一般的なトポロジー

数学において、一般位相（または点集合位相）は、位相幾何学で用いられる基本的な集合論的定義と構成を扱う分野である。これは、微分位相、幾何位相、代数位相など、他のほとんどの位相幾何学分野の基礎となっている。

点集合トポロジーにおける基本的な概念は、連続性、コンパクト性、連結性である。

連続関数は、直感的に言えば、近くの点を近くの点に写像する。
コンパクト集合とは、有限個の任意の小さなサイズの集合で覆い隠すことができる集合のことである。
連結集合とは、互いに遠く離れた2つの部分に分割できない集合のことである。

「近い」「任意に小さい」「遠く離れている」といった用語は、開集合の概念を用いることで厳密に定義できます。開集合の定義を変えると、連続関数、コンパクト集合、連結集合の意味も変わります。開集合の定義の選択肢はそれぞれ位相と呼ばれます。位相を持つ集合は位相空間と呼ばれます。

距離空間は、位相空間の重要なクラスであり、その空間内の点のペアに対して、実数で非負の距離（距離とも呼ばれる）を定義できる。距離が存在することで多くの証明が簡略化され、最も一般的な位相空間の多くは距離空間である。

歴史

一般トポロジーは、いくつかの分野から発展してきたが、最も重要なのは以下の分野である。

実数直線の部分集合の詳細な研究（かつては点集合の位相幾何学として知られていたが、この用法は現在では廃れている）
多様体概念の導入
関数解析の初期における、距離空間、特にノルム線形空間の研究。

一般位相幾何学は1940年頃に現在の形になった。それは、連続性の直観におけるほぼすべての事柄を、数学のあらゆる分野に応用できる技術的に適切な形で捉えていると言えるだろう。

集合上の位相

X を集合とし、τを Xの部分集合の族とする。このとき、τは、次の条件を満たす場合にX 上の位相と呼ばれる。 ^[¹^]^[²^]

空集合とXはどちらもτの要素である
τの要素の任意の和集合はτの要素である
τの有限個の要素の共通部分はτの要素である

τがX上の位相である場合、ペア ( X , τ ) は位相空間と呼ばれます。特定の位相τを備えた集合Xを表すために、 X _{τ という}表記が使用されることがあります。

τの要素はXにおける開集合と呼ばれる。X の部分集合は、その補集合が τ に含まれる場合（すなわち、その補集合が開集合である場合）、閉集合と呼ばれる。X の部分集合は、開集合、閉集合、両方（閉開集合）、またはどちらでもない場合がある。空集合とX自体は常に閉集合かつ開集合である。

トポロジーの基礎

位相空間Xの位相Tの基底(または基底) Bは、 Tの開集合の集合であり、 Tのすべての開集合はBの要素の和集合として表すことができる。^[³^]^[⁴^]基底が位相Tを生成すると言う。基底は、位相の多くの性質がその位相を生成する基底に関する記述に還元できること、そして多くの位相がそれらを生成する基底によって最も簡単に定義できることから有用である。

部分空間と商空間

位相空間の任意の部分集合には、その部分空間の開集合が、より大きな空間の開集合と部分集合の交わりとなるような部分空間位相を与えることができる。任意の添え字付き位相空間族に対して、積には積位相を与えることができ、これは射影写像による因子の開集合の逆像によって生成される。例えば、有限積の場合、積位相の基底はすべての開集合の積からなる。無限積の場合、基本開集合において、その射影のうち有限個を除くすべてが空間全体となるという追加条件がある。

商空間は次のように定義されます。Xが位相空間でY が集合であり、f : X → Yが全射関数である場合、Y上の商位相は、 fによる逆像が開であるYの部分集合の集合です。言い換えれば、商位相は、fが連続であるY上の最も細かい位相です。商位相の一般的な例は、位相空間X上に同値関係が定義されている場合です。この場合、写像fは同値類の集合への自然な射影となります。

位相空間の例

与えられた集合には、様々な位相が存在する可能性がある。集合に異なる位相が与えられると、それは別の位相空間とみなされる。

離散的かつ自明なトポロジー

任意の集合には、すべての部分集合が開集合となる離散位相を与えることができます。この位相において収束する数列またはネットは、最終的に定数となるものだけです。また、任意の集合には、空集合と空間全体のみが開集合となる自明位相（非離散位相とも呼ばれる）を与えることができます。この位相において、すべての数列とネットは空間のすべての点に収束します。この例は、一般の位相空間では数列の極限が一意である必要はないことを示しています。しかし、位相空間は多くの場合、極限点が一意となるハウスドルフ空間でなければなりません。

