対角行列

線形代数において、対角行列とは、主対角線以外の要素がすべてゼロである行列のことです。この用語は通常、正方行列を指します。主対角線の要素はゼロまたは非ゼロのいずれかです。2×2の対角行列の例は次のとおりです。${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$3×3対角行列の例は${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$任意のサイズの単位行列、またはその倍数の単位行列は、スカラー行列と呼ばれる対角行列です。たとえば、${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$幾何学においては、対角行列はスケーリング行列として使用できます。なぜなら、対角行列を用いた行列乗算によってスケール（サイズ）が変化し、場合によっては形状も変化するからです。スケールが均一に変化するのはスカラー行列のみです。

上記のように、対角行列とは、すべての非対角要素がゼロである行列のことです。つまり、n列n行の行列D = ( d _{i , j} )は、次の条件を満たす場合に対角行列となります。 $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

ただし、主対角線上のエントリには制限はありません。

対角行列という用語は、長方形対角行列とは、すべての要素がd _iの形式ではないm×nであり_、iはゼロである。例: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{または}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

しかし、多くの場合、対角行列は正方行列を指し、これは明示的に指定できます。正方対角行列。正方対角行列は対称行列なので、これは対称対角行列。

以下の行列は正方対角行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

要素が実数または複素数である場合も、それは通常の行列です。

この記事の残りの部分では、正方対角行列のみを扱い、それらを単に「対角行列」と呼ぶことにします。

対角行列D はベクトルから構築できます${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$使用${\displaystyle \operatorname {diag} }$オペレーター： $${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})。}$$

これはより簡潔に次のように書くことができます。${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (\mathbf {a} )}$。

同じ演算子はブロック対角行列を表すためにも使用されます。${\displaystyle \mathbf {A} =\演算子名 {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{n})}$ここで、各引数A _iは行列である。

diag演算子は次のように記述できます 。$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} ,}$$ どこ${\displaystyle \circ }$はアダマール積を表し、1は要素が1である定数ベクトルです。

逆行列からベクトルへのdiag演算子は、同じ名前で表記されることもあります。${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$ここで、引数は行列であり、結果はその対角成分のベクトルである。

以下の性質が成り立つ。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} 。}$$

対角成分がすべて等しい対角行列はスカラー行列です。つまり、単位行列Iのスカラー倍λです。ベクトルに対する効果は、 λによるスカラー乗算です。例えば、3×3 のスカラー行列は次の形式になります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

スカラー行列は行列代数の中心です。つまり、同じサイズの他のすべての正方行列と可換な行列です。[ ^{a ]対照}的に、体（実数など）上では、すべての対角要素が異なる対角行列は対角行列とのみ可換です（その中心化は対角行列の集合です）。これは、対角行列が${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$もっている${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$行列Mが与えられた場合${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$積の（i 、 j ）項は次のとおりです。${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$そして${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$そして${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$（ m _ijで割ることができるため）、非対角項がゼロでない限り、それらは可換ではありません。^{[ b ]}対角成分がすべて等しくなく、すべて異なっていない対角行列は、空間全体と対角行列のみの間に中心化子を持ちます。^{[ 1 ]}

抽象ベクトル空間V (具体的なベクトル空間K ⁿではなく) の場合、スカラー行列のアナログはスカラー変換です。これは、より一般的には環R上の加群Mに対しても成り立ち、行列の代数が自己準同型代数End( M ) ( M上の線形作用素の代数) に置き換えられます。形式的には、スカラー乗算は線形写像であり、写像を誘導します。${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$（スカラーλから対応するスカラー変換、λによる乗算） End( M )をR代数として示す。ベクトル空間の場合、スカラー変換は自己準同型代数の中心であり、同様に、スカラー可逆変換は一般線形群GL(V)の中心である。前者はより一般的に真の自由加群である。${\displaystyle M\cong R^{n},}$自己準同型代数が行列代数と同型である場合。

ベクトルを対角行列で乗算すると、各項が対応する対角成分で乗算されます。対角行列が与えられた場合${\displaystyle \mathbf {D} =\演算子名 {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$そしてベクトル${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$製品は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは対角行列の代わりにベクトルを使用することでより簡潔に表現できます。${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$、ベクトルのアダマール積（要素ごとの積）をとると、${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$:

