アレクサンダー・グロタンディーク

グロタンディークはベルリンでアナキストの両親のもとに生まれた。父親のアレクサンダー「サシャ」シャピロ（アレクサンダー・タナロフとも呼ばれる）はハシディズムのユダヤ教のルーツを持ち、1922年にドイツに移住する前にロシアで投獄されていた。一方、母親のヨハンナ「ハンカ」グロタンディークはハンブルクのプロテスタントのドイツ人家庭の出身で、ジャーナリストとして働いていた。^{[ a ]} 10代の頃、両親は共にそれまでの出自から決別していた。^{[ 16 ]}グロタンディークが生まれた当時、母親はジャーナリストのヨハネス・ラダッツと結婚しており、当初、彼の出生名は「アレクサンダー・ラダッツ」と記録されていた。その結婚は1929年に解消され、シャピロは父親であることを認めたが、ハンカ・グロタンディークとは結婚しなかった。^{[ 16 ]}グロタンディークには母方の兄弟姉妹、異母妹のマイディがいた。

グロタンディークは、1933年末に父親がナチズムを逃れてパリに移住するまで、両親とともにベルリンに住んでいた。母親もすぐに後を追った。グロタンディークは、ハンブルクのルター派の牧師で教師のヴィルヘルム・ヘイドルンに預けられた。^{[ 17 ] [ 18 ]}ヴィンフリート・シャルラウによれば、この間、彼の両親は非戦闘員としてスペイン内戦に参加したという。 ^{[ 19 ] [ 20 ]}しかし、シャピロはアナキスト民兵で戦ったという説もある。^{[ 21 ]}

1939年5月、グロタンディークはハンブルクでフランス行きの列車に乗せられた。その後まもなく、彼の父親はル・ヴェ​​ルネに抑留された。^{[ 22 ]}彼と彼の母親はその後、1940年から1942年にかけて「好ましくない危険な外国人」として様々な収容所に抑留された。^{[ 23 ]}最初の収容所はリュークロス収容所で、そこで彼の母親は最終的に1957年に死に至る結核に感染した可能性がある。そこにいる間、グロタンディークは地元の学校であるメンデに通うことができた。彼は一度、ヒトラーを暗殺する目的で収容所から脱走したことがある。^{[ 22 ]}その後、彼の母親ハンカは第二次世界大戦の残りの期間、ギュルス抑留所に移送された。^{[ 22 ]}グロタンディークは母親と離れて暮らすことを許された。^{[ 24 ]}

ル・シャンボン＝シュル＝リニョン村では、地元の下宿屋やペンションに匿われて身を隠していたが、ナチスの襲撃時には時折森に避難しなければならず、数日間食料や水なしで生き延びたこともあった。^{[ 22 ] [ 24 ]}

彼の父親はヴィシー政権の反ユダヤ法に基づいて逮捕され、ドランシー収容所に送られ、その後、フランスのヴィシー政府によってドイツ軍に引き渡され、1942年にアウシュヴィッツ強制収容所に送られ、そこで殺害された。^{[ 8 ] [ 25 ]}

ル・シャンボンでは、グロタンディークはコレージュ・セヴェノール（現在はル・コレージュ・リセ・セヴェノール・インターナショナルとして知られる）に通った。この学校は、1938年に地元のプロテスタントの平和主義者と反戦活動家によって設立されたユニークな中等学校である。ル・シャンボンに身を隠していた難民の子供たちの多くがコレージュ・セヴェノールに通っており、グロタンディークが数学に初めて魅了されたのはこの学校だったようだ。^{[ 26 ]}

1990年、ユダヤ人を救出するために命を危険にさらした村全体が、「諸国民の中の正義の人」として認定された。

戦後、若きグロタンディークはフランスで数学を学び、最初はモンペリエ大学に入学したが、天文学などの授業で落第するなど、当初は成績が振るわなかった。^{[ 27 ]}独学でルベーグ測度を再発見した。そこで3年間、ますます独学で研究を進めた後、1948年にパリに移り、研究を続けた。^{[ 17 ]}