余有限位相と余可算位相

任意の集合には、開集合が空集合と補集合が有限である集合となるような余有限位相を与えることができる。これは_、任意の無限集合における最小のT1位相である。

任意の集合には可算位相を与えることができ、その位相では、集合が空集合であるか、その補集合が可算集合である場合に、その集合は開集合であると定義される。集合が非可算集合である場合、この位相は多くの状況において反例となる。

実数と複素数上の位相

実数集合R上の位相を定義する方法は数多くあります。R 上の標準的な位相は、開区間によって生成されます。すべての開区間の集合は位相の基底を形成し、すべての開集合は基底からの集合の和集合となります。特に、集合内のすべての点の周りに半径がゼロでない開区間が存在する場合、その集合は開集合であると言えます。より一般的には、ユークリッド空間R ^{n に}^も位相を与えることができます。R n 上の通常の位相では、基本開集合は開球です。同様に、複素数集合CおよびC ⁿも、基本開集合が開球である標準的な位相を持ちます。

実数直線には下限位相を与えることもできます。ここで、基本開集合は半開区間[ a , b ) です。このR上の位相は、上で定義したユークリッド位相よりも厳密に細かいものです。数列がこの位相で一点に収束するのは、ユークリッド位相で上から収束する場合に限ります。この例は、集合上に複数の異なる位相が定義され得ることを示しています。

メトリックトポロジー

あらゆる距離空間には距離位相を与えることができ、その位相において基本開集合は距離によって定義される開球である。これは任意のノルム付きベクトル空間における標準的な位相である。有限次元ベクトル空間においては、この位相はすべてのノルムに対して同じである。

その他の例

任意の有限集合上には、無数の位相が存在する。このような空間は有限位相空間と呼ばれる。有限空間は、位相空間全般に関する予想に対する例や反例を示すために用いられることがある。
すべての多様体は局所的にユークリッド空間であるため、自然な位相構造を持つ。同様に、すべての単体およびすべての単体複体は、R ⁿから自然な位相構造を継承する。
ザリスキー位相は^、環または代数多様体のスペクトル上で代数的に定義される。R n または C n 上では、ザリスキー位相^の閉集合は多項式方程式系の解集合となる。
線形グラフは、頂点と辺を持つグラフの幾何学的側面の多くを一般化した自然なトポロジーを持っています。
関数解析における多くの線形演算子の集合は、特定の関数列が零関数に収束する条件を指定することによって定義される位相を備えている。
任意の局所体には固有の位相構造があり、これはその体上のベクトル空間にも拡張できる。
シェルピンスキー空間は、最も単純な非離散位相空間である。計算理論や意味論と重要な関係を持つ。
Γ が順序数である場合、集合 Γ = [0, Γ)には、区間 ( a , b ) 、 [0, b ) および ( a , Γ) によって生成される順序トポロジーが付与される可能性があります。ここで、 aとbは Γ の要素です。

連続関数

連続性は近傍の観点から表現されます。関数 $f$ がある点 $x \in X$ で連続であるのは、 $f$ $($ $x$ $)$ の任意の近傍 $Vに対して、$ $f$ $($ $U$ $)$ $\subseteq$ $V$ となるような $x$ の近傍 $U$ が存在する場合に限ります。直感的に言えば、連続性とは、 $V$ がどれほど「小さく」なっても、常に $x を$ 含む $U$ が存在し、 $V の$ 内部に写像され、 $f$ による像が $f$ $($ $x$ $)$ を含むことを意味します。これは、 $Y$ の開集合 (閉集合) の逆像が $X$ において開集合 (閉集合) であるという条件と同等です。距離空間では、この定義は解析学でよく用いられるε – δ 定義と同等です。

極端な例：集合 $X$ に離散トポロジーが与えられた場合、すべての関数

f\colon X\rightarrow T

任意の位相空間 $T$ における関数は連続である。一方、 $X が$ 非離散位相を持ち、空間 $T の$ 集合が少なくともT ₀である場合、連続関数は定数関数のみである。逆に、値域が非離散である関数はすべて連続である。

