複雑な射影空間

複雑な射影空間を構築する有用な方法の1つ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$これは、CW複体を用いた再帰的な構成によって実現される。同相写像が存在することを思い出してほしい。$\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}\cong S^{2}}$2次元球面へ、最初の空間を与える。次に、セルに対して帰納法を用いて押し出しマップを得ることができる。$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{3}&\hookrightarrow &D^{4}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{1}&\to &\mathbf {CP} ^{2}\end{matrix}}}$$どこ${\displaystyle D^{4}}$は4番目のボールで、$${\displaystyle S^{3}\to \mathbf {CP} ^{1}}$$ジェネレーターを表す${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$（したがって、これはホップ写像とホモトピー同値である。）そして、プッシュアウト図式として空間を帰納的に構成することができる。$${\displaystyle {\begin{matrix}S^{2n-1}&\hookrightarrow &D^{2n}\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {CP} ^{n-1}&\to &\mathbf {CP} ^{n}\end{matrix}}}$$どこ$${\displaystyle S^{2n-1}\to \mathbf {CP} ^{n-1}}$$要素を表す$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{2n-1}(\mathbf {CP} ^{n-1})&\cong \pi _{2n-1}(S^{2n-2})\\&\cong \mathbb {Z} /2\end{aligned}}}$$ホモトピー群の同型性については以下で説明します。ホモトピー群の同型性は安定ホモトピー理論における標準的な計算です（これは、セールのスペクトル系列、フロイデンタールの懸垂定理、およびポストニコフの塔を用いて行うことができます）。この写像はファイバー束から得られます。$$$\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n-1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n-1}}$$$非縮約マップを与えるため、生成元を表す${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$そうでなければ、ホモトピー同値が存在するだろう${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}\simeq \mathbf {CP} ^{n-1}\times D^{n}}$しかし、そうなると、それはホモトピー的に同値になる。$\displaystyle S^{2}}$これは、空間のホモトピー群を調べることで明らかになる矛盾である。

複素射影空間はコンパクトで連結しており、コンパクトで連結した空間の商空間である。

繊維束から

$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$

あるいはもっと示唆的に

${\displaystyle U(1)\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$

CP ⁿは単連結である。さらに、長完全ホモトピー列により、第 2 次ホモトピー群はπ ₂ ( CP ⁿ ) ≅ Zであり、すべての高次ホモトピー群はS ^{2 n +1}のホモトピー群と一致する。すなわち、すべてのk > 2に対してπ _k ( CP ⁿ ) ≅ π _k ( S ^{2 n +1} )である。

一般に、CP ⁿの代数トポロジーは奇数次元のホモロジー群のランクがゼロであることに基づいています。また、 H _{2 i} ( CP ⁿ , Z ) はi = 0 から n まで無限巡回です。したがって、ベッティ数は次のようになります。

1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

すなわち、奇数次元では0、偶数次元0から2nでは1となる。したがって、 CP ⁿのオイラー標数はn + 1である。ポアンカレ双対性により、コホモロジー群の階数についても同様である。コホモロジーの場合、さらに進んで、カップ積の次数付き環構造を特定することができる。H ² ( CP ⁿ , Z )の生成元は超平面に関連付けられたクラスであり、これは環生成元であるため、環はと同型である。  

Z [ T ]/( T ^{n +1} )

Tは2次生成元である。これはまた、ホッジ数h ^{i ( i} = 1)およびその他すべてがゼロであることを意味する。（Besse 1978 ）を参照。

帰納法とボット周期性から、

${\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n})=\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}。$

接線束は以下を満たす

${\displaystyle T\mathbf {CP} ^{n}\oplus \vartheta ^{1}=H^{\oplus n+1},}$

どこ$\displaystyle \vartheta ^{1}}$は、オイラー列から得られる自明な線束を表す。これによって、チャーン類と特性数を明示的に計算することができる。

スペースがあります${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$これは、ある意味では、帰納的限界である。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$として${\displaystyle n\to \infty }$これはホモトピー理論の意味で円群U(1)の分類空間であるBU(1)であり、複素線束を分類します。同様に、これは第1チャーン類を表します。これはファイバー束写像を見ることで直感的に理解できます。$$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{n}}$$$そして${\displaystyle n\to \infty }$これにより、ファイバー束（ユニバーサルサークルバンドルと呼ばれる）が得られます。$${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{\infty }\twoheadrightarrow \mathbf {CP} ^{\infty }}$$この空間を構築する。ホモトピー群の長完全系列を用いると、次のようになる。${\displaystyle \pi _{2}(\mathbf {CP} ^{\infty })=\pi _{1}(S^{1})}$したがって${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$アイレンベルク・マクレーン空間であり、${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$この事実とブラウンの表現可能性定理により、次の同型性が得られます。$${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}$$素敵なCW複合施設ならどれでも${\displaystyle X}$さらに、チャーン類の理論によれば、すべての複素線束は${\displaystyle L\to X}$は、普遍線束の引き戻しとして表現できる。${\displaystyle \mathbf {CP} ^{\infty }}$つまり、プルバックスクエアが存在するということだ。$${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &{\mathcal {L}}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &\mathbf {CP} ^{\infty }\end{matrix}}}$$どこ$\displaystyle {\mathcal {L}}\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$は主ベクトルの関連ベクトル束である${\displaystyle U(1)}$-バンドル${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbf {CP} ^{\infty }}$例えば、（Bott & Tu 1982 ）および（Milnor & Stasheff 1974 ）を参照。

