恒星のダイナミクス

恒星力学は、相互の重力の影響を受ける恒星の集団運動を統計的に記述する天体物理学の一分野である。天体力学との本質的な違いは、恒星の数が${\displaystyle N\gg 10.}$

典型的な銀河には、数百万個以上の巨視的重力体と無数のニュートリノ、そしておそらく他の暗黒微視的天体が存在する。また、各恒星は多かれ少なかれ均等に全体の重力場に寄与しているが、天体力学では、巨大な天体の引力が衛星軌道を支配する。^[1]

恒星の力学はプラズマ物理学の分野とも関連があります。^[2]この2つの分野は20世紀初頭の同じような時期に大きな発展を遂げ、どちらももともと流体力学の分野で開発された数学的形式を借用しています。

降着円盤と恒星表面では、高密度のプラズマまたはガス粒子が頻繁に衝突し、衝突によって等分配が生じ、磁場下で粘性が生じる可能性があります。降着円盤と恒星大気は、どちらも膨大な数の微小粒子の塊でできており、さまざまなサイズがあります。 ${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (10^{-8}{\text{pc}}/500{\text{km/s}},1M_{\odot }/10^{55}=m_{p})}$恒星の表面では、
• ${\displaystyle \sim (10^{-4}{\text{pc}}/10{\text{km/s}},0.1M_{\odot }/10^{54}\sim m_{p})}$太陽のような恒星やキロメートルサイズの恒星ブラックホールの周りでは、
• ${\displaystyle \sim (10^{-1}{\text{pc}}/100{\text{km/s}},10M_{\odot }/10^{56}\sim m_{p})}$銀河の中心には太陽の100万倍ほどの質量を持つブラックホール（AUサイズ程度）が存在します。

恒星の力学ではシステム横断の時間スケールが長いので、次の点に注意すると便利である。

${\displaystyle 1000{\text{pc}}/1{\text{km/s}}=1000{\text{Myr}}={\text{HubbleTime}}/14.}$

長い時間スケールは、降着円盤内のガス粒子とは異なり、銀河円盤内の星がその寿命の間に衝突を経験することは非常にまれであることを意味します。ただし、銀河団内の銀河は時折衝突し、星団内の星は時折接近遭遇します。

経験則として、関係する典型的なスケール（PCBudassiの宇宙の対数地図の上部を参照）は次の通りです。${\displaystyle (L/V,M/N)}$

• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10pc/10km/s} ,1000M_{\odot }/1000)}$M13星団の場合、
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {100kpc/100km/s} ,10^{11}M_{\odot }/10^{11})}$M31ディスク銀河の場合、
• ${\displaystyle \sim (\mathrm {10Mpc/1000km/s} ,10^{14}M_{\odot }/10^{77}=m_{\nu })}$N = 1000 個の銀河が合体したシステムである弾丸銀河団におけるニュートリノについて。

表面的には、恒星の力学はすべて、ニュートンの運動の第二法則によって N 体問題として定式化される可能性があります。ここで、N 個のメンバーからなる孤立した恒星系の内部相互作用の運動方程式 (EOM) は、次のように記述できます。 ここで、N 体システムでは、個々のメンバーは、残りのメンバーの重力ポテンシャルの影響を受けます。 $${\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{N}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\right\|^{3}}}.}$$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{j}}$

実際には、最高性能のコンピュータシミュレーションを除いて、この方法で大規模な N システムの将来を厳密に計算することは現実的ではありません。また、この EOM ではほとんど直感が得られません。歴史的に、恒星力学で利用される方法は、古典力学と統計力学の両方の分野から生まれました。本質的に、恒星力学の基本的な問題はN 体問題であり、N メンバーは特定の恒星系のメンバーを指します。恒星系には多数のオブジェクトがあるため、恒星力学では、多くの軌道のグローバルな統計的特性と、個々の軌道の位置と速度に関する特定のデータの両方を扱うことができます。^[1]

恒星の力学には、相当数の恒星の重力ポテンシャルを決定することが含まれる。恒星は、互いの相互作用の組み合わせによって軌道が決定される点質点としてモデル化することができる。通常、これらの点質点は、銀河団や球状星団などのさまざまなクラスターや銀河内の恒星を表す。システムの重力ポテンシャルを得るために、システム内のすべての点質点ポテンシャルを毎秒加算する必要がないため、恒星力学の専門家は、計算コストを抑えながらシステムを正確にモデル化できるポテンシャルモデルを開発している。^[3]システムの重力ポテンシャル は、加速度および重力場 と次のように関連している。 一方、ポテンシャルは、積分形式 またはより一般的な微分形式 のポアソン方程式を介して、（平滑化された）質量密度 と関連している。${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathbf {g} }$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r_{i}} }{dt^{2}}}}=\mathbf {\vec {g}} =-\nabla _{\mathbf {r_{i}} }\Phi (\mathbf {r_{i}} ),~~\Phi (\mathbf {r} _{i})=-\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{N}{{\frac {Gm_{k}}{\left\|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}\right\|}},}$$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int {G\rho (\mathbf {R} )d^{3}\mathbf {R} \over \left\|\mathbf {r} -\mathbf {R} \right\|}}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho .}$$

解析的に滑らかな球状ポテンシャルを考えてみましょう。 ここで、は「端まで逃げる」速度を意味し、は「端から無限大まで逃げる」速度です。重力は、球体内では調和振動子の復元力のようなもので、球体外ではヘヴィサイド関数で記述されるケプラーの力のようなものです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (r)&\equiv \left(-V_{0}^{2}\right)+\left[{r^{2}-r_{0}^{2} \over 2r_{0}^{2}},~~1-{r_{0} \over r}\right]_{\max }\!\!\!\!V_{0}^{2}\equiv \Phi (r_{0})-{V_{e}^{2}(r) \over 2},~~\Phi (r_{0})=-V_{0}^{2},\\\mathbf {g} &=-\mathbf {\nabla } \Phi (r)=-\Omega ^{2}rH(r_{0}-r)-{GM_{0} \over r^{2}}H(r-r_{0}),~~\Omega ={V_{0} \over r_{0}},~~M_{0}={V_{0}^{2}r_{0} \over G},\end{aligned}}}$$${\displaystyle V_{e}(r)}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}V_{0}}$