当初、グロタンディークはエコール・ノルマル・シュペリウールでアンリ・カルタンのゼミナールに出席したが、高度なゼミナールについていくのに必要な知識が不足していた。カルタンとアンドレ・ヴェイユの助言により、彼はナンシー大学に移り、そこではグロタンディークの関心分野である位相ベクトル空間の二人の第一人者、ジャン・デュードネとローラン・シュワルツが研究していた。後者は最近フィールズ賞を受賞したばかりだった。デュードネとシュワルツは新入生に最新の論文「空間 ( F ) と ( LF )における双対性」を見せた。この論文は、局所凸空間に関連する14の未解決問題のリストで締めくくられていた。^{[ 28 ]}グロタンディークは、数ヶ月以内にこれらの問題をすべて解決できる新しい数学的手法を導入した。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

ナンシーでは、1950年から1953年にかけて、この2人の教授の下で関数解析に関する博士論文を執筆した。 ^{[ 36 ]}この頃、彼は位相ベクトル空間の理論の第一人者であった。^{[ 37 ]} 1953年、彼はブラジルのサンパウロ大学に移り、フランス国籍を取得することを拒否したため（フランス国籍を取得すると、彼の信念に反して兵役を負うことになるから）、ナンセンパスポートを使って移住した。彼は1954年末までサンパウロに滞在した（1953年10月から1954年3月までのフランスへの長期滞在を除く）。ブラジル滞在中に発表した彼の研究は、依然として位相ベクトル空間の理論に関するものであり、そこで彼はそのテーマに関する最後の主要な研究（バナッハ空間の「距離」理論）を完成させた。

グロタンディークは1955年初頭にカンザス州ローレンスに移り、そこで以前の研究テーマを脇に置き、代数トポロジーとホモロジー代数、そして次第に代数幾何学の研究に没頭した。^{[ 38 ] [ 39 ]}グロタンディークがアーベル圏の理論とそれに基づく層コホモロジーの再定式化を発展させたのはローレンスであり、これが非常に影響力のある「東北論文」につながった。^{[ 40 ]}

1957年、オスカー・ザリスキーからハーバード大学への訪問に招待されたが、忠誠宣誓書への署名を拒否したため、その申し出は破談となった。忠誠宣誓書とは、アメリカ合衆国政府を転覆させる活動をしないことを誓うものであり、署名を拒否すれば投獄される恐れがあると警告されていた。本さえ読めるのであれば、投獄される可能性など彼にとっては何の心配もなかった。^{[ 41 ]}

ナンシー時代のグロタンディークを、当時高等師範学校で訓練を受けた学生たち（ピエール・サミュエル、ロジェ・ゴデマン、ルネ・トム、ジャック・ディクスミエ、ジャン・サーフ、イヴォンヌ・ブリュア、ジャン＝ピエール・セール、ベルナール・マルグランジュ）と比較して、レイラ・シュネップスは次のように述べた。

彼はこのグループや教授陣にとって全く無名の存在であり、非常に恵まれない混沌とした家庭環境で育ち、研究キャリアの初期には彼らと比べて非常に無知であったため、彼が突然スターダムにのし上がったことは、なおさら信じがたいことであり、数学の歴史において非常にユニークな出来事である。^{[ 42 ]}

1953年に発表された位相ベクトル空間に関する彼の最初の研究は、物理学やコンピュータ科学に応用され、量子物理学におけるグロタンディークの不等式とアインシュタイン・ポドルスキー・ローゼンのパラドックスの関係へと発展した。^{[ 43 ]}

1958年、グロタンディークは、ジャン・デュードネとグロタンディークのために事実上設立された、新しい私的資金による研究機関である高等科学研究所（IHÉS）に就任した。 ^{[ 4 ]}グロタンディークは、そこで活発かつ非常に生産的なセミナー活動（事実上のワーキンググループが、若い世代の最も有能なフランス人および他の数学者の一部を基礎研究に引き込んだ）によって注目を集めた。^{[ 17 ]}グロタンディークは、従来の学術誌を通じて論文を発表することを事実上やめてしまった。しかし、彼は約10年間、数学界で支配的な役割を果たし、強力な学派を築き上げた。^{[ 44 ]}