複素射影空間内の任意の2点p、qを通る複素直線（CP1 ^）は一意に定まります。この複素直線でpとqを含む大円は、フビニ・スタディ計量に対する測地線となります。特に、すべての測地線は閉じた円であり、長さはすべて等しくなります。（これは、階数1のリーマン大域対称空間では常に成り立ちます。）

任意の点pの切断軌跡は、超平面CP ^{n − 1}に等しい。これはまた、点 pにおける測地線対称の固定点の集合でもある（点 p自体は除く）。 （Besse 1978 を参照）。

断面曲率が1/4 から 1 の範囲にあり、球面ではない (または球面で覆われていない) 最も丸い多様体です。1 /4 ピンチ球面定理により、曲率が厳密に 1/4 から 1 の間にある任意の完全で単連結なリーマン多様体は、球面と微分同相です。複素射影空間は 1/4 がシャープであることを示しています。逆に、完全で単連結なリーマン多様体の断面曲率が閉区間 [1/4,1] にある場合、それは球面と微分同相であるか、複素射影空間、四元数射影空間、またはケーリー平面F _{4 /Spin(9) と等長です。} ( Brendle & Schoen 2008 )を参照してください。

奇数次元の射影空間にはスピン構造を与えることができるが、偶数次元の射影空間には与えることができない。

代数幾何学では、複素射影空間には、ザリスキ位相 として知られる別の位相が備わっている（Hartshorne 1977 、§II.2）。S = C [ Z ₀ ,..., Z _n ]を、( n +1) 個の変数Z ₀ ,..., Z _nに関する多項式の可換環とする。この環は、各多項式の全次数によって次数付けされる。

${\displaystyle S=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{n}.}$

CP ⁿの部分集合が、同次多項式の集合の同時解集合である場合、その部分集合は閉集合であると定義する。閉集合の補集合を開集合と宣言することで、 CP ⁿ上に位相（ザリスキ位相）が定義される。

CP ⁿ (およびそのザリスキー位相)の別の構成法も可能である。S ₊ ⊂ Sを、正の次数を持つ同次多項式によって張られるイデアルとする。  

${\displaystyle \bigoplus _{n>0}S_{n}.}$

Proj S を、 Sに含まれるS _{+ を}含まないすべての同次素イ​​デアルの集合と定義する。Proj Sの部分集合が次の形式である場合、その部分集合は閉じているという。

${\displaystyle V(I)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid p\supseteq I\}}$

SのあるイデアルIに対して。これらの閉集合の補集合は Proj S上の位相を定義する。環Sは、素イデアルでの局所化により、Proj S上の局所環の層を決定する。空間 Proj S は、その位相と局所環の層とともに、スキームである。Proj Sの閉点の部分集合は、ザリスキ位相を持つCP ⁿと同相である。層の局所切断は、 CP ⁿ上の全次数がゼロの有理関数と同一視される。

複素射影空間上のすべての直線束は、次の構成によって得られる。関数f  : C ^{n +1} \{0} → Cは、次の条件を満たす場合に次数kの同次関数と呼ばれる。

${\displaystyle f(\lambda z)=\lambda ^{k}f(z)}$

すべてのλ ∈ C \{0 } およびz ∈ C ^{n +1} \{0 }に対して。より一般的には、この定義はC ^{n +1} \{0 }の錐で意味を持ちます。集合V ⊂ C ^{n +1} \{0 } は、 v ∈ Vのとき、すべてのλ ∈ C \{0 } に対してλv ∈ Vである場合に錐と呼ばれます。つまり、部分集合は、その各点を通る複素直線を含む場合に錐です。U ⊂ CP ^{n が}開集合 (解析的位相またはZariski 位相のいずれか) である場合、V ⊂ C ^{n +1} \{0 } をU上の錐とします。これは、射影C ^{n +1} \{0} → CP ⁿによるUの逆像です。最後に、各整数kに対して、O ( k )( U ) をVで次数がkの同次関数の集合とします。これは、 O ( k )で表される特定の線束のセクションの層を定義します。

特殊な場合k = − 1では、束O ( − 1) はトートロジー線束と呼ばれます。これは、積の部分束として同等に定義されます。

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\times \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

L ∈ CP ⁿ上のファイバーは集合である

${\displaystyle \{(x,L)\mid x\in L\}.}$

これらの線束は因子の言語でも記述できます。H = CP ^{n − 1を}CP ⁿ内の与えられた複素超平面とします。H に沿って単純極を最大で 1 つ持つ(他の場所には持たない) CP ⁿ上の有理型関数の空間は1 次元空間であり、O ( H ) と表記され、超平面束と呼ばれます。双対束はO ( − H ) と表記され、O ( H ) のk^番目のテンソル冪はO ( kH )と表記されます。これは、 Hに沿ってk位数の極を持つ有理型関数の正則倍数によって生成される層です。

${\displaystyle O(kH)\cong O(k).}$

実際、L ( z ) = 0がHの線形定義関数である場合、L ^{− k}はO ( k )の有理型切断であり、局所的にO ( k )の他の切断はこの切断の倍数になります。

H ¹ ( CP ⁿ , Z ) = 0なので、 CP ⁿ上の線束は、整数であるチャーン類によって同型を除いて分類されます。つまり、それらはH ² ( CP ⁿ , Z ) = Zに属します。実際、複素射影空間の最初のチャーン類は、ポアンカレ双対性の下で、超平面Hに関連付けられたホモロジー類によって生成されます。線束O ( kH ) はチャーン類kを持ちます。したがって、 CP ⁿ上のすべての正則線束は、O ( H ) またはO ( − H )のテンソル冪です。言い換えれば、CP ⁿのピカール群は、超平面類 [ H ] ( Hartshorne 1977 )によってアーベル群として生成されます。