球状ポアソン方程式を使用して対応する密度を計算することで 正規化を修正することができます。 ここで、囲まれた質量は ${\displaystyle V_{0}}$$${\displaystyle G\rho ={d \over 4\pi r^{2}dr}{r^{2}d\Phi \over dr}={d(GM) \over 4\pi r^{2}dr}={3V_{0}^{2} \over 4\pi r_{0}^{2}}H(r_{0}-r),}$$$${\displaystyle M(r)={r^{2}d\Phi \over Gdr}=\int _{0}^{r}dr\int _{0}^{\pi }(rd\theta )\int _{0}^{2\pi }(r\sin \theta d\varphi )\rho _{0}H(r_{0}-r)=\left.M_{0}x^{3}\right|_{x={r \over r_{0}}}.}$$

したがって、ポテンシャルモデルは、半径、全質量、および ${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle M_{0}}$$${\displaystyle {V_{0} \over r_{0}}\equiv {\sqrt {4\pi G\rho _{0} \over 3}}={\sqrt {GM_{0} \over r_{0}^{3}}}.}$$

運動方程式とポアソン方程式は、座標系と物理システムの対称性に応じて非球形になることもありますが、本質は同じです。銀河や球状星団内の星の運動は、主に他の遠方の星の平均分布によって決まります。まれに起こる恒星の遭遇には、緩和、質量分離、潮汐力、動的摩擦などのプロセスが関与し、システムのメンバーの軌道に影響を及ぼします。^[4]

上記のニュートン EOM とポアソン方程式には、関連する近似が 3 つあります。

まず、上記の式は、 典型的な恒星の 3 次元速度km/s が光速よりはるかに遅いため、約 の相対論的補正を無視しています。 $${\displaystyle (v/c)^{2}\ll 10^{-4}}$$${\displaystyle v\sim 3-3000}$

第二に、非重力力は恒星系では通常無視できるほど小さい。例えば、典型的な恒星の近くでは、水素原子またはイオンに対する輻射力と重力力の比は なので、輻射力は一般に無視できるが、質量 の明るい O 型恒星の周りや、エディントン限界でガスを集積しているブラックホールの周りでは、その光度と質量の比は で定義される。 $${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}={{\sigma _{e} \over 4\pi m_{H}c}{L\odot \over r^{2}} \over {GM_{\odot } \over r^{2}}}={1 \over 30,000},}$$${\displaystyle 30M_{\odot }}$${\displaystyle L_{\bullet }/M_{\bullet }}$${\displaystyle Q^{\text{Eddington}}=1}$

第三に、星はブラックホールのシュワルツシルト半径の数倍以内に近づくと飲み込まれる可能性がある。このロス半径は次のように与えられる。$${\displaystyle s\leq s_{\text{Loss}}={\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$$

ロス コーンは、小さな立体角 (速度のコーン) 内でブラック ホールを目指す落下粒子を考えることで視覚化できます。小さな角を持つこれらの粒子は、単位質量あたりの角運動量が小さく、その小さな角運動量 (による) では、粒子を強制的に方向転換させるほど十分に高い障壁が近くに形成されません。 ${\displaystyle \theta \ll 1}$$${\displaystyle J\equiv rv\sin \theta \leq J_{\text{loss}}={\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$$${\displaystyle s_{\text{Loss}}}$

ニュートン重力では、有効ポテンシャルは 常に正の無限大です。しかし、一般相対性理論では、$${\displaystyle \Phi _{\text{eff}}(r)\equiv E-{{\dot {r}}^{2} \over 2}={J^{2} \over 2r^{2}}+\Phi (r),}$$${\displaystyle {\frac {6GM_{\bullet }}{c^{2}}}}$${\displaystyle J\leq {\frac {4GM_{\bullet }}{c}}.}$

厳密な一般相対論的扱いをせずに、シュワルツシルトブラックホールの近似古典的ポテンシャルを使用して、 有効ポテンシャルが変曲点にある最後の安定円軌道を計算することでこれを検証することができる。${\displaystyle s_{\text{loss}},J_{\text{loss}}}$${\displaystyle \Phi ''_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=\Phi '_{\text{eff}}(s_{\text{loss}})=0}$$${\displaystyle \Phi (r)=-{(4GM_{\bullet }/c)^{2} \over 2r^{2}}\left[1+{3(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over 8r^{2}}\right]-{\frac {GM_{\bullet }}{r}}\left[1-{(6GM_{\bullet }/c^{2})^{2} \over r^{2}}\right].}$$

星は、ブラックホールのいわゆるヒル半径内に来ると、より重いブラックホールによって潮汐力で引き裂かれる可能性がある。この半径内では、星の表面重力はブラックホールからの潮汐力に屈する。^[5]すなわち、

$${\displaystyle (1-1.5)\geq Q^{\text{tide}}\equiv {GM_{\odot }/R_{\odot }^{2} \over [GM_{\bullet }/s_{\text{Hill}}^{2}-GM_{\bullet }/(s_{\text{Hill}}+R_{\odot })^{2}]},~~~s_{\text{Hill}}\rightarrow R_{\odot }\left({(2-3)GM_{\bullet } \over GM_{\odot }}\right)^{1 \over 3},}$$

破壊半径が 0.001pc の典型的なブラックホールの場合、最も密度の高い恒星系 (たとえば、天の川銀河中心の核星団) の恒星間隔です。したがって、(主系列) の恒星は一般に内部がコンパクトすぎて、間隔が離れすぎていて、銀河や星団環境で最も強力なブラックホール潮汐によっても破壊されません。 ${\displaystyle M_{\bullet }=(10^{0}-10^{8.5})M_{\odot }}$$${\displaystyle \max[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]=400R_{\odot }\max \left[\left({M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right)^{1/3},{M_{\bullet } \over 3\times 10^{7}M_{\odot }}\right]=(1-4000)R_{\odot }\ll 0.001\mathrm {pc} ,}$$

