位相ベクトル空間

数学において、位相ベクトル空間（線型位相空間とも呼ばれ、一般にTVSまたはtvsと略される）は、関数解析で研究される基本構造の 1 つです。位相ベクトル空間は、ベクトル空間演算（ベクトルの加算とスカラー乗算）も連続関数であるという特性を持つ位相空間でもあるベクトル空間です。このような位相はベクトル位相と呼ばれ、すべての位相ベクトル空間は均一な位相構造を持ち、均一収束と完全性の概念を可能にします。一部の著者は、空間がハウスドルフ空間であることを要求します（ただし、この記事ではそうではありません）。最も広く研究されている TVS のカテゴリの 1 つは、局所凸位相ベクトル空間です。この記事では、必ずしも局所凸ではない TVS に焦点を当てます。その他のよく知られた TVS の例には、バナッハ空間、ヒルベルト空間、ソボレフ空間などがあります。

多くの位相ベクトル空間は関数の空間、または位相ベクトル空間に作用する線型作用素であり、位相は関数の列の収束という特定の概念を捉えるように定義されることが多い。

この記事では、特に明記しない限り、位相ベクトル空間のスカラー体は複素数または実数のいずれかであると想定します。 $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} ,$

モチベーション

正規空間

すべてのノルム付きベクトル空間は自然な位相構造を持ちます。ノルムは計量を誘導し、計量は位相を誘導します。これは位相ベクトル空間である理由は^{[引用が必要]}です。

によって定義されるベクトル加法写像は、この位相に関して（共）連続である。これは、ノルムが従う三角不等式から直接導かれる。 $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ $(x,y)\mapsto x+y$
によって定義されるスカラー乗算マップ（ここではの基礎となるスカラー体）は（共）連続です。これは、三角不等式とノルムの同次性から導かれます。 $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ $(s,x)\mapsto s\cdot x,$ $\mathbb {K}$ $X,$

したがって、すべてのバナッハ空間とヒルベルト空間は位相ベクトル空間の例です。

非正規空間

位相がノルムによって誘導されないが、解析において依然として興味深い位相ベクトル空間が存在する。そのような空間の例には、開領域上の正則関数の空間、無限微分可能関数の空間、シュワルツ空間、テスト関数の空間、それらの上の超関数の空間などがある。 ^{[1]これらはすべて}モンテル空間の例である。無限次元モンテル空間は決してノルム可能ではない。与えられた位相ベクトル空間のノルムの存在は、コルモゴロフのノルム可能性基準によって特徴付けられる。

位相体とは、その各部分体上の位相ベクトル空間です。

意味

位相ベクトル空間（TVS ）は、位相体（通常は実数または複素数とその標準位相）上のベクトル空間であり、ベクトルの加算とスカラー乗算が連続関数となる位相（これらの関数の定義域には積位相が備わっている）が備わっている。このような位相は $X$ $\mathbb {K}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ ベクトルトポロジーまたはTVSトポロジー $X.$

あらゆる位相ベクトル空間は、加法に関して可換な位相群でもある。

ハウスドルフ仮定

多くの著者（例えば、ウォルター・ルーディン）は、上の位相がT ₁であることを要求しているが、このページではそうではない。すると、空間はハウスドルフ、さらにはティコノフとなる。位相ベクトル空間は次のように表現される。 $X$ ハウスドルフの場合は分離されます。重要なのは、「分離」は分離可能。位相的構造と線形代数構造は、追加の仮定によってさらに密接に結び付けられる可能性があり、最も一般的な仮定を以下に示します。

カテゴリーと射

与えられた位相体上の位相ベクトル空間のカテゴリは、一般にまたはと表記されます。オブジェクトは上の位相ベクトル空間であり、射は1 つのオブジェクトから別のオブジェクトへの連続 -線型写像です。 $\mathbb {K}$ $\mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }$ $\mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