この時期、彼の教え子には、ミシェル・デマズール（SGA3、群スキームの研究）、モニーク・ハキム（相対スキームと分類トポスの研究）、リュック・イリュジー（余接複体の研究）、ミシェル・レイノー、ミシェル・レイノー、ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（導来圏論の共同創始者）、ピエール・ドリーニュなどがいた。SGAプロジェクトの共同研究者には、マイケル・アルティン（エタールコホモロジー）、ニック・カッツ（モノドロミー理論、レフシェッツペンシルの研究）も含まれていた。ジャン・ジローは、そこで非可換コホモロジーのトルソル理論拡張も研究した。デイヴィッド・マムフォード、ロビン・ハートショーン、バリー・マズール、CP・ラマヌジャンなど、他にも多くの研究者が関わっていた。

アレクサンダー・グロタンディークは、IHÉS の「黄金時代」と呼ばれる時期に、代数幾何学、数論、位相幾何学、圏論、複素解析においていくつかの統一的なテーマを確立した。^{[ 36 ]}彼が代数幾何学で最初に（IHÉS 以前に）発見したのは、代数的に証明されたヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の一般化であるグロタンディーク・ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理であり、この文脈で彼はK 理論も導入した。その後、1958 年の国際数学者会議での講演で概説したプログラムに従って、彼はスキームの理論を導入し、それを彼の著書『代数幾何学の要素』 （EGA ）で詳細に展開し、それ以来この分野で採用されている、より柔軟で一般的な代数幾何学の新しい基礎を提供した。^{[ 17 ]}彼はさらに、ワイル予想を証明するための重要なツールを提供するスキームのエタールコホモロジー理論を導入し、それを補完する結晶コホモロジーと代数的ド・ラームコホモロジーも導入した。これらのコホモロジー理論と密接に関連して、彼はトポロジーの一般化としてトポス理論を創始した（これは圏論的論理にも関連している）。彼はまた、圏論的ガロア理論によって、スキームの基本群の代数的定義を提供し、現在有名なエタール基本群を生み出し、その後、そのさらなる一般化の存在を予想した。これは現在、基本群スキームとして知られている。彼の整合双対性理論の枠組みとして、彼は導来圏も導入し、これはヴェルディエによってさらに発展させられた。^{[ 45 ]}

これらのテーマやその他のテーマに関する彼の研究成果は、EGAに掲載され、また、彼がIHÉSで指導した代数幾何学セミナー（SGA ）のノートには、より簡略化された形で掲載された。^{[ 17 ]}

グロタンディークの政治的見解は急進的で平和主義的だった。彼はベトナムへのアメリカの介入とソ連の軍事拡張主義の両方に強く反対した。ベトナム戦争に抗議するため、彼はハノイが爆撃されている最中に、ハノイ周辺の森で圏論に関する講義を行った。^{[ 46 ]} 1966年、彼はフィールズ賞を受賞する予定だったモスクワでの国際数学者会議（ICM）への出席を辞退した。^{[ 7 ]}彼はIHÉSが軍によって部分的に資金提供されていることを知った後、1970年頃に科学界から引退した。^{[ 47 ]}彼は数年後、モンペリエ大学の教授として学界に戻った。

