに対して、 $${\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},}$$ ここで、( A*A ) ^1/2は通常の関数計算で与えられるA*Aの唯一の正の平方根です。したがって、補題により、次のようになります。 $${\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}$$ ある部分等長写像Uに対して、Ker( A ) ⊂ Ker( U )であれば一意となる。( Ker( A ) = Ker( A*A ) = Ker( B ) = Ker( B* )であることに注意。ここでB = B* = ( A*A ) ^{1/2 で}ある。) P を( A*A ) ^1/2とすると、極分解A = UPが得られる。同様の議論を用いてA = P'U'を示すことができることに注意。ここでP'は正であり、U' は部分等長写像である。

Hが有限次元の場合、 U はユニタリ演算子に拡張できます。これは一般には当てはまりません (上記の例を参照)。あるいは、極分解は特異値分解の演算子バージョンを使用して示すことができます。

連続関数計算の性質により、| A | はAによって生成されるC*-代数に属します。部分等長性についても同様の、ただしより弱い記述が成り立ちます。すなわち、極部分UはAによって生成されるフォン・ノイマン代数に属します。A が可逆であれば、 UもAによって生成されるC*-代数に属します。

研究されている多くの作用素は、正則関数のヒルベルト空間上の作用素であり、作用素の研究は関数論の問題と密接に関連しています。たとえば、Beurling の定理は、片側シフトの不変部分空間を内部関数で記述します。内部関数は、単位円盤上の有界正則関数であり、円上のほぼすべての場所で境界値が 1 倍になります。Beurling は、片側シフトをHardy 空間上の独立変数による乗算として解釈しました。^{[ 4 ]} 乗算作用素、より一般的にはToeplitz 作用素(乗算に続いて Hardy 空間への射影) の研究の成功は、 Bergman 空間などの他の空間での同様の問題の研究を促しました。

AC*-代数Aは、複素数体上のバナッハ代数であり、写像* : A → Aが付属している。Aの要素xの像をx*と表記する。写像 * は次の性質を持つ。^{[ 5 ]} 

• これは対合であり、Aのすべてのxに対して$${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$$
• Aのすべてのx、yについて：$${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$$$${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$$
• Cのすべての λとAのすべてのxについて:$${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$$
• Aのすべてのxについて:$${\displaystyle \|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.}$$

注記。最初の3つの恒等式は、Aが*-代数であることを示しています。最後の恒等式はC*恒等式と呼ばれ、以下と同値です。 $${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$$

C*-恒等式は非常に強い要件です。例えば、スペクトル半径の公式と組み合わせると、C*-ノルムは代数構造によって一意に決定されることがわかります。 $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$$