相対速度 V の質量を持つ粒子は、ブラックホールの（はるかに大きい）断面積に入ると偏向します。このいわゆる影響範囲は、Q のような調整係数までによって緩く定義されるため、 太陽のような恒星の場合 、太陽質量の恒星からの 表面脱出速度が高いため、ブラックホールとの典型的な遭遇では、恒星は潮汐力によって乱されることも、物理的に衝突/飲み込まれることもありません。この速度は、弾丸銀河団内の銀河間の内部速度に匹敵し、すべての星団内および銀河内の 典型的な内部速度よりも高速です。${\displaystyle m}$${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\ln \Lambda }}}$$${\displaystyle 1\sim {\sqrt {\ln \Lambda }}\equiv {\frac {V^{2}/2}{G(M_{\bullet }+m)/s_{\bullet }}},}$$$${\displaystyle s_{\bullet }={G(M_{\bullet }+M_{\odot }){\sqrt {\ln \Lambda }} \over V^{2}/2}\approx {M_{\bullet } \over M_{\odot }}{V_{\odot }^{2} \over V^{2}}R_{\odot }>[s_{\text{Hill}},s_{\text{Loss}}]_{max}=(1-4000)R_{\odot },}$$$${\displaystyle V_{\odot }={\sqrt {2GM_{\odot }/R_{\odot }}}=615\mathrm {km/s} }$$$${\displaystyle V\sim {\sqrt {2G(NM_{\odot })/R}}\ll \mathrm {300km/s} }$$

まず、質量 の重いブラックホールが（再スケールされた）熱音速と密度の散逸ガス中を動いているとします。この場合、質量 m のすべてのガス粒子は、半径 の断面積内に入ると、その相対運動量をブラックホールに渡す可能性があります。ブラックホールが流動速度の半分を失う時間スケールでは、その質量はボンダイ降着によって 2 倍になる可能性があります 。ボンダイ降着とは、ブラックホールの影響圏 に入ってきたガス粒子のほとんどを捕獲するプロセスで、ガス衝突によって運動エネルギーを散逸させてブラックホールに落ち込みます。ガス捕獲率は で、 ポリトロープ指数は速度分散の 2 乗を単位とした音速であり、再スケールされた音速により、断熱ガス のボンダイ球状降着率を等温の場合と一致させることができます。 ${\displaystyle M_{\bullet }}$${\displaystyle {\text{ς'}}}$${\displaystyle \rho _{\text{gas}}}$${\displaystyle mV_{\bullet }}$$${\displaystyle s_{\bullet }\equiv {(GM_{\bullet }+Gm){\sqrt {\ln \Lambda }} \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$${\displaystyle t_{\text{fric}}}$${\displaystyle s_{\bullet }}$$${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}(\pi s_{\bullet }^{2})\rho _{\text{gas}}=4\pi \rho _{\text{gas}}\left[{(GM_{\bullet })^{2} \over ({\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2})^{3 \over 2}}\right]\ln \Lambda ,~~{\text{ς'}}\equiv \sigma {\sqrt {1+\gamma ^{3} \over 2(9/8)^{2/3}}}\approx [{\text{ς}},\gamma \sigma ]_{\text{max}},}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\text{ς'}}}$${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx \pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$${\displaystyle \gamma =5/3}$${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }\approx 4\pi \rho _{\text{gas}}{\text{ς}}\left[{(GM_{\bullet }) \over {\text{ς}}^{2}}\right]^{2}}$${\displaystyle \gamma =1}$

星の潮汐力による破壊と（移動する）ブラックホールによる星の捕獲に戻ると、 と設定すると、ガスと星からのブラックホールの成長率を とまとめることができます。 これは、 ブラックホールがその影響圏を通過する星/ガス粒子の一部/大部分を消費するためです。 ${\displaystyle \ln \Lambda =1}$${\displaystyle {M_{\bullet } \over t_{\text{Bondi}}^{gas}}+{M_{\bullet } \over t_{\text{loss}}^{*}}}$$${\displaystyle {\dot {M}}_{\bullet }={\sqrt {{\text{ς'}}^{2}+V_{\bullet }^{2}}}mn(\pi s_{\bullet }^{2},\pi s_{\text{Hill}}^{2},\pi s_{\text{Loss}}^{2})_{\text{max}},~~s_{\bullet }\approx {(GM_{\bullet }+Gm) \over (V_{\bullet }^{2}+{\text{ς'}}^{2})/2},}$$

質量の重いブラックホールが、平均数密度が典型的なサイズ内の総質量のクラスター内でランダムに運動する星の背景に対して相対的に動く場合を考えます。 ${\displaystyle M_{\bullet }}$${\displaystyle (NM_{\odot })}$$${\displaystyle n\sim (N-1)/(4\pi R^{3}/3)}$$${\displaystyle R}$

直感的に、重力は軽い物体を加速させ、運動量と運動エネルギーを増加させます (スリングショット効果を参照)。エネルギーと運動量の保存則により、重い物体はそれを補うために一定量だけ減速すると結論付けることができます。対象物体の運動量と運動エネルギーが失われるため、この効果は動的摩擦と呼ばれます。

一定時間の緩和後、重いブラックホールの運動エネルギーは、より質量の小さい背景の物体と均等に分割されるはずです。ブラックホールの減速は次のように記述できます 。 ここで、は動的摩擦時間と呼ばれます。 $${\displaystyle -{M_{\bullet }{\dot {V}}_{\bullet }}={M_{\bullet }V_{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}},}$$${\displaystyle t_{\text{fric}}^{\text{star}}}$