軍事資金の問題はおそらくグロタンディークがIHÉSを去った最も明白な理由だったが、彼を知る人々は、決裂の原因はもっと根深いものだったと述べている。IHÉSの長期滞在者であったピエール・カルティエは、IHÉS創立40周年を記念して出版された特別号にグロタンディークに関する記事を寄稿した。^{[ 48 ]}その出版物の中で、カルティエは、反軍事的アナキストの息子であり、権利を剥奪された人々の中で育ったグロタンディークは、常に貧しい人々や虐げられた人々に深い同情を抱いていたと述べている。カルティエの言葉を借りれば、グロタンディークはビュール＝シュル＝イヴェットを「金色の檻」だと感じるようになった。グロタンディークがIHÉSに在籍していた頃、ベトナム戦争への反対運動が激化しており、カルティエは、これがグロタンディークが科学界の官僚になったことへの嫌悪感をさらに強めたとも示唆している。^{[ 4 ]}さらに、IHÉSで数年過ごした後、グロタンディークは新たな知的関心を模索し始めたようだった。1960年代後半には、数学以外の科学分野に興味を持ち始めていた。 1964年にIHÉSの教員となった物理学者デイヴィッド・リュエルは、グロタンディークが物理学について何度か話をしに来たと述べている。^{[ b ]}グロタンディークは物理学よりも生物学にずっと興味を持ち、生物学に関するセミナーをいくつか企画した。^{[ 48 ]}

1970年、グロタンディークは他の2人の数学者、クロード・シュヴァレーとピエール・サミュエルと共に、 Survivre （後にSurvivre et vivreに改名）という政治団体を結成した。この団体は会報を発行し、反軍事と環境問題に取り組んでいた。また、科学技術の無差別な使用に対する強い批判を展開した。^{[ 49 ]}グロタンディークはその後3年間をこの団体に捧げ、会報の主編集者を務めた。^{[ 5 ]} 1972年1月27日、彼はCERNに招かれ、「我々は科学研究を続けるのか？ 」という講演を行った。^{[ 50 ]}   

グロタンディークは数学の研究を続けましたが、彼の通常の数学者としてのキャリアは、IHÉSを離れたときにほぼ終わりました。^{[ 8 ]} IHÉSを離れた後、グロタンディークはコレージュ・ド・フランスで2年間非常勤教授を務めました。 ^{[ 49 ]}その後、モンペリエ大学の教授になりましたが、そこで彼は数学界からますます疎遠になっていきました。彼はCNRSの研究職を受け入れた数年後の1988年に正式に退職しました。^{[ 5 ]}

彼は1980年代には従来の方法で数学研究を発表することはなかったが、数学的内容と伝記的内容の両方を含む、限られた配布範囲ながらも影響力のある原稿をいくつか執筆した。

1980年から1981年にかけて制作された『ガロア理論を通じた長い行進』は、1600ページに及ぶ手書きの原稿で、『プログラムの概略』につながる多くのアイデアが含まれている。^{[ 51 ]}また、タイヒミュラー理論の研究も含まれている。

1983年、バンガー大学のロナルド・ブラウンとティム・ポーターとの書簡のやり取りに刺激を受け、グロタンディークは『スタックを求めて』と題する600ページに及ぶ原稿を執筆した。これはダニエル・クイレン宛の手紙から始まった。この手紙とそれに続く部分はバンガーから配布された（下記の外部リンクを参照）。その中で、グロタンディークは、非公式な日記のような形式で、代数ホモトピー理論と代数幾何学の関係、およびスタックの非可換理論の見通しに関する自身の考えを説明し、展開した。G・マルツィニオティスによって出版に向けて編集されているこの原稿は、後に彼のもう一つの記念碑的な著作である『派生者たち』へとつながった。1991年に書かれたこの約2000ページに及ぶ大作は、 『スタックを求めて』で始まったホモトピーのアイデアをさらに発展させたものである。^{[ 7 ]}この研究の多くは、1990年代半ばにファビアン・モレルとウラジミール・ヴォエヴォツキーによって展開されたモチーフホモトピー理論を予見していた。

1984年、グロタンディークはフランス国立科学研究センター（CNRS）の職に応募するため、 「プログラムの概略」（Esquisse d'un Programme）^{[ 51 ]}という提案書を執筆した。この提案書は、複素曲線のモジュライ空間を研究するための新しいアイデアを記述している。グロタンディーク自身はこの分野での研究成果を発表することはなかったが、この提案書は、デッサン・ダンファン理論やアナベル幾何学の源泉となり、他の数学者たちがこの分野で研究に取り組むきっかけとなった。後に、この提案書は2巻にまとめられ、『幾何学的ガロア作用』（Geometric Galois Actions、ケンブリッジ大学出版局、1997年）というタイトルで出版された。

