補完格子

数学の秩序理論において、補格子は境界付き格子（最小元が0、最大元が1）であり、その格子内のすべての元aには補元、つまりa ∨ b = 1 かつa ∧ b = 0を満たす元b が存在する。補元は一意である必要はない。

相対的に補完的な格子とは、すべての区間[ c , d ] をそれ自体で境界のある格子として見たときに補完的な格子となるような格子です。

補格子上の直交補集合は、順序が逆転し、各要素を補集合にマッピングする反転です。モジュラー法則の弱形式を満たす直交補集合は、直交モジュラー格子と呼ばれます。

有界分配格子では、補集合は一意です。すべての補集合は一意の直交補集合を持ち、実際はブール代数です。

定義と基本特性

補格子は有界格子（最小元が0、最大元が1）であり、すべての元aには補元、つまり元bがあり、

a ∨ b = 1 かつ a ∧ b = 0 です。

一般的に、要素は複数の補集合を持つことができる。しかし、（有界）分配格子では、各要素は最大で1つの補集合を持つ。^[1]各要素が正確に1つの補集合を持つ格子は、一意に補集合を持つ格子と呼ばれる^[2]。

すべての区間（部分格子として見た場合）が補完的であるという性質を持つ格子は、相対補完格子と呼ばれる。言い換えれば、相対補完格子は、区間[ c , d ]のすべての要素aに対して、要素bが存在し、

a ∨ b = d かつ a ∧ b = cです。

このような要素b は、区間に対する aの補数と呼ばれます。

分配的格子が補完的であるためには、それが有界かつ相対的に補完的である必要があります。^[3]^[4]ベクトル空間の部分空間の格子は、一般に分配的ではない補完的格子の例を提供します。

有界格子上の直交補集合は、各元aを「直交補集合」^a⊥に写像する関数であり、以下の公理が満たされる。^[5]

直交補完格子または直交格子は、直交補完を備えた有界格子である。内積空間の部分空間の格子と直交補完演算は、一般に分配的ではない直交補完格子の例である。^[6]

ブール代数は、直交補完格子の特殊なケースであり、補完格子は補完格子の特殊なケース（追加の構造を持つ）です。直交格子は、分離可能なヒルベルト空間の閉じた部分空間が量子命題を表し、直交補完格子として動作する量子論理で最もよく使用されます。

ブール代数と同様に、直交補完格子はド・モルガンの法則を満たす。

格子がモジュラーであると言われるのは、すべての要素 a、b、cに対して、

a ≤ cならば、a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ cである。

が成り立ちます。これは分配性よりも弱いです。例えば、上に示した格子M _{3 は}モジュラーですが、分配性ではありません。

量子論理への応用に必要な、この直交補完格子の条件をさらに弱める自然な方法は、b = a ^⊥の特別な場合のみにそれを要求することである。したがって、直交補完格子は、任意の2つの要素に対して、次の含意が成り立つように定義される。

a ≤ cならば、a ∨ ( a ^⊥ ∧ c ) = c である。

保持します。

この形式の格子は、量子力学のヒルベルト空間定式化の公理化の一部であるため、量子論理の研究にとって極めて重要である。ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンは、量子論理における命題計算は「集合積、線型和、直交補集合に関する[ヒルベルト空間の]線型部分空間の計算と形式的に区別がつかない」と指摘した。これはブール格子におけると、またはとではないの役割に対応する。この発言は、オルトモジュラー格子を形成するヒルベルト空間の閉部分空間への関心を刺激した。^[7]

^ Grätzer (1971)、補題 I.6.1、p. 47。Rutherford (1965)、定理 9.3、p. 25。
^ スターン、マンフレッド（1999）、セミモジュラー格子：理論と応用、数学とその応用百科事典、ケンブリッジ大学出版局、p. 29、ISBN 9780521461054。
^ Grätzer (1971)、Lemma I.6.2、p. 48。この結果はモジュラー格子に対してより一般的に成り立ちます。演習4、p. 50を参照してください。
^ バーコフ (1961)、系 IX.1、p. 134
^ スターン（1999）、11ページ。
^ 非弁護的な数学者：直交補集合と部分空間の格子。
^ Ranganathan Padmanabhan、Sergiu Rudeanu (2008)。格子とブール代数の公理。World Scientific。p. 128。ISBN 978-981-283-454-6。