マッハ 1 の BH を考えてみましょう。これは最初は音速 で移動します。したがって、そのボンダイ半径はを満たします 。ここで、音速は であり、前因子は、質量密度 の均一な球状クラスターの場合、円周期の半分は「音」が最も長い次元で一方通行で横断する時間であるという事実によって固定されます。つまり、 です。 慣例的に、「直径の半分」の横断時間を動的時間スケールと呼びます。 ${\displaystyle {\text{ς}}=V_{0}}$${\displaystyle s_{\bullet }}$$${\displaystyle {GM_{\bullet }{\sqrt {\ln \Lambda }} \over s_{\bullet }}=V_{0}^{2}={\text{ς}}^{2}={0.4053GM_{\odot }(N-1) \over R},}$$${\displaystyle {\text{ς}}={\sqrt {4GM_{\odot }(N-1) \over \pi ^{2}R}}}$${\displaystyle {4 \over \pi ^{2}}\approx {4 \over 10}=0.4}$${\displaystyle \rho =nM_{\odot }\approx {M_{\odot }(N-1) \over 4.19R^{3}}}$$${\displaystyle 2t_{\text{ς}}\equiv 2t_{\text{cross}}\equiv {2R \over {\text{ς}}}=\pi {\sqrt {R^{3} \over GM_{\odot }(N-1)}}\approx (0.4244G\rho )^{-1/2}.}$$${\displaystyle t_{\text{cross}}}$

BHが、 交差する経路上の星々に運動量を預けながら長さを移動した後に停止すると仮定すると、BHのボンダイ断面積によって「直径」の交差時間あたりに偏向される星の数は、 ${\displaystyle l_{\text{fric}}\equiv {\text{ς}}t_{\text{fric}}}$${\displaystyle M_{\bullet }V_{0}=M_{\bullet }{\text{ς}}}$${\displaystyle {M_{\bullet } \over M_{\odot }}}$${\displaystyle l_{\text{fric}}/(2R)}$$${\displaystyle N^{\text{defl}}={({M_{\bullet } \over M_{\odot }})}{2R \over l_{\text{fric}}}=N{\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}}=N\left({M_{\bullet } \over 0.4053M_{\odot }N}\right)^{2}\ln \Lambda .}$$

より一般的には、星の海という ポテンシャル内での一般的な速度での BH の運動方程式は、次のように記述できます。また、クーロン対数修正係数は、質量 の超音速で移動する BH の摩擦を除外します。経験則として、亜音速の BH がクラスター全体の質量の 1/8 を超える場合、オーバーシュートせずに端から中心まで「沈む」のに、音速を横切る時間程度かかります。より軽くて速い穴は、より長く浮かんでいることができます。 ${\displaystyle \mathbf {V} _{\bullet }}$${\displaystyle \Phi }$$${\displaystyle -{d \over dt}(M_{\bullet }V_{\bullet })-M_{\bullet }\nabla \Phi \equiv {(M_{\bullet }V_{\bullet }) \over t_{\text{fric}}}=\overbrace {N\pi s_{\bullet }^{2} \over \pi R^{2}} ^{N^{\text{defl}}}{(M_{\odot }V_{\bullet }) \over 2t_{\text{ς}}}={8\ln \Lambda ' \over Nt_{\text{ς}}}M_{\bullet }V_{\bullet },}$$ ${\displaystyle {\pi ^{2} \over 8}\approx 1}$${\displaystyle {\ln \Lambda ' \over \ln \Lambda }\equiv \left[{\pi ^{2} \over 8}\right]^{2}\left[(1+{V_{\bullet }^{2} \over {\text{ς'}}^{2}})\right]^{-2}(1+{M_{\odot } \over M_{\bullet }})\leq \left[{{\text{ς'}} \over V_{\bullet }}\right]^{4}\leq 1}$${\displaystyle M_{\bullet }\geq M_{\odot }}$${\displaystyle t_{\text{ς'}}}$

物体の速度変化に関する 完全なチャンドラセカールの動的摩擦式は、物質場の位相空間密度にわたって積分する必要があり、透明性には程遠いものです。

これは、ブラックホールの影響圏内の 長さと断面積の無限小の円筒形の体積 内の粒子の数である、 と 解釈されます 。$${\displaystyle {M_{\bullet }d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over dt}=-{M_{\bullet }\mathbf {V} _{\bullet } \over t_{\text{fric}}^{\text{star}}}=-{m\mathbf {V} _{\bullet }~n(\mathbf {x} )d\mathbf {x} ^{3} \over dt}\ln \Lambda _{\text{lag}},}$$$${\displaystyle ~~n(\mathbf {x} )dx^{3}=dtV_{\bullet }(\pi s_{\bullet }^{2})n(\mathbf {x} )=dtn(\mathbf {x} )|V_{\bullet }|\pi \left[{G(m+M_{\bullet }) \over |V_{\bullet }|^{2}/2}\right]^{2}}$$${\displaystyle |V_{\bullet }dt|}$${\displaystyle \pi s_{\bullet }^{2}}$

「クーロン対数」が遠方の背景粒子の寄与を考慮するのと同様に、ここでの 係数は、抗力に寄与する背景の BH より遅い粒子が見つかる確率も考慮します。BH に追い抜かれる粒子が増えるほど、BH を引っ張る粒子が増え、 が大きくなります。また、システムが大きいほど、 が大きくなります。 ${\displaystyle \ln \Lambda }$${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{lag}})}$${\displaystyle \ln(\Lambda _{\text{beaten}})}$${\displaystyle \ln \Lambda }$

素粒子（ガスまたは暗黒）の背景も動的摩擦を引き起こす可能性があり、これは周囲の媒体の質量密度に比例します。つまり、粒子の質量 m が低いほど、数密度 n が高くなるため、その分だけ摩擦が抑えられます。物体の質量が大きいほど、より多くの物質が後流に引き込まれます。 ${\displaystyle m~n}$