この期間中、グロタンディークは、ベルティーニ型の定理に関するEGAの草稿の一部を出版することにも同意した（EGA  Vは1992年から1993年にかけてUlam Quarterlyに掲載され、その後2004年にグロタンディークサークルのウェブサイトで公開された）。

グロタンディークは、自身の数学へのアプローチと数学界での経験について、広範な自伝的著作『収穫と種まき』（1986年）の中で述べている。この数学界は当初、彼をオープンで歓迎的な態度で受け入れたが、次第に競争と地位によって支配されていると認識するようになった。彼は、自分がそのコミュニティを去った後、かつての教え子や同僚から自分の研究が「埋葬」され、裏切られたと感じたことについて不満を述べている。^{[ 17 ]}『収穫と種まき』は最終的に2022年にガリマール社から出版され^{[ 52 ]}、フランスの科学史家アラン・ヘレマン^{[ 7 ]}のおかげでインターネットでも入手可能である^{[ 53 ]} 。レイラ・シュネップスによる英訳は2025年にMIT Pressから出版される予定だったが^{[ 54 ]}、2026年5月現在まだ入手できない。部分的な英訳はインターネットで見つけることができる。^{[ 55 ]}全巻の日本語訳は、グロタンディークの「生存者」時代からの友人である辻雄一（1938–2002）によって完成された。最初の3巻（本書の第0部から第3部に対応）は1989年から1993年の間に出版され、第4巻（第4部）は完成しているものの未出版で、タイプ原稿として出回っている。グロタンディークは翻訳に協力し、序文を執筆し、その中で辻を「最初の真の協力者」と呼んだ。^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ] [ 61 ] 『収穫と}種子』の一部はスペイン語に翻訳され、^{[ 62 ]}またモスクワで出版されたロシア語訳もある。^{[ 63 ]}

1988年、グロタンディークはメディアへの公開書簡でクラフォード賞を辞退した。彼は、自分や他の著名な数学者は追加の財政支援を必要としていないと述べ、科学界の倫理の低下を批判した。その倫理は、彼が常態化し容認されていると考える露骨な科学的窃盗によって特徴づけられていた。この書簡ではまた、今世紀末までに全く予期せぬ出来事が起こり、文明が前例のない崩壊に至るという彼の考えも表明された。しかしグロタンディークは、自分の見解は「王立アカデミーの資金管理の目的に対する批判を意図したものでは決してない」と付け加え、「クラフォード賞の受諾を拒否したことで、あなたと王立アカデミーに迷惑をかけたことを残念に思います」と述べた。^{[ 64 ]}

『夢の鍵』^{[ 65 ]}は、1987年に書かれた315ページの原稿で、グロタンディークが夢の源泉について考察した結果、神が存在するという結論に至った経緯を記したものである。^{[ 66 ]}この原稿の注釈の中で、グロタンディークは、時代をはるかに先取りし、新しい時代を告げる先見の明のある人物として彼が尊敬する18人の「ミュータント」の生涯と業績について述べている。^{[ 5 ]}彼のリストに載っている唯一の数学者はベルンハルト・リーマンである。^{[ 67 ]}聖体拝領だけで生き延びたとされるカトリックの神秘家マルテ・ロビンに影響を受けたグロタンディークは、1988年に餓死寸前まで追い詰められた。 ^{[ 5 ]}精神的な事柄への彼の関心の高まりは、 1990年1月に250人の友人に送った「良き新時代への手紙」というタイトルの手紙にも表れている。その中で彼は神との出会いを語り、1996年10月14日に「新時代」が始まると発表した。^{[ 7 ]}