代替定義

位相構造には複数の同等な定義が存在するため、連続関数を定義する方法も複数存在する。

近隣地域の定義

逆像に基づく定義は、直接使用するのが難しい場合が多い。次の基準は、近傍の観点から連続性を表す。fがある点x ∈ Xで連続であるのは、 f ( x ) の任意の近傍Vに対して、 f ( U ) ⊆ Vとなるようなxの近傍Uが存在する場合に限る。直感的に言えば、連続性とは、 V がどれほど「小さく」なっても、 Vの内部に写像するx を含むUが常に存在することを意味する。

XとYが距離空間である場合、すべての近傍ではなく、 xとf ( x )を中心とする開球の近傍系を考えることと同等です。これにより、距離空間の文脈で上記のδ-ε連続性の定義が得られます。しかし、一般的な位相空間では、近接性や距離の概念は存在しません。

ただし、対象空間がハウスドルフ空間の場合でも、f がaで連続であるのは、 x がaに近づくときのfの極限がf ( a )である場合に限ることに注意してください。孤立点では、すべての関数が連続です。

シーケンスとネット

いくつかの文脈では、空間のトポロジーは、極限点によって便利に指定されます。多くの場合、これは、点が数列の極限であるときを指定することによって達成されますが、ある意味で大きすぎる空間では、点が、ネットとして知られる有向集合によってインデックス付けされたより一般的な点の集合の極限であるときも指定します。^[⁵^] 関数は、数列の極限を数列の極限に取置する場合に限り連続です。前者の場合、極限の保存も十分条件です。後者の場合、関数は数列のすべての極限を保存しても連続にならない可能性があり、ネットの保存は必要十分条件です。

詳細には、関数f : X → Yは、X内の数列 ( x _n ) が極限xに収束するたびに、数列 ( f ( x _n )) がf ( x ) に収束する場合に、数列連続である。^[⁶^] したがって、数列連続関数は「数列極限を保存する」。すべての連続関数は数列連続である。X が第一可算空間であり、可算選択が成り立つ場合、逆も成り立つ。すなわち、数列極限を保存する関数はすべて連続である。特に、X が距離空間である場合、数列連続性と連続性は同値である。第一可算空間でない場合、数列連続性は連続性よりも厳密に弱い可能性がある。（2 つの性質が同値である空間は、数列空間と呼ばれる。）これは、一般的な位相空間において数列の代わりにネットを考慮する動機となる。連続関数はネットの極限を保存し、実際、この性質は連続関数を特徴づける。

クロージャ演算子の定義

位相空間の開部分集合を指定する代わりに、位相は、任意の部分集合 A ⊆ X にその閉包を割り当てる閉包演算子 (cl と表記) または、任意の部分集合A ⊆ Xにその内部を割り当てる内部演算子(int と表記) によっても決定できます。これらの用語では、関数は

f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,

位相空間間の連続性は、 Xのすべての部分集合Aに対して、次の場合に限り、上記の意味で連続である。

f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).

つまり、Xの任意の要素x が任意の部分集合Aの閉包に含まれる場合、f ( x ) はf ( A )の閉包に属する。これは、Xのすべての部分集合A 'に対して、次の条件が成り立つことと同等である。

f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A'))。

さらに、

f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,

連続であるのは、

f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))

Xの任意の部分集合Aに対して。

物件

f : X → Yとg : Y → Zが連続であれば、合成関数g ∘ f : X → Zも連続です。f : X → Yが連続で、

Xがコンパクトならば、f ( X )もコンパクトである。
Xが連結であれば、f ( X )も連結である。
Xがパス連結であるならば、f ( X )もパス連結である。
Xがリンデロフであれば、f ( X ) はリンデロフになります。
Xが分離可能であれば、f ( X )も分離可能である。

固定集合X上の可能な位相は部分的に順序付けられています。位相 τ ₁は、τ 1に関してすべての開部分集合が τ ₂に関しても開である場合、別の位相 τ _2よりも粗いと言われます(表記: τ ₁ ⊆ τ ₂₎。このとき、恒等写像は

id _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

_{τ 1} ⊆ τ ₂の場合に限り連続である（位相の比較も参照）。より一般的には、連続関数は

(X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})

