ジョーダン代数

抽象代数において、ジョルダン代数は、乗算が次の公理を満たす 体上の非結合代数 です。

1. ${\displaystyle xy=yx}$（交換法則）
2. ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$（ジョーダン・アイデンティティ）。

ジョルダン代数の2つの要素xとyの積は、関連する結合代数の積との混同を避けるために、x ∘ yとも表記されます。

公理は^[1]ジョルダン代数がべき結合的であることを意味します。つまり、はこの式の括弧の付け方に依存しません。また、^[1]はすべての正の整数mとnに対して であることを意味します。したがって、ジョルダン代数を、任意の元 に対して、べき乗を掛ける操作がすべて可 換であるような可換でべき結合的な代数として定義することも同等です。${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$

ジョーダン代数は、量子電磁力学における観測可能な 代数の概念を形式化する試みとして、パスクアル・ジョーダン（1933）によって導入された。代数はこの文脈では役に立たないことがすぐに示されたが、その後数学で多くの応用が見出された。^[2]代数はもともと「r数系」と呼ばれていたが、一般ジョーダン代数の体系的な研究を始めたエイブラハム・エイドリアン・アルバート （1946）によって「ジョーダン代数」と改名された。

まず、結合代数は、可換である場合にのみジョルダン代数であることに注意してください。

任意の結合代数A (特性2 ではない) が与えられた場合、同じ基礎となる加算と新しい乗算を使用して、ジョルダン代数A ^{+を構築できます。}ジョルダン積は次のように定義されます。

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

これらのジョルダン代数とその部分代数は特殊ジョルダン代数と呼ばれ、その他はすべて例外ジョルダン代数と呼ばれます。この構成は、積（リー括弧）が交換子によって定義されるAに関連付けられたリー代数に類似しています。 ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

シルショフ・コーンの定理は、2つの生成元を持つ任意のジョルダン代数は特殊であると述べている。 ^[3]これに関連して、マクドナルドの定理は、3変数の多項式で、そのうちの1つの変数に次数1を持ち、すべての特殊ジョルダン代数で消えるものは、すべてのジョルダン代数でも消えると述べている。^[4]

( A , σ ) が反転 σ を持つ結合代数である場合、σ ( x ) = xかつσ ( y ) = yであれば、次の式が成り立ちます。したがって、反転によって固定されるすべての要素 (エルミート要素と呼ばれることもある) の集合はA ⁺の部分代数を形成し、これは H( A , σ ) と表記されることもあります。${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

1.乗算を伴う 自己随伴 実数、複素数、または四元数行列の集合

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

特別なジョルダン代数を形成します。

2.八元数上の3×3自己随伴行列の集合（ これも乗算を含む）

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

は、27 次元の例外ジョルダン代数である (例外なのは、八元数が結合的でないからである)。これはアルバート代数の最初の例である。その自己同型群は例外リー群 F ₄である。複素数上では、同型を除いてこれが唯一の単純な例外ジョルダン代数であるため、^[5]しばしば「例外ジョルダン代数」と呼ばれる。実数上では、単純な例外ジョルダン代数の同型クラスが 3 つ存在する。^[5]

ジョルダン代数Aの微分は、 D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y )となるAの自己準同型Dです。この微分によりリー代数der ( A ) が形成されます。ジョルダン恒等式は、xとy がAの要素である場合、z をx ( yz ) − y ( xz )に送る自己準同型が微分であることを意味します。したがって、 Aとder ( A )の直和はリー代数にすることができ、Aの構造代数str ( A )と呼ばれます。

簡単な例として、エルミートジョルダン代数 H( A , σ ) が挙げられます。この場合、σ ( x )=− xを満たすAの任意の元x は微分を定義します。多くの重要な例では、 H( A , σ )の構造代数はAです。

導出代数と構造代数は、ティッツによるフロイデンタールの魔方陣の構築の一部でもあります。

実数上の（おそらく非結合的な）代数は、n個の平方の和がそれぞれ個別に消える場合にのみ消えるという性質を満たす場合、形式的に実数であると言われます。1932 年に、ジョーダンは、任意の量子システムの観測可能な代数は、可換（xy = yx ）かつべき結合的（結合法則はxのみを含む積に成り立ち、したがって任意の要素xのべき乗が明確に定義される）な形式的に実代数でなければならないと述べて、量子論を公理化しようとしました。彼は、そのような代数はどれもジョーダン代数であることを証明しました。

すべてのジョルダン代数が形式的に実というわけではないが、ジョルダン、フォン ノイマン、ウィグナー (1934) は有限次元の形式的に実ジョルダン代数 (ユークリッド ジョルダン代数とも呼ばれる) を分類した。すべての形式的に実ジョルダン代数は、いわゆる単純な代数の直和として表すことができるが、それ自体は非自明な方法で直和ではない。有限次元では、単純な形式的に実ジョルダン代数は、1 つの例外的なケースとともに 4 つの無限族に分類される。

• 上記のn × n自己随伴実数行列のジョルダン代数。
• 上記のn × n自己随伴複素行列のジョルダン代数。
• n × n自己随伴四元数行列のジョルダン代数。上記の通り。
• R ⁿによって自由に生成されるジョルダン代数は 、