衝突ガスと衝突しない恒星の両方の重力抵抗をまとめると、 次の式が得られます。 ここで、ガスの「遅れ」率^[6]と恒星の「遅れ」率は次のように与えられます 。 ここでさらに、BH が時間 から動き始めると仮定しています。ガスは音速 で等温であり、背景の恒星は (質量) 密度 で、運動量はマクスウェル分布、速度の広がりはガウス分布(速度分散と呼ばれ、通常) です。 $${\displaystyle M_{\bullet }{d(\mathbf {V} _{\bullet }) \over M_{\bullet }dt}=-4\pi \left[{GM_{\bullet } \over |V_{\bullet }|}\right]^{2}\mathbf {\hat {V}} _{\bullet }(\rho _{\text{gas}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}+mn_{\text{*}}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*}).~~}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}(u)&=\ln ~{\left[{1+u \over \lambda }\right]^{1 \over 2}\left[{|1-u| \over \lambda }\right]^{H[u-\lambda -1]-H[1-\lambda -u] \over 2} \over \exp {[u+\lambda ,1]_{\min }^{2}-[u-\lambda ,1]_{\min }^{2} \over 4\lambda }},\\&\approx \ln \left[{{\sqrt {(u^{3}-1)^{2}+\lambda ^{3}}}+u^{3}-1 \over {\sqrt {1+\lambda ^{3}}}-1}\right]^{1 \over 3},~~u\equiv {|V_{\bullet }|t \over {\text{ς'}}t},~~\lambda \equiv ({s_{\bullet } \over {\text{ς'}}t})\\{\ln \Lambda _{\text{lag}}^{*} \over \ln \Lambda }&\equiv \int _{0}^{|mV_{\bullet }|}\!\!\!\!{(4\pi p^{2}dp)e^{-{p^{2} \over 2(m\sigma )^{2}}} \over ({\sqrt {2\pi }}m\sigma )^{3}}\left.\right|_{p=m|v|}\approx {|\mathbf {V} _{\bullet }|^{3} \over |\mathbf {V} _{\bullet }|^{3}+3.45\sigma ^{3}},\\\ln \Lambda &=\int {d\mathbf {x_{1}} ^{3}~2Heaviside[{n(\mathbf {x_{1}} ) \over n(\mathbf {x} )}-1-{M_{\bullet } \over NM_{\odot }}] \over (s_{\bullet }^{2}+|\mathbf {x_{1}} -\mathbf {x} |^{2})^{3 \over 2}}\approx \ln {\sqrt {1+\left({0.123NM_{\odot } \over M_{\bullet }}\right)^{2}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle {\text{ς}}}$${\displaystyle mn(\mathbf {x} )}$${\displaystyle p=mv}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma \leq {\text{ς}}}$

興味深いことに、この 依存性は、動的摩擦が、背景の物体との二体衝突における巨大な物体の 重力の集中によって引き起こされる、後流による重力の引力によるものであることを示唆しています。${\displaystyle G^{2}(m+M_{\bullet })(mn(\mathbf {x} ))}$

力は速度の二乗に反比例し、したがってエネルギー損失の割合は速度が速いと急速に低下することがわかります。したがって、動的摩擦は、光子などの相対的に移動する物体にとっては重要ではありません。これは、物体が媒体中を速く移動するほど、その背後に航跡が形成される時間が短くなることを理解することで合理化できます。摩擦は、音速の壁で最も高くなる傾向があります。 ${\displaystyle \ln \Lambda _{\text{lag}}^{gas}\left.\right|_{u=1}=\ln {{\text{ς'}}t \over s_{\bullet }}}$

恒星系内の星は、強い重力と弱い重力の遭遇により、互いの軌道に影響を与えます。2 つの星の遭遇は、最も接近した通過時の相互の位置エネルギーが、それらの初期の運動エネルギーと同程度またはごく小さい場合に、強い/弱いと定義されます。強い遭遇はまれであり、通常は高密度の恒星系でのみ重要と見なされます。たとえば、通過する星は、球状星団の中心にある連星によって弾き飛ばされる可能性があります。^[7]これは、2 つの星が一定の距離内に近づく必要があることを意味します 。 ここで、ビリアル定理、「相互の位置エネルギーは、平均して運動エネルギーの 2 倍のバランスをとる」、つまり、「星ごとのペアの位置エネルギーは、3 方向の音速に関連する運動エネルギーの 2 倍のバランスをとる」を使用します。 係数は、2 つの星間のハンドシェイクの数であり、重複カウントなしで、ペアの平均距離は、均一球の半径の約 40\% にすぎません。また、$${\displaystyle s_{*}={GM_{\odot }+GM_{\odot } \over V^{2}/2}={2 \over 1.5}{GM_{\odot } \over {\text{ς}}^{2}}={3.29R \over N-1},}$$$${\displaystyle 1\sim Q^{\text{virial}}\equiv {\overbrace {2K} ^{(NM_{\odot })V^{2}} \over |W|}={NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2}+NM_{\odot }{\text{ς}}^{2} \over {N(N-1) \over 2}{GM_{\odot }^{2} \over R_{pair}}},}$$${\displaystyle N(N-1)/2}$${\displaystyle R_{\text{pair}}={\pi ^{2} \over 24}R\approx 0.411234R}$${\displaystyle Q^{\text{virial}}\leftarrow \rightarrow {\sqrt {\ln \Lambda }}.}$

典型的な恒星系 における強い遭遇の平均自由行程は、 すなわち、典型的な恒星が横断面内に入り、その進路から完全に逸らされるには、約半径の横断回数が必要である。したがって、強い遭遇の平均自由時間は横断時間よりもはるかに長くなる。 ${\displaystyle (N-1)=4.19nR^{3}\gg 100}$$${\displaystyle l_{\text{strong}}={1 \over (\pi s_{*}^{2})n}\approx {(N-1) \over 8.117}R\gg R,}$$${\displaystyle 0.123N}$${\displaystyle \pi s_{*}^{2}}$${\displaystyle R/V}$

弱い遭遇は、多くの通過過程における恒星系の進化に、より重大な影響を及ぼします。重力遭遇の影響は、緩和時間の概念で研究できます。緩和を示す簡単な例としては、2 体緩和があります。これは、恒星の軌道が別の恒星との重力相互作用によって変化する現象です。