トポロジーτ _Yがより粗いトポロジーに置き換えられた場合、および/またはτ _Xがより細かいトポロジーに置き換えられた場合でも、連続性は維持されます。

同相写像

連続写像の概念と対称なのが開写像で、開集合の像は開集合です。実際、開写像fに逆関数がある場合、その逆関数は連続であり、連続写像gに逆関数がある場合、その逆関数は開です。2つの位相空間間の全単射関数fが与えられた場合、逆関数f ^{− 1}は必ずしも連続である必要はありません。連続な逆関数を持つ全単射連続関数は同相写像と呼ばれます。

連続な全単射の定義域がコンパクト空間であり、終域がハウスドルフ空間である場合、それは同相写像である。

連続関数によるトポロジーの定義

関数が与えられた場合

f\colon X\rightarrow S,\,

ここで、X は位相空間であり、S は集合 (位相が指定されていない) である。S の最終位相は、S の開集合を、f −1 ( A ) が X で開集合となる Sの部分集合Aとすることによって定義される。S^に既存の位相がある場合、fはこの位相に関して連続であるのは、既存の位相がSの最終位相よりも粗い場合に限る。したがって、最終位相は、f を連続にするS上の最も細かい位相として特徴づけることができる。fが全射である場合、この位相は、fによって定義される同値関係の下での商位相と正準的に同一視される。

同様に、集合Sから位相空間Xへの関数fに対して、S上の初期位相は、 XにおいてU が開集合であるようなf ⁻¹ ( U )の形の集合によって与えられる開集合の基底を持ちます。S に既存の位相がある場合、 fはこの位相に関して連続であるのは、既存の位相がS上の初期位相よりも細かい場合に限ります。したがって、初期位相は、 f を連続にするS上の最も粗い位相として特徴づけることができます。f が単射である場合、この位相は、 Xの部分集合とみなしたSの部分空間位相と正準的に同一視されます。

集合S上の位相は、すべての連続関数のクラスによって一意に決定される。 $S\rightarrow X$ すべての位相空間Xに。双対的に、同様の考え方をマップにも適用できます。 $X\rightarrow S.$

コンパクトセット

形式的には、位相空間X は、その開被覆のそれぞれが有限部分被覆を持つ場合にコンパクトと呼ばれます。そうでない場合は非コンパクトと呼ばれます。具体的には、任意の集合に対して、

\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}

$X$ の開部分集合のうち、

X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },

$A$ の有限部分集合 $J$ が存在し、

X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.

代数幾何学など、ブルバキのフランス学派の影響を強く受けている数学の分野では、一般的な概念を表すのに準コンパクトという用語を用い、ハウスドルフ空間かつ準コンパクト空間である位相空間にのみコンパクトという用語を用いる。コンパクト集合は、コンパクトム（複数形はコンパクト）と呼ばれることもある。

有限長のRの閉区間はすべてコンパクトである。さらに、R ⁿにおいて、集合がコンパクトであるのは、それが閉集合かつ有界集合である場合に限る。（ハイネ・ボレル定理を参照）。

コンパクトな空間の連続画像はすべてコンパクトである。

ハウスドルフ空間のコンパクトな部分集合は閉じている。

コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射は必ず同相写像である。

コンパクトな距離空間におけるすべての点列は、収束する部分列を持つ。

すべてのコンパクトな有限次元多様体は、何らかのユークリッド空間R ⁿに埋め込むことができる。

連結集合

位相空間X は、互いに素な2 つの空でない開集合の和集合である場合に、非連結であると言われます。そうでない場合、X は連結であると言われます。位相空間の部分集合は、その部分空間の位相に関して連結である場合に、連結であると言われます。一部の著者は、空集合(その固有の位相を持つ) を連結空間から除外しますが、この記事ではその慣例に従いません。

位相空間Xについて、以下の条件は同値である。

Xは接続されています。
Xは互いに素な2つの空でない閉集合に分割できない。
Xの部分集合で、開集合かつ閉集合（開集合）であるものは、 Xと空集合のみである。
境界が空集合であるXの部分集合は、 Xと空集合のみである。
X は、2 つの空でない分離集合の和集合として表すことはできません。
離散位相を備えた2点空間であるXから{0,1}への連続関数は定数関数のみである。

