不変測度

数学において、不変測度とは、何らかの関数によって保存される測度である。関数は幾何学的変換であってもよい。例えば、円角は回転に対して不変であり、双曲角は圧縮写像に対して不変であり、傾きの差はせん断写像に対して不変である。^[1]

エルゴード理論は、力学系における不変測度を研究する理論です。クリロフ・ボゴリュボフの定理は、対象とする関数と空間において、特定の条件下で不変測度が存在することを証明します。

を可測空間とし、をからそれ自身への可測関数とする。上の測度は、上の任意の可測集合に対して、${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$$

推進策の観点から言えば、${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

に対して不変である 上の測度（通常は確率測度）の集合はと表記されることがある。エルゴード測度の集合は の部分集合である。さらに、 2つの不変測度の任意の凸結合も不変であるため、凸集合 も不変である。これは の極値点のみから構成される。${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{f}(X).}$${\displaystyle E_{f}(X),}$${\displaystyle M_{f}(X).}$${\displaystyle M_{f}(X)}$${\displaystyle E_{f}(X)}$${\displaystyle M_{f}(X).}$

が前述のように測定可能空間で、がモノイドで、がフロー写像である力学系 の場合、上の測度は、各写像に対して不変測度であるとき不変測度と呼ばれる。明示的には、が不変であるのは、${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varphi :T\times X\to X}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$${\displaystyle \mu}$ $${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{すべての }}t\in T,A\in \Sigma に対して。}$$

言い換えると、は、初期条件がに従って分布しているときはいつでも、後の任意の時点でが成り立つ場合、ランダム変数の列（おそらくマルコフ連鎖または確率微分方程式の解）に対する不変測度である。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle t.}$

動的システムが転送演算子によって記述できる場合、不変測度は演算子 の固有ベクトルであり、この演算子 の固有値はフロベニウス-ペロンの定理によって与えられる最大固有値に対応します。 ${\displaystyle 1,}$

• 通常のボレルσ代数を持つ実数直線 を考えます。次のように与えられる変換写像を固定して考えます。すると、1次元ルベーグ測度は、${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T_{a}.}$
• より一般的には、通常のボレルσ代数を持つ次元ユークリッド空間上で、次元ルベーグ測度はユークリッド空間の任意の等長写像に対する不変測度であり、つまり、ある直交行列とベクトルに対して次のように書ける写像である。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda^{n}}$${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• 最初の例の不変測度は、定数因子による自明な再正規化を除いて一意である。これは必ずしもそうである必要はない。2点のみからなる集合と、各点を固定する恒等写像を考える。すると、任意の確率測度は不変となる。自明に、不変成分に分解され、${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$${\displaystyle T=\operatorname {Id} }$${\displaystyle \mu:\mathbf {S}\to\mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \{A\}}$${\displaystyle \{B\}.}$
• ユークリッド平面上の面積測定は、行列式の実数行列の特殊線型群の下で不変である。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1.}$
• すべての局所コンパクト群は、群作用（平行移動）に対して不変なハール測度を持ちます。

• 準不変測度

• ジョン・フォン・ノイマン (1999)不変測度、アメリカ数学会 ISBN  978-0-8218-0912-9