最初に、対象の星は、衝突パラメータ（重力場が元の軌道に影響を与えるフィールド星への最接近距離）に垂直な軌道に沿って初期速度 で移動します。ニュートンの法則を使用すると、対象の星の速度の変化 は、衝突パラメータでの加速度に加速の持続時間を乗じたものとほぼ等しくなります。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$

緩和時間は、が に等しくなるのにかかる時間、または速度の小さな偏差が星の初期速度に等しくなるのにかかる時間と考えることができます。 星系内の平均的な星が緩和するのに必要な「半直径」の交差数は、 上記の強い偏向の平均自由時間の推定値よりも厳密な計算からおよそ求められます 。 ${\displaystyle \delta \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\backsimeq {\frac {0.123(N-1)}{\ln(N-1)}}\gg 1}$$

答えは理にかなっています。単一体または 2 体系では緩和がないからです。時間スケールの比のより良い近似値は であるため、3 体、4 体、5 体、7 体、10 体、...、42 体、72 体、140 体、210 体、550 体の緩和時間は、約 16、8、6、4、3、...、3、4、6、8、16 回の交差になります。孤立した連星では緩和はなく、緩和は 16 体系で最も速く、軌道が互いに散乱するには約 2.5 回の交差が必要です。 の系はポテンシャルがはるかに滑らかで、通常、弱い遭遇で強い偏向を形成して軌道エネルギーを大幅に変更する 必要があります。${\displaystyle \left.{\frac {N'}{\ln {\sqrt {1+N'^{2}}}}}\right|_{N'=0.123(N-2)}}$${\displaystyle N\sim 10^{2}-10^{10}}$${\displaystyle \sim \ln N'\approx (2-20)}$

明らかに、ブラックホールの動的摩擦は緩和時間よりも約1倍速いが、ブラックホールのクラスターではこの2つは非常に似ている。 ${\displaystyle M_{\odot }/M_{\bullet }}$$${\displaystyle N^{\text{fric}}={t_{\text{fric}} \over t_{\text{ς}}}\rightarrow {t_{\text{relax}} \over t_{\text{ς}}}=N^{\text{relax}}\sim {(N-1) \over 10-100},~{\text{when}}~{M_{\bullet }\rightarrow m\leftarrow M_{\odot }}.}$$

たとえば、 を持つ星団または銀河団の場合、 となります。したがって、これらの星団または銀河団のメンバーの遭遇は、典型的な 10 Gyr の寿命の間に重要です。 ${\displaystyle N=10^{3},~R=\mathrm {1pc-10^{5}pc} ,~V=\mathrm {1km/s-10^{3}km/s} }$${\displaystyle t_{\text{relax}}\sim 100t_{\text{ς}}\approx 100\mathrm {Myr} -10\mathrm {Gyr} }$

一方、例えば恒星を含む典型的な銀河は、交差時間があり、その緩和時間は宇宙の年齢よりもはるかに長い。これは、典型的な銀河の生涯を通じて2体衝突を無視して、数学的に滑らかな関数で銀河のポテンシャルをモデル化することを正当化する。そして、そのような典型的な銀河の内部では、100億年のハッブル時間にわたる恒星ブラックホールの動的摩擦と集積は、ブラックホールの速度と質量をわずかな割合でしか変化させない。 ${\displaystyle N=10^{6}-10^{11}}$${\displaystyle t_{\text{ς}}\sim {1\mathrm {kpc} -100\mathrm {kpc} \over 1\mathrm {km/s} -100\mathrm {km/s} }\sim 100\mathrm {Myr} }$$${\displaystyle \Delta \sim {M_{\bullet } \over 0.1NM_{\odot }}{t \over t_{\text{ς}}}\leq {M_{\bullet } \over 0.1\%NM_{\odot }}}$$

ブラックホールが銀河全体の質量の 0.1% 未満を占める場合。特に の場合、典型的な星は遭遇を経験することがなく、したがって滑らかな銀河のポテンシャル内の軌道上にとどまることがわかります。 ${\displaystyle NM_{\odot }\sim 10^{6-11}M_{\odot }}$${\displaystyle M_{\bullet }\sim M_{\odot }}$

動的摩擦または緩和時間は、衝突のない粒子システムと衝突のある粒子システムを識別します。緩和時間よりもはるかに短い時間スケールでのダイナミクスは、典型的な星が初期の軌道サイズからわずかな割合で逸脱するため、実質的に衝突がありません。これらは、対象の星が点質量ポテンシャルの合計ではなく滑らかな重力ポテンシャルと相互作用するシステムとしても識別されます。銀河内の2体緩和の累積効果は、質量分離と呼ばれる状態につながる可能性があり、より質量の大きい星はクラスターの中心近くに集まり、より質量の小さい星はクラスターの外側に向かって押し出されます。 ${\displaystyle t/t_{\text{relax}}\ll 1}$

重力システムにおける粒子のかなり複雑な相互作用の詳細を学んだ後、手頃な厳密さでズームアウトして一般的なテーマを抽出することは常に役立つので、負荷を軽くして進めてください。

最初の重要な概念は、摂動体の近くと背景全体に対する「重力バランス運動」であり、明確に するために1 やなどのすべての係数を 一貫して省略し、結合した質量を近似し、システムのジオメトリが薄い/厚いガス/恒星のディスクであるか、境界の有無にかかわらず (不) 均一な恒星/暗黒球であるかを曖昧にし、摩擦時間スケールの大きさの順序の背後にあるロジックを強調するために、局所的な円回転速度、半径方向の落下速度、1 つまたは 3 つの方向でのグローバルに等方性または異方性のランダム運動、または (不) 均一な等方性の音速からの運動エネルギー間の微妙な違いについてです。 $${\displaystyle {\text{Perturber Virial}}\approx {GM_{\bullet } \over s_{\bullet }}\approx V_{\text{cir}}^{2}\approx \langle V\rangle ^{2}\approx {\overline {\langle V^{2}\rangle }}\approx \sigma ^{2}\approx \left({R \over t_{\text{ς}}}\right)^{2}\approx c_{\text{ς}}^{2}\approx {G(Nm) \over R}\approx {\text{Background Virial}},}$$${\displaystyle 4\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \ln {\text{Λ}}}$${\displaystyle M_{\bullet }+m\approx M_{\bullet }}$${\displaystyle V_{\text{cir}}}$${\displaystyle \langle V\rangle }$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{\text{ς}}}$