あ位相ベクトル空間準同型（略してTVS準同型（TVS 準同型とも呼ばれる）位相準同型写像^[2]^[3]、位相ベクトル空間（TVS）間の連続線型写像であり、の範囲または像がによって誘導される部分空間位相を与えられたときに開写像と $u:X\to Y$ $u:X\to \operatorname {Im} u$ $\operatorname {Im} u:=u(X),$ $u,$ $Y.$

あ位相ベクトル空間埋め込み（略称TVS埋め込み（TVSエンベディング）とも呼ばれる位相単射は、入射的な位相準同型である。同様に、TVS埋め込みは線形写像であり、位相埋め込み。^[2]

あ位相ベクトル空間同型性（略称TVS同型性（TVS isomorphism）とも呼ばれる位相ベクトル同型性^[4]またはTVSのカテゴリにおける同型は、全単射な線型同相写像。同値に、これは全射なTVS埋め込み^[2]

研究されている TVS の多くの特性、例えば局所凸性、距離化可能性、完全性、規範可能性などは、TVS 同型性の下で不変です。

ベクトル位相の必要条件

ベクトル空間の部分集合の集合は加法的と呼ばれる^[5]。任意のベクトル空間に対して、 ${\mathcal {N}}$ $N\in {\mathcal {N}},$ $U\in {\mathcal {N}}$ $U+U\subseteq N.$

^[5]における加法の連続性の特徴付け $0$ — が群（すべてのベクトル空間がそうであるように）であり、が上の位相であり、積位相を備えている場合、加法写像（によって定義される）がの原点で連続であるためには、における原点の近傍集合が加法的である必要があります。この記述は、「近傍」という単語を「開近傍」に置き換えても当てはまります。 $(X,+)$ $\tau$ $X,$ $X\times X$ $X\times X\to X$ $(x,y)\mapsto x+y$ $X\times X$ $(X,\tau )$

したがって、上記の条件はすべて、トポロジがベクトルトポロジを形成するために必要となります。

原点の近傍を使用してトポロジを定義する

すべてのベクトル位相は変換不変であるため（つまり、によって定義されるすべてのマップに対しては同相写像である）、ベクトル位相を定義するには、原点でその近傍基底（または部分基底）を定義するだけで十分です。 $x_{0}\in X,$ $X\to X$ $x\mapsto x_{0}+x$

定理^[6] （原点の近傍フィルタ） — が実数または複素数ベクトル空間であるとする。がのバランスのとれた吸収部分集合の空でない加法コレクションである場合、は上のベクトル位相に対してにおける近傍基数である。つまり、が以下の条件を満たすフィルタ基数であるという仮定が成り立つ。 $X$ ${\mathcal {B}}$ $X$ ${\mathcal {B}}$ $0$ $X.$ ${\mathcal {B}}$

すべてがバランスが取れていて魅力的です。 $B\in {\mathcal {B}}$
${\mathcal {B}}$ は加法的である：任意のに対して、 $B\in {\mathcal {B}}$ $U\in {\mathcal {B}}$ $U+U\subseteq B,$

が上記の2つの条件を満たしているがフィルタ基底でない場合は、ベクトル位相の近傍基底ではなく近傍サブ基底を形成します。 ${\mathcal {B}}$ $0$ $X.$

一般に、ベクトル空間のすべての平衡部分集合と吸収部分集合の集合はこの定理の条件を満たさず、任意のベクトル位相の原点における近傍基底を形成しない。^[5]

文字列を使用してトポロジを定義する

をベクトル空間とし、をの部分集合の列とする。列内の各集合は $X$ $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X.$ $U_{\bullet }$ の結び目とすべての添え字に対する- 番目のと呼ばれます集合はの始まりと呼ばれます数列は/です:^[7]^[8]^[9] $U_{\bullet }$ $i,$ $U_{i}$ $i$ $U_{\bullet }.$ $U_{1}$ $U_{\bullet }.$ $U_{\bullet }$