1990年に出版された『グロタンディーク記念論文集』は、1988年の彼の60歳の誕生日を記念して出版された3巻からなる研究論文集である。^{[ 68 ]}

グロタンディークの数学およびその他の著作2万ページ以上がモンペリエ大学に所蔵されており、未出版のままである。^{[ 69 ]}これらは保存のためにデジタル化され、モンペリエ大学アレクサンダー・グロタンディーク研究所のポータルを通じてオープンアクセスで無料で利用できる。^{[ 70 ] [ 71 ]}

1991年、グロタンディークは数学界の以前の知人には知らせない新しい住所に引っ越した。^{[ 5 ]}その後、彼を訪ねる人はほとんどいなかった。^{[ 72 ]}タンポポのスープを主食にしようとした後、地元の村人たちがより多様な食事で彼を支えた。^{[ 73 ]}ある時点で、レイラ・シュネップスとピエール・ロシャックが彼を見つけ出し、短い文通を続けた。こうして彼らは「彼と接触した最後の数学界のメンバー」となった。^{[ 74 ]}彼の死後、彼はピレネー山脈の麓にある小さな村、アリエージュ県ラセールにある家に一人で住んでいたことが明らかになった。^{[ 75 ]}

2010年1月、グロタンディークは「非出版の意思表明」と題する書簡をリュック・イリュジーに送り、不在中に出版されたすべての資料は許可なく出版されたと主張した。彼は、自身の作品の全部または一部を複製しないこと、そしてこの作品のコピーを図書館から撤去することを求めた。^{[ 76 ]}彼は自身の作品に特化したウェブサイトを「忌まわしいもの」と評した。^{[ 77 ]}彼の指示は2010年に覆された可能性がある。^{[ 78 ]}

2014年9月、ほぼ完全に耳が聞こえず目も見えなくなった彼は、自殺するためにリボルバーを買ってくれるよう隣人に頼んだ。隣人はそれを拒否した。^{[ 79 ]} 2014年11月13日、86歳でグロタンディークはサン＝リジエ^{[ 79 ]}または アリエージュ県のサン＝ジロンの病院で亡くなった。^{[ 26 ] [ 80 ]}

グロタンディークはヴァイマル共和国で生まれた。1938年、10歳の時に難民としてフランスに移住した。 1945年のナチス・ドイツ崩壊時に国籍の記録が破棄され、戦後フランス国籍を申請しなかった。そのため、少なくとも職業生活の大部分において無国籍者となり、ナンセンパスポートで旅行した。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}フランス国籍を持つことに消極的だった理由の一つは、特にアルジェリア戦争（1954～62年）のためにフランス軍に勤務したくなかったことにある。 ^{[ 4 ] [ 3 ] [ 15 ]}最終的に、兵役義務年齢をはるかに過ぎた1980年代初頭にフランス国籍を申請した。^{[ 4 ]}

グロタンディークは母親と非常に親しく、博士論文を母親に捧げた。母親は1957年に避難民キャンプで罹患した結核で亡くなった。^{[ 49 ]}

彼には5人の子供がいた。ナンシー滞在中に下宿先の女主人との間に生まれた息子^{[ 4 ]}、妻のミレイユ・デュフールとの間に生まれた3人の子供、ヨハンナ（1959年）、アレクサンダー（1961年）、マチュー（1965年）^{[ 5 ] [ 41 ]} 、そして1970年代初頭にコミューンで暮らしていたジュスティーヌ・スカルバとの間に生まれた1人の子供^{[ 5 ]である。}

グロタンディークの出版された著作の大部分は、記念碑的ではあるものの未完成である、Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) とSéminaire de géométrie algébrique ( SGA ) に集められています。ブルバキセミナーで行われた講演を集めたコレクションFondements de la Géometrie Algébrique ( FGA )にも重要な資料が含まれています。^{[ 17 ]}

グロタンディークの業績には、多様体の位相的特性とディオファントス的（数論的）性質との関連性を主張したアンドレ・ヴェイユの観察を説明するエタールコホモロジー理論とl進コホモロジー理論の発明が含まれる。 ^{[ 49 ]}例えば、有限体上の方程式の解の数は、複素数上の解の位相的性質を反映している。ヴェイユは、このような関連性を証明するには新しいコホモロジー理論が必要であることに気づいていたが、グロタンディークがそのような理論を提唱するまで、彼自身も他の専門家も、これをどのように実現すればよいのか分からなかった。