次に、衝突型および非衝突型のガス/星または暗黒物質のこれまでのさまざまなプロセスを、システムの任意 の一般的な量 Q に関する球形の牛型の連続方程式で非常に大まかに要約することができます。 ここで、符号は (集積) 質量 M を除いて一般に負であり、平均自由行程または摩擦時間は、物理的な衝突断面積からの直接的な分子粘性、または粒子の重力散乱 (曲げ/集束/スリングショット)による可能性があります。一般に、影響を受ける領域は、ボンダイ集積、潮汐破壊、およびロスコーン捕獲 の競合プロセスの中で最大です。$${\displaystyle {dQ \over dt}\approx {\pm Q \over ({l \over c_{\text{ς}}})},~{\text{Q being mass M, energy E, momentum (M V), Phase density f, size R, density}}{Nm \over {4\pi \over 3}R^{3}}...,}$$${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle l=c_{\text{ς}}t_{\text{fric}}}$${\displaystyle t_{\text{fric}}}$$${\displaystyle s^{2}\approx \max \left[{\text{Bondi radius}}~s_{\bullet },{\text{Tidal radius}}~s_{\text{Hill}},{\text{physical size}}~s_{\text{Loss cone}}\right]^{2}.}$$

例えば、Q が摂動体の質量である場合、 運動-バランス-重力の関係を適用した (ガス/星) 降着率を介して 動的摩擦時間を推定できます。${\displaystyle Q=M_{\bullet }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {M}}_{\bullet }=&{M_{\bullet } \over t_{\text{fric}}}\approx \int _{0}^{s^{2}}d({\text{area}})~({\text{background mean flux}})\approx s^{2}(\rho c_{\text{ς}})\\\approx &{\frac {{\text{Perturber influenced cross section}}~(s^{2})}{{\text{background system cross section}}~(R^{2})}}\times {\frac {{\text{background mass}}~(Nm)}{{\text{crossing time}}~t_{\text{ς}}\approx {R \over c_{\text{ς}}}\approx {1 \over {\sqrt {G(Nm) \over R^{3}}}\sim {\sqrt {G\rho }}\sim \kappa }}}\\\approx &{GM_{\bullet } \over Gt_{\text{ς}}}{GM_{\bullet } \over G(Nm)}\approx (\rho c_{\text{ς}})\left({GM_{\bullet } \over c_{\text{ς}}^{2}}\right)^{2},~~{\text{if consider only gravitationally focusing,}}\\\approx &{M_{\bullet } \over Nt_{\text{ς}}},~~{\text{if for a light perturber}}M_{\bullet }\rightarrow m=M_{\odot }\\\rightarrow &0,~~{\text{if practically collisionless}}~~N\rightarrow \infty ,\end{aligned}}}$$

極限では、摂動者は N 個の背景粒子のうちの 1 つに過ぎず、この摩擦時間は (重力による)緩和時間と同一視されます。この場合も、これらの定性的な方程式からの推定値を変更することなく、クーロン対数などはすべて抑制されます。 ${\displaystyle M_{\bullet }\rightarrow m}$

恒星のダイナミクスの残りの部分については、重力摩擦と摂動因子の緩和を無視し、14Gyrsハッブル時間スケールのほとんどの銀河で真と近似される限界内で作業することで、主に実例を通して正確な計算に一貫して取り組みます。ただし、一部の星団や銀河団ではこれが破れることがあります。^[7]${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

ここでは、恒星の力学と降着円盤の物理学におけるいくつかの主要な方程式の簡潔な 1 ページの要約を示します。ここでは、上記の定性的な方程式をより厳密に解釈しようとしています。

恒星の力学の統計的性質は、20 世紀初頭にジェームズ ジーンズなどの物理学者がガスの運動論を恒星系に適用したことに由来します。重力場における恒星系の時間発展を記述するジーンズ方程式 は、理想流体に対するオイラーの方程式に類似しており、衝突のないボルツマン方程式から導き出されました。この方程式はもともと、ルートヴィヒ ボルツマンが熱力学系の非平衡挙動を記述するために開発しました。統計力学と同様に、恒星の力学では、恒星系の情報を確率的にカプセル化する分布関数を使用します。単一粒子の位相空間分布関数 は、次のように定義されます。 ここで、 は、位置が微分体積 で速度が微分速度空間体積 である特定の恒星が見つかる確率を表します。分布関数は、すべての位置と速度にわたって積分すると、システムの物体の総数である N に等しくなるように正規化されることがあります。衝突システムの場合、リウヴィルの定理は恒星系のミクロ状態を研究するために適用され、統計力学のさまざまな統計集団を研究するためにもよく使用されます。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)}$$${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {x} \,d\mathbf {v} =dN}$$${\displaystyle dN/N}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle d\mathbf {x} }$${\displaystyle {\text{v}}}$${\displaystyle d\mathbf {v} }$

恒星の力学に関する文献のほとんどでは、粒子の質量は太陽の質量単位で1であり、したがって粒子の運動量と速度は同一であるという慣例を採用するのが便利である。すなわち、 ${\displaystyle M_{\odot }}$$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} =\mathbf {v} ,~m=1,~N_{\text{total}}=M_{\text{total}},}$$

$${\displaystyle {dM \over dx^{3}dv^{3}}=f(\mathbf {x} ,\mathbf {v} ,t)=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\equiv {dN \over dx^{3}dp^{3}}}$$