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは数学的には同等ですが、この疎行列のすべてのゼロ項を保存することを回避します。したがって、この積は機械学習で使用され、バックプロパゲーションでの導関数の積の計算やTF-IDFでのIDF重みの乗算などです^{[ 2 ]。}これは、行列を効率的に乗算する一部のBLASフレームワークが、アダマール積機能を直接含んでいないためです^{[ 3 ] 。}

行列の加算と乗算の演算は、対角行列の場合特に簡単です。左上隅から始まる対角成分がa ₁ , ..., a n である対角行列を diag( a 1 , ..., a _n )と_書きます。_すると、加算については次のようになります。

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

行列乗算の場合、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

対角行列diag( a ₁ , ..., a _n )は、要素a ₁ , ..., a _nがすべて非ゼロである場合に限り可逆 です。この場合、次のようになります。

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

特に、対角行列は、すべてのn × n行列からなる環の部分環を形成する。

n行n行列A を左からdiag( a ₁ , ..., a _n )で乗算することは、すべてのiについてAのi番目の行をa _iで乗算することに相当します。行列Aを右からdiag( a ₁ , ..., a _n )で乗算することは、すべてのiについてAのi番目の列をa _iで乗算することに相当します。

演算子行列の係数の決定で説明したように、行列Aが対角形式をとる特別な基底e ₁ , ..., e _{nが存在します。したがって、定義式では}${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$、 i ≠ jの係数a _{i, j}はすべてゼロとなり、和ごとに 1 つの項だけが残ります。残った対角要素a _{i, j}は固有値と呼ばれ、式ではλ _iで表され、式は次のように簡略化されます。${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$結果として得られる方程式は固有値方程式^{[ 4 ]}として知られており、特性多項式、さらに固有値と固有ベクトルを導出するために使用されます。

言い換えれば、diag( λ ₁ , ..., λ _n )の固有値はλ ₁ , ..., λ _nであり、それに対応する固有ベクトルはe ₁ , ..., e _nです。

• diag( a ₁ , ..., a _n )の行列式は、a ₁ ⋯ a _nの積です。
• 対角行列の随伴行列は、再び対角行列となる。
• すべての行列が正方行列である場合、
  • 行列が対角行列であるのは、それが三角行列かつ正規行列である場合に限る。
  • 行列が対角行列であるのは、それが上三角行列かつ下三角行列である場合に限る。
  • 対角行列は対称行列である。
• 単位行列I _nと零行列は対角行列である。
• 1×1行列は常に対角行列である。
• トレースがゼロの2×2行列の二乗は常に対角行列となる。
• 対角行列の逆行列は、対角要素の逆数を取ることによって得られます。

対角行列は線形代数の多くの分野で現れます。上記で説明したように、行列演算と固有値／固有ベクトルは簡単に記述できるため、与えられた行列や線形写像を対角行列で表現するのが一般的に望ましいとされています。

実際、与えられたn × n行列A が対角行列に類似している（つまり、X ⁻¹ AXが対角行列となるような行列Xが存在する）のは、A がn個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合に限る。このような行列は対角化可能であると言われる。

実数体または複素数体においては、さらに次のことが成り立ちます。スペクトル定理によれば、すべての正規行列は対角行列とユニタリ相似です（ AA ^∗ = A ^∗ Aの場合、 UAU ^∗が対角行列となるようなユニタリ行列Uが存在します）。さらに、特異値分解によれば、任意の行列Aに対して、U ^∗ AV が正の要素を持つ対角行列となるようなユニタリ行列UとVが存在します。

作用素論、特に偏微分方程式の研究においては、作用素が作業対象の基底に関して対角化されている場合、作用素は特に理解しやすく、偏微分方程式も解きやすくなります。これは、変数分離可能な偏微分方程式に対応します。したがって、作用素を理解するための重要な手法は、座標変換（作用素の言葉で言えば積分変換）であり、これは基底を固有関数の固有基底に変換し、方程式を変数分離可能にします。この重要な例としてフーリエ変換があり、これは定数係数微分作用素（またはより一般的には並進不変作用素）を対角化します。例えば、熱方程式におけるラプラシアン作用素などがこれに該当します。

特に簡単なのは乗算演算子で、これは固定関数（の値）による乗算として定義されます。各点における関数の値は、行列の対角成分に対応します。

• ホーン、ロジャー・アラン；ジョンソン、チャールズ・ロイヤル（1985）、『行列解析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6