すべてのインデックスについて $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ $i.$
バランスが取れている（それぞれ吸収性、閉鎖性、^[注1] 凸状、開放性、対称性、樽型、絶対凸状/円盤状など）これがすべての場合に当てはまる場合 $U_{i}.$
文字列は、総括的、吸収的、バランスが取れています。 $U_{\bullet }$
位相的文字列またはTVSにおける近傍文字列は文字列であり、その各ノットが原点の近傍である場合に $X$ $U_{\bullet }$ $X.$

がベクトル空間内の吸収円板である場合、によって定義される数列はで始まる文字列を形成します。これは^[7]の自然文字列と呼ばれます。さらに、ベクトル空間が可算次元を持つ場合、すべての文字列には絶対凸文字列が含まれます。 $U$ $X$ $U_{i}:=2^{1-i}U$ $U_{1}=U.$ $U$ $X$

集合の加法列は、非負の連続実数値の劣加法関数を定義するという特に優れた特性を持っています。これらの関数は、位相ベクトル空間の多くの基本的な特性を証明するために使用できます。

定理（文字列によって誘導される -値関数） $\mathbb {R}$ - をベクトル空間の部分集合の集合とし、すべてのに対してとなるものとし、すべてのに対してとなるものとし、すべてのに対してとなるものとし、 $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }$ $0\in U_{i}$ $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ $i\geq 0.$ $u\in U_{0},$ $\mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.$

ifとそれ以外の場合は letで定義します $f:X\to [0,1]$ $f(x)=1$ $x\not \in U_{0}$ $f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.$

するとは劣加法的（つまりすべてに対して）であり、上でとなるので特に、すべてが対称集合であればとなり、すべてが釣り合っているならとなるすべてのスカラーに対してとなり、すべてがとなる。が位相ベクトル空間であり、すべてが原点の近傍であればは連続であり、が加えてハウスドルフでありがにおける原点の釣り合っている近傍の基底を形成するならは上のベクトル位相を定義する計量となる。 $f$ $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ $x,y\in X$ $f=0$ ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ $f(0)=0.$ $U_{i}$ $f(-x)=f(x)$ $U_{i}$ $f(sx)\leq f(x)$ $s$ $|s|\leq 1$ $x\in X.$ $X$ $U_{i}$ $f$ $X$ $U_{\bullet }$ $X$ $d(x,y):=f(x-y)$ $X.$

上記の定理の証明は、距離化可能な位相ベクトル空間に関する記事で与えられています。

とがベクトル空間の部分集合の2つの集合であり、がスカラーである場合、定義により次のようになる。^[7] $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ $V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ $X$ $s$

$V_{\bullet }$ 含む :すべてのインデックスに対して $U_{\bullet }$ $\ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ $U_{i}\subseteq V_{i}$ $i.$
結び目セット: $\ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.$
カーネル: ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
スカラー倍数: $\ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
合計: $\ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
交差点： $\ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$

がのサブセットのシーケンスのコレクションである場合、は包含に関して(下向きに)向いていると言われます。または、が空でなく、すべてに対してかつとなるようなものが存在する場合、単に下向きに向いていると言われます(言い換えると、が上記で定義した包含に関してプレフィルタである場合に限ります)。 $\mathbb {S}$ $X,$ $\mathbb {S}$ $\mathbb {S}$ $U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,$ $W_{\bullet }\in \mathbb {S}$ $W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }$ $W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ $\mathbb {S}$ $\,\subseteq \,$

表記法：をすべての弦の結び目の集合とする ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ $\mathbb {S} .$

文字列のコレクションを使用してベクトルトポロジを定義することは、必ずしも局所的に凸ではない TVS のクラスを定義する場合に特に便利です。

定理^[7] (弦によって誘導される位相) — が位相ベクトル空間である場合、下向きの内の近傍弦の集合^{[証明 1]}が存在し、内のすべての弦のすべての結び目の集合はの原点における近傍基底です。このような弦の集合は基本的であるという。 $(X,\tau )$ $\mathbb {S}$ $X$ $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$ $\tau$