Rのすべての区間は連結している。

連結された空間の連続的なイメージは連結されている。

接続されたコンポーネント

空でない位相空間の連結部分集合（包含関係で順序付けられたもの）を、その空間の連結成分と呼びます。任意の位相空間Xの連結成分は、 Xの分割を形成します。つまり、連結成分は互いに素で、空ではなく、それらの和集合は空間全体になります。すべての連結成分は、元の空間の閉部分集合です。したがって、連結成分の数が有限の場合、各連結成分は開部分集合でもあります。しかし、連結成分の数が無限の場合、必ずしもそうとは限りません。例えば、有理数の集合の連結成分は一点集合であり、開集合ではありません。

させて $\displaystyle \Gamma _{x}}$ は位相空間Xにおけるxの連結成分であり、 $\Gamma _{x}'$ xを含むすべての開閉集合の共通部分（xの準成分と呼ばれる）とする。 $\Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}$ ここで、 Xがコンパクトなハウスドルフ空間であるか、局所的に連結である場合に等号が成り立つ。

断絶された空間

すべての構成要素が一点集合である空間は、完全に不連結であると呼ばれる。この性質に関連して、空間Xは、 Xの任意の異なる 2 つの要素xとyに対して、 X が U と V の和集合となるような、xの互いに素な開近傍 U と y の V が存在する場合、完全に分離されていると呼ばれる。明らかに、完全に分離されている空間は完全に不連結であるが、その逆は成り立たない。例えば、有理数 Q の 2 つのコピーを取り、ゼロ以外のすべての点でそれらを同一視する。結果として得られる商位相を持つ空間は、完全に不連結である。しかし、ゼロの 2 つのコピーを考慮すると、空間は完全に分離されていないことがわかる。実際、それはハウスドルフ空間ですらなく、完全に分離されているという条件は、ハウスドルフ空間であるという条件よりも厳密に強い。

経路連結集合

位相空間X内の点xから点yへのパスは、単位区間[0,1]からXへの連続関数fであり、 f (0) = xかつf (1) = yである。Xのパス成分は、同値関係の下でのXの同値類であり、xからyへのパスが存在する場合にx をy と同値にする。空間Xは、パス成分が最大で 1 つである場合、つまり、 X内の任意の 2 点を結ぶパスが存在する場合に、パス連結(またはパス連結、0 連結) であると言われる。ここでも、多くの著者は空空間を除外している。

経路連結な空間はすべて連結である。逆は必ずしも真ではない。経路連結ではない連結空間の例としては、延長された長い直線L * や位相幾何学者の正弦曲線などが挙げられる。

しかし、実数直線Rの部分集合は、パス連結である場合に限り連結であり、これらの部分集合はRの区間である。また、R ⁿまたはC ⁿの開部分集合は、パス連結である場合に限り連結である。さらに、有限位相空間では、連結性とパス連結性は同じである。

空間の産物

次のようなXが与えられた

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

は位相空間X _iの直積であり、添え字は $i\in I$ 、および標準射影p _i : X → X _iに対して、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続であるような最も粗い位相(つまり、開集合が最も少ない位相)として定義されます。積位相は、チコノフ位相と呼ばれることもあります。

積位相における開集合は、次の形式の集合の和集合（有限または無限）である。 $\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$ ここで、各U _iはX _iにおいて開集合であり、U _i ≠ X _iとなるのは有限回のみです。特に、有限積（特に、2 つの位相空間の積）の場合、 X _iの基底要素の積は、積の基底を与えます。 $\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ 。

X上の積位相は、 iがI の要素であり、UがX _iの開部分集合であるような、 p _i^{− 1} ( U ) の形の集合によって生成される位相です。言い換えれば、集合 { p _i⁻¹ ( U )}は、 X上の位相のサブベースを形成します。Xの部分集合が開集合であるのは、それが有限個のp _i⁻¹ ( U )の形の集合の共通部分の和集合(無限である可能性あり) である場合のみです。p i ⁻¹ ( U ) は_、開シリンダーと呼ばれることもあり、それらの共通部分はシリンダー集合と呼ばれます。

一般に、各X _iの位相の積は、X上のボックス位相と呼ばれるものの基底を形成する。一般に、ボックス位相は積位相よりも細かいが、有限個の積の場合は一致する。

コンパクト性に関連して、チホノフの定理がある。すなわち、コンパクト空間の（任意の）積はコンパクトである。

分離公理

これらの名称の多くは、数学文献によっては別の意味を持つ場合があります。「分離公理の歴史」で説明されているように、例えば「normal」と「T ₄ 」の意味が入れ替わることがあり、同様に「regular」と「T ₃」なども入れ替わります。また、多くの概念には複数の名称がありますが、最初に挙げられている名称が最も曖昧さが少ないと考えられます。

