フォン・ノイマンの双可換定理

H内の任意のxとyに対して、定義により、写像T → < Tx , y > は弱作用素位相において連続である。したがって、任意の固定作用素Oに対して、写像も連続である。

${\displaystyle T\to \langle (OT-TO)x,y\rangle =\langle Tx,O^{*}y\rangle -\langle TOx,y\rangle }$

L ( H )の任意の部分集合をSとし、S ′ をその可換集合とする。S ′内の任意の演算子Tに対して、この関数はS内のすべてのOに対してゼロとなる。S′ に含まれない任意の T に対しては、 S内の何らかのOとH内の何らかのxおよびyに対して、この関数はゼロでない。連続性により、弱い演算子位相において、この関数がゼロでないTの開近傍が存在し、したがってこの近傍もS ′ には含まれない。したがって、任意の可換集合S ′ は弱い演算子位相において閉集合となる。特に、M ′′も閉集合となる。M′′ はMを含むので、その弱い演算子閉包も含む。

これは、弱演算子トポロジーが強演算子トポロジーよりも粗いことから直接導かれる。cl S ( M ) のすべての点 x に対して、弱演算子トポロジーにおける_xのすべての開近傍は強演算子トポロジーでも開近傍であり、したがってMの要素を含む。したがって、xはcl _W ( M )の要素でもある。

X ∈ M ′′を固定します。X ∈ cl S ₍ M )であることを示す必要があります。つまり、各h ∈ Hおよび任意のε > 0に対して、 || Xh − Th || < εとなるTがMに存在することを示します。

H内のhを固定します。巡回部分空間M h = { Mh : M ∈ M } は、M内の任意のTの作用に対して不変です。Hのノルムにおけるその閉包cl( M h )は閉じた線形部分空間であり、対応する直交射影P : H → cl( M h )はL ( H )に存在します。実際、このPはM ′に含まれており、以下で示します。  

補題。P ∈ M ′。

証明。x ∈ Hを固定する。Px ∈ cl ( M h )なので、これはO _{n が}Mに含まれる数列O _n hの極限である。任意のT ∈ Mに対して、TO _n hもM hに含まれるので、 Tの連続性により、この数列はTPxに収束する。したがって、TPx ∈ cl( M h )であり、したがってPTPx = TPxである。x は任意であったので、すべてのT ∈ Mに対してPTP = TPとなる。

Mは随伴演算に関して閉じており、Pは自己随伴であるため、任意のx , y ∈ Hに対して、

${\displaystyle \langle x,TPy\rangle =\langle x,PTPy\rangle =\langle (PTP)^{*}x,y\rangle =\langle PT^{*}Px,y\rangle =\langle T^{*}Px,y\rangle =\langle Px,Ty\rangle =\langle x,PTy\rangle }$

したがって、すべてのT ∈ Mに対してTP = PT となり、P はM ′に含まれることを意味します。

双可換性の定義により、XP = PXでなければなりません。Mは単位元を持つので、h ∈ M hであり、h = Phです。したがって、Xh = XPh = PXh ∈ cl( M h )となります。したがって、各ε > 0に対して、 || Xh − Th || < εとなるT がMに存在し、つまりX はMの強演算子閉包に含まれます。

Hに作用するAC*-代数M は、 Hのhに対して、M h = {0}ならばh = 0となる場合、非退化的に作用すると言われる。この場合、 Mの近似恒等式を用いて、恒等作用素IがMの強閉包に含まれることを示すことができる。したがって、双可換定理の結論はMに対して成り立つ。