逆に、がベクトル空間で、が下向きの弦の集合である場合、のすべての弦のすべての結び目の集合は、上のベクトル位相の原点で近傍基底を形成します。この場合、この位相はで表され、によって生成される位相と呼ばれます。 $X$ $\mathbb {S}$ $X$ $\operatorname {Knots} \mathbb {S}$ $\mathbb {S}$ $X.$ $\tau _{\mathbb {S} }$ $\mathbb {S} .$

がTVS内のすべての位相文字列の集合である場合、^[7]ハウスドルフTVSが距離化可能であるのは、その位相が単一の位相文字列によって誘導される場合に限ります。^[10] $\mathbb {S}$ $(X,\tau )$ $\tau _{\mathbb {S} }=\tau .$

位相構造

ベクトル空間は加算演算に関してアーベル群であり、位相ベクトル空間では逆演算は常に連続である（による乗算と同じであるため）。したがって、すべての位相ベクトル空間はアーベル位相群である。すべてのTVSは完全に正則であるが、TVSは正規である必要はない。^[11] $-1$

を位相ベクトル空間とする。部分空間が与えられたとき、通常の商位相を持つ商空間は、が閉じている場合に限り、ハウスドルフ位相ベクトル空間となる。^{[注 2]}これにより、次の構成が可能になる。位相ベクトル空間（ハウスドルフではない可能性が高い）が与えられたとき、商空間を形成する。ここで、はの閉包である。すると、ハウスドルフ位相ベクトル空間となり、の代わりに研究することができる。 $X$ $M\subseteq X,$ $X/M$ $M$ $X$ $X/M$ $M$ $\{0\}.$ $X/M$ $X.$

ベクトル位相の不変性

ベクトル位相の最もよく使われる特性の一つは、すべてのベクトル位相が翻訳不変量:

によって定義されるすべての写像は同相写像ですが、の場合、それは線型ではなく、したがって TVS 同型ではありません。

x_{0}\in X,

X\to X

x\mapsto x_{0}+x

x_{0}\neq 0

非ゼロのスカラーによるスカラー乗算は TVS 同型です。つまり、の場合、によって定義される線型写像は同相写像です。を使用すると、によって定義される否定写像が生成され、これは結果的に線型同相写像となり、TVS 同型になります。 $s\neq 0$ $X\to X$ $x\mapsto sx$ $s=-1$ $X\to X$ $x\mapsto -x,$

および任意の部分集合であれば、 ^[6]であり、さらに、であれば、におけるの近傍（それぞれ開近傍、閉近傍）であるのは、原点においてが真である場合に限ります。 $x\in X$ $S\subseteq X,$ $\operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S$ $0\in S$ $x+S$ $x$ $X$ $S$

ローカルな概念

ベクトル空間の部分集合は $E$ $X$

吸収（）:任意のスカラーに対して、となる実数が存在する^{場合、 [12]} $X$ $x\in X,$ $r>0$ $cx\in E$ $c$ $|c|\leq r.$
バランスが取れているか丸で囲まれている場合：すべてのスカラーに対して^[12] $tE\subseteq E$ $|t|\leq 1.$
凸:^{任意の実数[12]}に対して $tE+(1-t)E\subseteq E$ $0\leq t\leq 1.$
円板または絶対凸:凸かつバランスが取れている場合。 $E$
対称的：または同等に、 $-E\subseteq E,$ $-E=E.$

原点のすべての近傍は吸収集合であり、^[6]の開いた平衡近傍を含むので、すべての位相ベクトル空間は吸収集合と平衡集合の局所基底を持つ。原点にはの閉じた平衡近傍からなる近傍基底さえあり、空間が局所的に凸である場合は、原点の閉じた凸平衡近傍からなる近傍基底も存在する。 $0$ $0;$