これらの公理のほとんどには、同じ意味を持つ別の定義が存在します。ここで示されている定義は、前のセクションで定義された様々な分離概念を関連付ける一貫したパターンに従っています。その他の定義については、各記事を参照してください。

以下のすべての定義において、Xは位相空間である。

Xは、X内の任意の異なる 2 つの点が位相的に区別可能である場合、 T ₀またはコルモゴロフである。（分離公理には、T ₀を要求する公理と要求しない公理の 2 つのバージョンが存在するのが一般的である。）
Xは、 X内の任意の異なる 2 点が分離されている場合、 T ₁空間、またはアクセス可能空間、あるいはフレシェ空間である。したがって、 Xが T _{1空間であるのは、X が T}₀空間かつ R _{0 空間}である場合に限る。（T ₁空間、フレシェ位相、位相空間Xがフレシェ空間であると仮定するなどと言うことはできるが、関数解析には全く異なるフレシェ空間の概念があるため、この文脈ではフレシェ空間とは言わない方が良い。）
Xは、X内の任意の異なる 2 つの点が近傍によって分離されている場合、ハウスドルフ空間、またはT ₂または分離空間である。したがって、Xがハウスドルフ空間であるのは、T ₀かつ R ₁である場合に限る。ハウスドルフ空間は、T ₁でなければならない。
Xは、 X内の任意の異なる 2 点が閉じた近傍によって隔てられている場合、 T _2½またはUrysohn 空間である。AT _2½空間は Hausdorff 空間でもある。
Xが正則空間、またはT ₃であるとは、X が T _{0であり、}X内の任意の点xと閉集合Fに対して、 x がFに属さない場合、それらが近傍によって分離されることを意味する。（実際、正則空間では、そのようなxとF は、閉近傍によっても分離される。）
X が T 0 であり_、_xがFに属さないX内の任意の点xと閉集合Fが与えられたとき、それらが連続関数によって分離されている場合、 XはTychonoffまたはT _3½、完全T 3 または完全正則である。
Xが正規空間、またはT4_であるのは、Xがハウスドルフ空間であり、かつXの任意の互いに素な2つの閉部分集合が近傍によって分離されている場合である。（実際、空間が正規であるのは、任意の互いに素な2つの閉集合が連続関数によって分離できる場合のみである。これはウリゾーンの補題である。）
Xは、 _T1であり、かつ任意の2つの分離集合が近傍によって分離されている場合、完全に正規である、またはT5_である、あるいは完全にT4_である。完全に正規な空間は、正規空間でもある必要がある。
Xは、T ₁であり、かつ任意の互いに素な 2 つの閉集合が連続関数によって正確に分離される場合、完全正規空間、またはT 6_空間、あるいは完全 T ₄空間である。完全正規ハウスドルフ空間は、完全正規ハウスドルフ空間でもある。

ティーツェ拡張定理：正規空間において、閉部分空間上で定義されたすべての連続実数値関数は、空間全体で定義された連続写像に拡張できる。

可算性公理

可算性の公理とは、特定の数学的対象（通常は圏）の性質であり、特定の性質を持つ可算集合の存在を要求するものであり、それがなければそのような集合は存在しない可能性がある。

位相空間における重要な可算性公理：

シーケンス空間：集合が開いているとは、集合内の点に収束するすべてのシーケンスが最終的にその集合に含まれる場合をいう。
第一可算空間：すべての点には可算近傍基底（局所基底）が存在する。
第二可算空間：位相が可算基底を持つ
分離可能な空間：可算な稠密部分空間が存在する
リンデレーフ空間：すべての開被覆には可算な部分被覆が存在する
σコンパクト空間：コンパクト空間による可算被覆が存在する

関係:

すべての最初の可算空間は連続的である。
すべての第二可算空間は、第一可算であり、分離可能であり、リンデレーフ空間である。
すべてのσコンパクト空間はリンデレーフ空間である。
距離空間は第一可算空間である。
距離空間においては、第二可算性、分離性、およびリンデレーフ性はすべて同値である。