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

ここで、右辺はR ⁿ上の通常の内積を使用して定義されます。これはスピン因子またはクリフォード型のジョルダン代数と呼ばれることもあります。

• 上記の 3×3 自己随伴八元数行列のジョルダン代数 (アルバート代数と呼ばれる例外的なジョルダン代数)。

これらの可能性のうち、これまでのところ、自然界では観測量の代数としてn × n複素行列のみが使用されているようです。しかし、スピン因子は特殊相対性理論で役割を果たしており、形式的に実数であるジョルダン代数はすべて射影幾何学に関連しています。

e がジョルダン代数A ( e ²  =  e ) の冪等であり、R がeによる乗算の演算である場合、

• R (2 R  − 1)( R  − 1) = 0

したがって、 Rの固有値は0、1/2、1 のみである。ジョルダン代数A が特性が 2 でない体上の有限次元である場合、これはそれが 3 つの固有空間の部分空間A  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) の直和であることを意味する。この分解は、完全に実なジョルダン代数に対して、ジョーダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934) によって最初に考えられた。これは後にアルバート (1947) によって完全に一般化され、冪等な eに対するAのピアス分解と呼ばれた。^[6]

1979 年、エフィム・ゼルマノフは無限次元の単純 (および素数非退化) ジョルダン代数を分類しました。これらはエルミート型またはクリフォード型のいずれかです。特に、唯一の例外的な単純ジョルダン代数は、次元が 27 である 有限次元アルバート代数です。

作用素環の理論は、ジョルダン作用素環をカバーするように拡張されました。

C*-代数の対応物はJB 代数であり、有限次元ではユークリッド ジョルダン代数と呼ばれます。実ジョルダン代数のノルムは完全で、次の公理を満たしている必要があります。

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

これらの公理は、ジョルダン代数が形式的に実数であることを保証するため、項の平方和がゼロの場合、それらの項はゼロでなければなりません。JB 代数の複素化は、ジョルダン C* 代数または JB* 代数と呼ばれます。これらは、有界対称領域のKoecher のジョルダン代数的処理を無限次元に拡張するために、複素幾何学で広く使用されています。すべての JB 代数が、有限次元の場合とまったく同じように、ヒルベルト空間上の自己随伴演算子のジョルダン代数として実現できるわけではありません。例外的なアルバート代数は、一般的な障害です。

フォン・ノイマン代数のジョルダン代数の類似物は、JBW 代数によって演じられる。これらは JB 代数であり、バナッハ空間としてバナッハ空間の双対空間である。フォン・ノイマン代数の構造理論の多くは、JBW 代数に持ち越すことができる。特に、JBW 因子 (中心がRに縮約されたもの) は、フォン・ノイマン代数によって完全に理解される。例外的なアルバート代数を除いて、すべての JWB 因子は、弱作用素位相で閉じたヒルベルト空間上の自己随伴作用素のジョルダン代数として実現できる。これらのうち、スピン因子は、実ヒルベルト空間から非常に簡単に構成できる。他のすべての JWB 因子は、フォン・ノイマン因子の自己随伴部分、またはフォン・ノイマン因子の周期 2 *-反自己同型の下でのその不動点部分代数のいずれかである。^[7]

ジョルダン環はジョルダン代数の一般化であり、ジョルダン環が体ではなく一般環上にあることだけを要求します。あるいは、ジョルダン環を、ジョルダン恒等式を尊重する可換非結合環として定義することもできます。

ジョルダン超代数はカッツ、カンター、カプランスキーによって導入された。これらは-次数代数であり、 はジョルダン代数であり、内の値を持つ「リーのような」積を持つ。^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$

任意の次数付き結合代数は次数付きジョルダン括弧に関してジョルダン超代数になる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

特性 0 の代数的に閉じた体上のジョルダン単純超代数は、Kac (1977) によって分類されました。これらには、いくつかの族と、特にや などの例外的な代数が含まれます。 ${\displaystyle K_{3}}$${\displaystyle K_{10}}$

J 構造の概念は、線形代数群と公理を使用して、ジョルダン反転を基本演算とし、フアの恒等式を基本関係としてジョルダン代数の理論を展開するために、Springer (1998) によって導入されました。特性が2 に等しくない場合、J 構造の理論は、ジョルダン代数の理論と本質的に同じです。

二次ジョルダン代数は、ケビン・マクリモン (1966) によって導入された (線型) ジョルダン代数の一般化です。線型ジョルダン代数の二次表現の基本恒等式は、任意の特性を持つ体上の二次ジョルダン代数を定義する公理として使用されます。特性に依存せず、有限次元の単純な二次ジョルダン代数の統一的な記述があります。特性が 2 でない場合、二次ジョルダン代数の理論は線型ジョルダン代数の理論に帰着します。

• フロイデンタール代数
• ジョーダントリプルシステム
• ジョーダンペア
• カンター・ケッヒャー・ティッツ構成
• スコルツァ種

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• PlanetMath の Jordan 代数
• PlanetMath の Jordan-Banach 代数と Jordan-Lie 代数