有界部分集合

位相ベクトル空間の部分集合が有界であるとは、原点の任意の近傍に対してが存在する場合を言う^[13]。 $E$ $X$ $V$ $t$ $E\subseteq tV$

有界性の定義は、少し弱めることができる。が有界であるのは、そのすべての可算な部分集合が有界である場合に限る。集合が有界であるのは、その部分列のそれぞれが有界集合である場合に限る。^[14]また、が有界であるのは、原点のすべての均衡近傍に対して、が存在する場合に限る。さらに、が局所的に凸である場合、有界性は半ノルムによって特徴付けることができる。部分集合が有界であるのは、すべての連続半ノルムがで有界である場合に限る。^[15] $E$ $E$ $V$ $t$ $E\subseteq tV.$ $X$ $E$ $p$ $E.$

全ての全有界集合は有界である。^[14]がTVSのベクトル部分空間である場合、の部分集合が有界となるのは、それが^[14]で有界となる場合のみである。 $M$ $X,$ $M$ $M$ $X.$

メートル法化可能性

バーコフ・角谷定理 — が位相ベクトル空間である場合^{、次の4つの条件は同値である: [16]}^{[注 3]} $(X,\tau )$

原点は閉じており、原点には可算な近隣基盤がある。 $\{0\}$ $X$ $X.$
$(X,\tau )$ 距離化可能（位相空間として）である。
上の変換不変計量が存在し、それが上の与えられた位相である位相に誘導する。 $X$ $X$ $\tau ,$ $X.$
$(X,\tau )$ は距離化可能な位相ベクトル空間である。^{[注 4]}

バーコフ・角谷定理によれば、並進不変な同等の計量が存在することになる。

TVS は、原点に可算な近傍基底を持つ場合に限り擬距離化可能であり、その位相がF半正規分布によって生成される場合に限りそれと同等である。TVS は、ハウスドルフかつ擬距離化可能である場合に限り距離化可能である。

より強く言うと、位相ベクトル空間は、その位相がノルムによって誘導できる場合、ノルム可能であると言われる。位相ベクトル空間がノルム可能であるのは、それがハウスドルフであり、原点の凸境界近傍を持つ場合のみである。^[17]

を非離散局所コンパクト位相体、例えば実数や複素数とする。上のハウスドルフ位相ベクトル空間が局所コンパクトであるための必要十分条件は、それが有限次元であること、すなわち、ある自然数に対してと同型であることである^[18] $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} ^{n}$ $n.$

完全性と均一な構造

TVS上の標準的一様性[ ^19]は、TVS上の位相を誘導する唯一の並進不変一様性である。 $(X,\tau )$ $\tau$ $X.$

すべての TVS はこの標準的な一様性を備えていると仮定され、すべての TVS は一様空間になります。これにより、完全性、一様収束、コーシーネット、一様連続性など、この一様性に関して常にそうであると仮定される関連概念について話すことができます^{[説明が必要] 。これは、すべてのハウスドルフ位相ベクトル空間が}チコノフであることを意味します。^[20] TVS のサブセットがコンパクトであるための必要十分条件は、それが完全かつ完全に有界である場合です(ハウスドルフ TVS の場合、集合が完全に有界であることは、プレコンパクトであることと同義です)。しかし、TVS がハウスドルフでない場合は、閉じていないコンパクトサブセットが存在します。ただし、非ハウスドルフ TVS のコンパクトサブセットの閉包は、やはりコンパクトです (したがって、コンパクトサブセットは相対的にコンパクトです)。

この一様性に関して、ネット（またはシーケンス）がコーシーであるための必要十分条件は、のすべての近傍に対して、およびが成り立つとき、 $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $V$ $0,$ $n$ $x_{i}-x_{j}\in V$ $i\geq n$ $j\geq n.$

すべてのコーシー列は有界ですが、コーシーネットとコーシーフィルタは有界ではない場合があります。すべてのコーシー列が収束する位相ベクトル空間は、順次完全と呼ばれます。一般に、それは完全ではない場合があります (すべてのコーシーフィルタが収束するという意味では)。