距離空間

距離空間^{[ 7 ]}は順序対である $(M,d)$ どこ $M$ セットであり、 $d$ は、 $M$ つまり、関数

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

任意の $x,y,z\in M$ 次のようなことが成り立つ。

$\displaystyle d(x,y)\geq 0$ （非負）
$d(x,y)=0\,$ もし $x=y\,$ （識別不可能なものの同一性）
$d(x,y)=d(y,x)\,$ （対称性）と
$\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ （三角不等式）

機能 $d$ 距離関数または単に距離とも呼ばれます。多くの場合、 $d$ は省略され、単にと書く。 $M$ 文脈からどの距離尺度が使われているかが明確な場合は、距離空間について言及します。

すべての距離空間はパラコンパクトかつハウスドルフであり、したがって正規である。

距離化定理は、位相が距離から導かれるための必要十分条件を提供する。

ベールのカテゴリー定理

ベールのカテゴリー定理によれば、X が完備距離空間または局所コンパクトハウスドルフ空間である場合、可算個のどこにも稠密でない集合の和集合の内部は空である。^{[ 8 ]}

ベール空間の任意の開部分空間は、それ自体がベール空間である。

主な研究分野

連続体理論

連続体（複数形：continua）とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはまれにコンパクト連結ハウスドルフ空間のことである。連続体理論は、連続体の研究に特化した位相幾何学の一分野である。これらの対象は、位相幾何学と解析学のほぼすべての分野で頻繁に現れ、その性質は多くの「幾何学的」特徴を生み出すほど強力である。

力学系

位相力学は、連続的な変化を受けた空間とその部分空間の時間的挙動を研究する分野です。物理学やその他の数学分野への応用例としては、流体力学、ビリヤード、多様体上の流れなどが挙げられます。フラクタル幾何学におけるフラクタル、複素力学に現れるジュリア集合やマンデルブロ集合、微分方程式におけるアトラクターの位相的特性は、これらのシステムを理解する上でしばしば極めて重要となります。

無意味なトポロジー

ポイントレストポロジー（ポイントフリートポロジーとも呼ばれる）は、点に言及することを避けるトポロジーへのアプローチである。「ポイントレストポロジー」という名前は、ジョン・フォン・ノイマンによるものである。^{[ 9 ]} ポイントレストポロジーの考え方は、メレオトポロジーと密接に関連しており、メレオトポロジーでは、基底となる点集合を明示的に参照することなく、領域（集合）が基礎として扱われる。

次元理論

次元理論は、位相空間の次元不変量を扱う一般位相幾何学の一分野である。

位相代数

位相体K上の位相代数Aは、位相ベクトル空間と連続乗法を併せ持つ。

\cdot :A\times A\longrightarrow A

(a,b)\longmapsto a\cdot b

それはK上の代数となる。単位元を持つ結合的な位相代数は位相環である。

この用語はデイヴィッド・ファン・ダンツィヒによって造語され、彼の博士論文（1931年）のタイトルにも登場する。

計量可能性理論

位相幾何学および関連する数学分野において、距離空間とは、距離空間と同相な位相空間のことである。すなわち、位相空間は距離空間と同相な位相空間である。 $(X,\tau )$ メトリックが存在する場合、それはメトリック化可能であると言われる。

d\colon X\times X\to [0,\infty )

dによって誘導されるトポロジーは $\displaystyle \tau }$ 距離化定理とは、位相空間が距離化可能であるための十分条件を与える定理のことである。

集合論的トポロジー

集合論的位相幾何学は、集合論と一般位相幾何学を組み合わせた分野です。ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）に依存しない位相幾何学的な問題に焦点を当てています。有名な問題の一つに、一般位相幾何学における「正規ムーア空間問題」があり、これは集中的な研究の対象となってきました。正規ムーア空間問題の解答は、最終的にZFCに依存しないことが証明されました。