このプログラムはワイル予想の証明で最高潮に達し、その最後のものはグロタンディークが数学からほぼ身を引いた後の1970年代初頭にグロタンディークの弟子であるピエール・ドリーニュによって解決された。 ^{[ 17 ]}

グロタンディークの回顧録『収穫と種子』の中で、彼は自身の貢献の中から「偉大なアイデア」にふさわしいと考える12の作品を挙げている。^{[ 87 ]}時系列順に挙げると以下の通りである。

1. 位相テンソル積と核空間
2. 「連続的」と「離散的」の二元性（派生カテゴリー、「6つの操作」）
3. グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理 のヨガ、K理論と交差理論の関係
4. 計画
5. トポイ
6. エタールコホモロジーとl進コホモロジー
7. モチーフとモチーフ的ガロア群（グロタンディーク⊗圏）
8. 結晶と結晶コホモロジー、「ド・ラーム係数」、「ホッジ係数」のヨガ...
9. 「位相代数」：∞スタック、微分演算子；トポスのコホモロジー形式論から着想を得た新しいホモトピー代数
10. 扱いやすいトポロジー
11. アナベル代数幾何学のヨガ、ガロア・タイヒミュラー理論
12. 正多面体およびあらゆる種類の正多面体配置に対する「概略的」または「算術的」観点

ここでヨガという用語は、発見的に使用できる一種の「メタ理論」を意味します。ミシェル・レイノーは、他の用語「アリアドネの糸」と「哲学」を効果的な同義語として書いています。^{[ 88 ]}

グロタンディークは、これらのテーマの中で、代数幾何学、位相幾何学、算術を統合したトポスが最も範囲が広かったと記している。最も広範に発展したテーマはスキームであり、これは他の8つのテーマ（1、5、12を除くすべて）の「最高の」枠組みであった。グロタンディークは、最初のテーマと最後のテーマである位相テンソル積と正則配置は、他のテーマよりも規模が小さかったと記している。位相テンソル積は、さらなる発展のインスピレーションの源というよりは道具としての役割を果たしたが、正則配置は、それに専念する数学者の生涯のうちに使い尽くされることはないだろうと彼は予想した。彼は、最も深遠なテーマはモチーフ、アナベル幾何学、ガロア・タイヒミュラー理論であると信じていた。^{[ 89 ]}

グロタンディークは、代数幾何学の基礎を明確にし、数々の注目すべき予想を証明するための数学的ツールを開発することによって、代数幾何学にアプローチしました。代数幾何学は伝統的に、代数曲線や代数曲面などの幾何学的対象を、それらの対象の代数方程式の研究を通して理解することを意味してきました。代数方程式の性質は、環論の手法を用いて研究されます。このアプローチでは、幾何学的対象の性質は、関連する環の性質と関連付けられます。対象が定義される空間（例えば、実空間、複素空間、射影空間）は対象に外在するものであり、環は対象に内在するものです。

グロタンディークは、固有空間（「スペクトル」）とそれに付随する環を主要な研究対象とすることで、代数幾何学の新たな基礎を築きました。そのために、彼はスキームの理論を発展させました。スキームは、非公式には、空間のすべての開部分集合に可換環が関連付けられた位相空間と考えることができます。スキームは、現代代数幾何学の実践者にとって基本的な研究対象となっています。スキームを基礎として用いることで、幾何学は他の分野からの技術的進歩を取り込むことができました。^{[ 92 ]}

グロタンディークは、古典的なリーマン・ロッホの定理を一般化し、複素代数曲線の位相的性質をその代数的構造に関連付けました。この定理は、現在では彼の名にちなんで「グロタンディーク・ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理」と呼ばれています。彼がこの定理を証明するために開発したツールは、対象を環と関連付けることで位相的性質を探求する代数的および位相的K理論の研究の始まりとなりました。 ^{[ 93 ]}ボン労働会議でグロタンディークの考えに直接触れた後、位相的K理論はミヒャエル・アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルッフによって創設されました。^{[ 94 ]}