例えば、一定温度の室内における空気分子（通常、分子あたりの陽子質量の15倍）の熱速度分布は、マクスウェル分布に従う。${\displaystyle T_{0}\sim \mathrm {300K} }$ $${\displaystyle f^{\text{Max}}(x,y,z,mV_{x},mV_{y},mV_{z})={1 \over (2\pi \hbar )^{3}}{1 \over \exp \left({E(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})-\mu \over kT_{0}}\right)+1}}$$ $${\displaystyle f^{\text{Max}}\sim {1 \over (2\pi \hbar /m)^{3}}e^{\mu \over kT_{0}}e^{-E \over m\sigma _{1}^{2}},}$$

ここで単位質量あたりのエネルギーは$${\displaystyle E/m=\Phi (x,y,z)+(V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2})/2,}$$${\displaystyle \Phi (x,y,z)\equiv g_{0}z=0}$

は速度マクスウェル分布の幅であり、各方向および部屋のどこでも同じであり、正規化定数（フェルミ-ディラック分布がマクスウェル速度分布に縮小されるような化学ポテンシャルを想定）は床面の一定のガス数密度によって固定され、ここで ${\textstyle \sigma _{1}={\sqrt {kT_{0}/m}}\sim \mathrm {0.3km/s} }$${\displaystyle e^{\mu \over kT_{0}}}$${\textstyle \mu \sim (m\sigma _{1}^{2})\ln \left[n_{0}\left({{\sqrt {2\pi }}\hbar \over m\sigma _{1}}\right)^{3}\right]\ll 0}$${\displaystyle n_{0}=n(x,y,0)}$$${\displaystyle n(x,y,0)=\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{x}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{y}\!\!\int _{-\infty }^{\infty }mdV_{z}f(x,y,0,mV_{x},mV_{y},mV_{z})}$$ $${\displaystyle n\approx {(2\pi )^{3/2}(m\sigma _{1})^{3} \over (2\pi \hbar )^{3}}e^{\mu \over m\sigma _{1}^{2}}.}$$

プラズマ物理学では、衝突のないボルツマン方程式はブラソフ方程式と呼ばれ、プラズマの分布関数の時間発展を研究するために使用されます。

ボルツマン方程式は、より一般的にはリウヴィル演算子 を使用し てと表記されることが多く、 は 重力、はマクスウェル（等分配）分布（ と同じ密度、同じ平均、および rms 速度に適合するため）です。 この方程式は、非ガウス性が の（緩和）時間スケールで減衰し、システムが最終的にマクスウェル（等分配）分布に緩和することを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )={f_{\text{fit}}^{\text{Max}}-f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} ) \over t_{\text{relax}}},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {\dot {p}} =-m\nabla \Phi }$${\displaystyle f_{\text{fit}}^{\text{Max}}}$${\displaystyle f(t,\mathbf {x} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle t_{\text{relax}}}$

ジーンズは衝突のないボルツマン方程式をポアソン方程式とともに、長距離重力を介して相互作用する恒星系に適用したが、アナトリー・ヴラソフはボルツマン方程式をマクスウェル方程式とともに、クーロン力を介して相互作用する粒子系に適用した。^[8]どちらのアプローチも、長距離力を導入して多粒子系の長期的進化を研究することで、気体の運動論から切り離されている。ヴラソフ方程式に加えて、プラズマにおけるランダウ減衰の概念はドナルド・リンデン・ベルによって重力系に適用され、球状恒星系における減衰の影響を説明した。^[9]

f(t,x,v) の優れた特性は、そのモーメントによって他の多くの動的量、たとえば総質量、局所密度、圧力、平均速度を形成できることです。衝突のないボルツマン方程式を適用すると、これらのモーメントはさまざまな形式の連続方程式によって関連付けられます。その中で最も有名なのは、ジーンズ方程式とビリアル定理です。

ジーンズは、速度空間で積分した後、ボルツマン方程式の加重速度を計算し、集合（ガス、星、暗黒物質など） の運動量（ジーンズ）方程式を得ました。$${\displaystyle {1 \over \rho _{p}}\int \!\left\{\mathbf {v} _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}-\langle {\mathbf {v} }\rangle _{p}{d[f_{p}m_{p}] \over dt}\right\}d^{3}\mathbf {v} =0,}$$${\displaystyle ^{p}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\left({\partial \over \partial t}+\sum _{j=1}^{3}\langle {v_{j}^{p}}\rangle {\partial \over \partial x_{j}}\right)\langle {v_{i}^{p}}\rangle } ^{{\dot {\langle {v}\rangle }}_{i}^{p}}&\underbrace {=} _{EoM}\overbrace {-\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}} ^{g_{i}\sim O(-GM/R^{2})}~~\underbrace {-} _{\text{balance}}^{\text{pressure}}~~\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \rho ^{p}\partial x_{j}}\overbrace {[\underbrace {\rho ^{p}(t,\mathbf {x} )} _{\int _{\infty }\!\!\!\!m_{p}f_{p}d^{3}\mathbf {v} }\underbrace {\sigma _{ji}^{p}(t,\mathbf {x} )} _{O(c_{s}^{2})}]} ^{\int \limits _{\infty }\!\!d\mathbf {v} ^{3}(\mathbf {v} _{j}-\langle {v}\rangle _{j}^{p})(\mathbf {v} _{i}-\langle {v}\rangle _{i}^{p})m_{p}f_{p}}-{\underbrace {\langle {v_{i}^{p}}\rangle \overbrace {[{\dot {m}}_{p}/m_{p}]} ^{1/t|_{{\text{visc}}~m_{p}=M_{\text{gas}}}^{\text{fric}}}} _{\text{snow.plough}}},\\0&=-{\partial \Phi (t,\mathbf {x} ) \over \partial x_{i}}-{\partial (n\sigma ^{2}) \over n\partial x_{i}},~~{\text{hydrostatic isotropic velocity, no flow and friction }}.\end{aligned}}}$$