参考文献

↑マンクレス、ジェームズ R. トポロジー。第 2 巻。アッパーサドルリバー: プレンティスホール、2000 年。
↑アダムス、コリン・コンラッド、ロバート・デイビッド・フランゾーサ。『トポロジー入門：純粋と応用』ピアソン・プレンティス・ホール、2008年。
↑メリフィールド、リチャード E.、シモンズ、ハワード E. (1989).化学におけるトポロジカル手法. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp . 16. ISBN 0-471-83817-9. 2012年7月27日取得。定義。位相空間(X,T)の部分集合の集合Bは、すべての開集合がBの要素の和集合として表現できる場合、Tの基底と呼ばれる。
↑アームストロング、MA（1983）。『基礎トポロジー』。スプリンガー。30ページ。ISBN 0-387-90839-02013年6月13日取得。集合X上に位相があり、集合があると仮定します。 $\beta$ 開集合の集合であって、すべての開集合が以下の要素の和集合であるようなもの $\beta$ 。それから $\beta$ トポロジーの基底と呼ばれる...
↑ Moore, EH ; Smith, HL (1922). "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics . 44 (2): 102– 121. doi : 10.2307/2370388 . JSTOR 2370388 .
↑ハイネ、E. (1872)。「機能の要素を決定します。」数学に関するジャーナル。74 : 172–188 .
↑ Maurice Fréchet は、著書『 Sur quelques point du calcul fonctionnel』、Rendic で計量空間を導入しました。円マット。パレルモ 22 (1906) 1–74。
↑ R・ベア。変数に関する関数を説明します。アン。 di Mat.、3:1–123、1899。
↑ギャレット・バーコフ、「フォン・ノイマンと格子理論」、ジョン・フォン・ノイマン 1903-1957、JC オクストリー、BJ ペティス、アメリカ数学会、1958年、50-5ページ

さらに読む

一般位相幾何学に関する標準的な書籍には、以下のようなものがある。

ブルバキ、 Topologie Générale (一般トポロジー)、ISBN 0-387-19374-X。
ケリー、ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻 (第2 版). ニューヨーク: シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153。
スティーブン・ウィラード著『一般トポロジー』、ISBN 0-486-43479-6。
ジェームズ・マンクレス、トポロジー、ISBN 0-13-181629-2。
ジョージ・F・シモンズ著『位相幾何学と現代解析入門』、ISBN 1-575-24238-9。
ポール・L・シック著『トポロジー：点集合論と幾何学』、ISBN 0-470-09605-5。
リザード・エンゲルキング、一般トポロジー、ISBN 3-88538-006-4。
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446
ああ。ヴィロ、OA イワノフ、VM ハルラモフ、N.Yu。 Netsvetaev、初級トポロジー: 問題の教科書、ISBN 978-0-8218-4506-6。

arXivの主題コードはmath.GNです。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにある、一般的なトポロジーに関連するメディア

[1] マンクレス、ジェームズ R. トポロジー。第 2 巻。アッパーサドルリバー: プレンティスホール、2000 年。

[2] アダムス、コリン・コンラッド、ロバート・デイビッド・フランゾーサ。『トポロジー入門：純粋と応用』ピアソン・プレンティス・ホール、2008年。

[3] メリフィールド、リチャード E.、シモンズ、ハワード E. (1989).化学におけるトポロジカル手法. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp . 16. ISBN 0-471-83817-9. 2012年7月27日取得。定義。位相空間(X,T)の部分集合の集合Bは、すべての開集合がBの要素の和集合として表現できる場合、Tの基底と呼ばれる。

[4] アームストロング、MA（1983）。『基礎トポロジー』。スプリンガー。30ページ。ISBN 0-387-90839-02013年6月13日取得。集合X上に位相があり、集合があると仮定します。 $\beta$ 開集合の集合であって、すべての開集合が以下の要素の和集合であるようなもの $\beta$ 。それから $\beta$ トポロジーの基底と呼ばれる...

[5] Moore, EH ; Smith, HL (1922). "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics . 44 (2): 102– 121. doi : 10.2307/2370388 . JSTOR 2370388 .

[6] ハイネ、E. (1872)。「機能の要素を決定します。」数学に関するジャーナル。74 : 172–188 .

[7] Maurice Fréchet は、著書『 Sur quelques point du calcul fonctionnel』、Rendic で計量空間を導入しました。円マット。パレルモ 22 (1906) 1–74。

[8] R・ベア。変数に関する関数を説明します。アン。 di Mat.、3:1–123、1899。

[9] ギャレット・バーコフ、「フォン・ノイマンと格子理論」、ジョン・フォン・ノイマン 1903-1957、JC オクストリー、BJ ペティス、アメリカ数学会、1958年、50-5ページ

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