グロタンディークによる、位相対象を研究するために代数的手法を用いる新しいコホモロジー理論の構築は、代数的整数論、代数的位相幾何学、表現論の発展に影響を与えた。このプロジェクトの一環として、点集合位相の圏論的一般化であるトポス理論の創設は、集合論と数理論理学の分野に影響を与えた。^{[ 90 ]}

ワイル予想は、 1940年代後半に算術幾何学における一連の数学的問題として定式化されました。これらは、代数曲線または高次元多様体の点の数に関する、局所ゼータ関数と呼ばれる解析的不変量の性質を記述します。グロタンディークによるℓ進エタールコホモロジーの発見（ワイルコホモロジー理論の最初の例）は、ワイル予想の証明への道を開き、最終的には1970年代に彼の教え子であるピエール・ドリーニュによって完成されました。^{[ 93 ]}グロタンディークの大規模なアプローチは「先見的なプログラム」と呼ばれています。^{[ 95 ]} ℓ進コホモロジーはその後、ラングランズプログラムへの応用とともに、数論学者にとって基本的なツールとなりました。^{[ 96 ]}

グロタンディークの予想的動機理論は、「ℓ」を素数として選択しない「ℓ進」理論となることを意図していた。それはワイル予想への意図された道筋を提供しなかったが、代数的K理論、動機的ホモトピー理論、動機的積分における現代の発展の背後にある。^{[ 97 ]}この理論、ダニエル・クイレンの研究、およびグロタンディークのチャーン類理論は、位相的アイデアのもう一つの代数的類似物である代数的コボルディズム理論の背景と考えられている。^{[ 98 ]}

グロタンディークが多様な数学的構造における普遍的性質の役割を強調したことで、圏論は数学全般の組織原理として主流となった。圏論の用途の一つとして、多くの異なる数学体系に見られる類似の構造や手法を記述するための共通言語が生み出される。^{[ 99 ]}彼のアーベル圏の概念は、現在ではホモロジー代数学における基本的な研究対象となっている。^{[ 100 ]}圏論という独立した数学分野の出現は、意図的ではなかったものの、グロタンディークの影響によるものとされている。^{[ 101 ]}

• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相的テンソル積と核空間」[位相的テンソル積と核空間]。アメリカ数学会紀要シリーズ（フランス語）。16 。プロビデンス：アメリカ数学会。MR 0075539。OCLC 9308061。  
• グロタンディーク、アレクサンダー（1973）。位相ベクトル空間。オーランド・チャルジュブ訳。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7OCLC 886098。​ 

• グロタンディーク、アレクサンドル (2022)。Allons-nous は科学研究を続けていますか ? suvi de Comment je suis devenu 過激派[科学研究を続けますか?続いて「私がどうやって活動家になったのか」（フランス語）。セリーヌ・ペシによる序文。サンドルのエディション。ISBN 978-2-35821-146-8。
• グロタンディーク、アレクサンドル（2023年3月2日）。Récoltes et Semailles [刈り取りと種まき] (フランス語)。ガリマール。ISBN 978-2-07-300477-2。
• グロタンディーク、アレクサンダー (2024)。La clef des songs ou Dialogue avec le bon Dieu [夢の鍵、あるいは善き主との対話] (フランス語)。後文はローラン・ラフォルグによる。パリ：サンドル美術館。ISBN 978-2-35821-157-4。
• グロタンディーク、アレクサンドル（2026年3月5日）。Plaidoirie sur le délit d'hospitalité (1978) [接待罪に関する嘆願書]。トラクト（フランス語）。 Vol. 75.ジョルジョ・アガンベンとエルヴェ・ル・テリエ による序文。ガリマール。 p. 64.ISBN​  978-2-07-316366-0。