理想数

数論において、イデアル数とは、数体の整数環におけるイデアルを表す代数的整数である。この概念はエルンスト・クンマーによって発展させられ、リヒャルト・デデキントによる環のイデアルの定義につながった。代数的数体の整数環におけるイデアルは、その環の単一の要素の倍数から成る場合、主イデアルと呼ばれる。主イデアル定理によれば、任意の非主イデアルは、ヒルベルト類体のイデアルに拡張されると主イデアルとなる。これは、ヒルベルト類体の整数環にイデアル数である要素が存在し、元の​​非主イデアルが、このイデアル数と、元の体における整数環に含まれるこの整数環の要素によるすべての倍数の集合に等しくなることを意味する。

例えば、${\displaystyle y}$根源となる$\displaystyle y^{2}+y+6=0}$すると、体の整数環${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$は${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$つまり、すべて${\displaystyle a+b\cdot y}$と${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$整数は整数環を形成する。この環における非主イデアルの例としては、すべての整数の集合が挙げられる。${\displaystyle 2a+y\cdot b}$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は整数であり、このイデアルの立方体は主イデアルであり、実際、類群は位数3の巡回群である。対応する類体は、要素を隣接させることによって得られる。${\displaystyle w}$満足${\displaystyle w^{3}-w-1=0}$に${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$与える${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$非主イデアルの理想数${\displaystyle 2a+y\cdot b}$は${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$これは方程式を満たすので ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$それは代数的整数です。

クラス体の整数環のすべての要素で、${\displaystyle \iota }$結果を表示する${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$形式は${\displaystyle a\cdot \alpha +y\cdot \beta }$、 どこ

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

そして

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

係数αとβも代数的整数であり、

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

そして

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

それぞれ。乗算${\displaystyle a\cdot \alpha +b\cdot \beta }$理想数によって${\displaystyle \iota }$与える${\displaystyle 2a+b\cdot y}$これは非主イデアルである。

クンマーは1844年に、あまり知られていない雑誌に円分体における一意分解の限界を初めて発表し、1847年にはリウヴィルの雑誌に再掲載された。その後、1846年と1847年に発表された論文で、彼は自身の主要な定理である、（実素数と理想素数への）一意分解を発表した。

クンマーが「理想複素数」に至ったのは、フェルマーの最終定理への関心がきっかけだったと広く信じられています。ラメと同様に、クンマーもフェルマーの最終定理を証明したと信じていたが、ルジューヌ・ディリクレから、その議論は一意分解に基づいていると指摘されたという逸話もよく語られます。しかし、この話は1910年にクルト・ヘンゼルが初めて語ったものであり、ヘンゼルの情報源の一人が誤解した可能性が高いことが証拠から示唆されています。ハロルド・エドワーズは、クンマーが主にフェルマーの最終定理に関心を持っていたという考えは「明らかに間違っている」と述べています（エドワーズ 1977、p.79）。クンマーが素数を表すのに文字λを用い、1のλ乗根を表すのにαを用い、素数の因数分解を研究したことは、${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$「複素数」に${\displaystyle \lambda }$「統一の根」はすべて、ヤコビの論文から直接派生したもので、その論文は高次相互法則に関するものです。クンマーの1844年の論文は、ケーニヒスベルク大学の創立50周年を記念して書かれたもので、ヤコビへの賛辞として意図されていました。クンマーは1830年代にフェルマーの最終定理を研究しており、おそらく自身の理論がその研究に影響を与えることを認識していたでしょうが、ヤコビ（およびガウス）が関心を寄せていた高次相互法則の方が、彼にとってより重要だった可能性が高いです。クンマーは、正則素数に対するフェルマーの最終定理の部分的な証明を「数論の主要な項目というよりはむしろ珍事」と呼び、高次相互法則（彼はこれを予想として述べました）を「現代数論の主要な主題であり、頂点」と呼んでいました。一方、この後者の発言は、クンマーがまだ自身の研究の成功に興奮していた時期になされたものです。相互性に関する彼の研究は、フェルマーの最終定理の研究が行き詰まっていた時期に行われたため、多少懐疑的に受け止めても良いかもしれない。

クンマーの考えを一般の場合に拡張することは、その後の40年間でクロネッカーとデデキントによってそれぞれ独立に成し遂げられた。直接的な一般化は大きな困難に直面し、最終的にデデキントは加群とイデアルの理論を創り出すに至った。クロネッカーは、形式論（二次形式の一般化）と因子論を発展させることで、これらの困難に対処した。デデキントの貢献は環論と抽象代数学の基礎となり、クロネッカーの貢献は代数幾何学における主要なツールとなった。

• ニコラ・ブルバキ著、『数学史の基礎』、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク、1999年。
• ハロルド・M・エドワーズ著、『フェルマーの最終定理：数論への遺伝的入門』、大学院数学テキスト第50巻、シュプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク、1977年。
• CG Jacobi、プリムツァーレンを複雑にし、51、81、および 12 の理論を理解して、モナツベルを訪問します。だー。アカド。ウィス。ベルリン (1839) 89-91。
• EE Kummer、De numeris complexis、qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant、 Gratulationschrift der Univ.ブレスラウ ツア ユーベルファイヤ デア大学ケーニヒスベルク、1844年。 Jourに再版されました。数学。 12 (1847) 185-212。
• EE Kummer、Uber die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren、 Jour。数学のために。 (クレル) 35 (1847) 327-367。
• ジョン・スティルウェル著、リチャード・デデキント著『代数的整数論入門』。ケンブリッジ数学ライブラリー、ケンブリッジ大学出版局、イギリス、1996年。

• 理想数、フェルマーの最終定理ブログで、理想数の理論が円分整数の一意因数分解を保存するという証明。