ベクトル空間の加算演算は一様連続かつ開写像です。スカラー乗算はコーシー連続ですが、一般に一様連続になることはほとんどありません。このため、すべての位相ベクトル空間は完備化でき、したがって完備位相ベクトル空間の稠密な線型部分空間になります。

すべてのTVSには完備化があり、すべてのハウスドルフTVSにはハウスドルフ完備化がある。^[6]すべてのTVS（ハウスドルフや完備化されているものも含む）には、同型でない非ハウスドルフ完備化が無限に存在する。
TVSのコンパクトな部分集合（必ずしもハウスドルフではない）は完全である。^[21]ハウスドルフTVSの完全な部分集合は閉じている。^[21]
がTVSの完全な部分集合である場合、そのTVSに閉じた部分集合は完全である。^[21] $C$ $C$ $C$
ハウスドルフ TVS の Cauchy 列は必ずしも相対的にコンパクトではありません(つまり、における閉包は必ずしもコンパクトではありません)。 $X$ $X$
TVSのコーシーフィルタに蓄積点がある場合、それは次のように収束する。 $x$ $x.$
級数がTVSで収束する場合^[注5]、^[22] ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$ $x_{\bullet }\to 0$ $X.$

例

最も細かいベクトルトポロジと最も粗いベクトルトポロジ

を実数または複素数ベクトル空間とします。 $X$

自明なトポロジー

自明位相または非離散位相は 、任意のベクトル空間上の TVS 位相であり、最も粗い TVS 位相である。この重要な帰結は、上の TVS 位相の任意の集合の共通部分は、常に TVS 位相を含むということである。自明位相が備わった任意のベクトル空間 (無限次元のものも含む) は、コンパクト (したがって局所コンパクト)な完全擬距離化可能半ノルム可能局所凸位相ベクトル空間である。ハウスドルフであるためには、 $\{X,\varnothing \}$ $X$ $X$ $\dim X=0.$

最高級のベクトルトポロジー

と呼ばれるTVSトポロジーが存在する。 $\tau _{f}$ $X,$ 上の最も細かいベクトル位相は、上の他のどの TVS 位相よりも細かい（つまり、上の任意の TVS 位相は必ずの部分集合となる）。^[23]^[24]のすべての線型写像は必ず連続である。が非可算なハメル基底、は局所的に凸ではなく、を距離化できない。^[24] $X,$ $X$ $X$ $\tau _{f}$ $\left(X,\tau _{f}\right)$ $X$ $\tau _{f}$

デカルト積

位相ベクトル空間の族の直積は、積位相が備わっているとき、位相ベクトル空間である。たとえば、が通常のユークリッド位相を持つすべての関数の集合を考えてみましょう。この集合は、自然積位相を持つ直積と同一視できる（実際、しばしばそのように定義される）実ベクトル空間（ここで、加算とスカラー乗算は通常どおり点ごとに定義される）です。この積位相により、は位相ベクトル空間になり、その位相は上の点ごとの収束の位相と呼ばれます。この名前の理由は次のとおりです。が内の要素の列（または、より一般的にはネット）であり、である場合、がでに収束するため、任意の実数に対してがでに収束する場合に限ります。この TVS は完全、ハウスドルフ、局所的に凸ですが、距離化可能ではなく、したがっては標準化可能ではありません。実際、積位相における原点のすべての近傍には直線（つまり、の形式の部分集合である 1 次元ベクトル部分空間）が含まれます。 $X$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,$ $X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ $\mathbb {R} .$ $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $X$ $f\in X$ $f_{n}$ $f$ $X$ $x,$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $\mathbb {R} .$ $\mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}$ $f\neq 0$

有限次元空間

F. リースの定理によれば、ハウスドルフ位相ベクトル空間が有限次元であるための必要十分条件は、それが局所コンパクトであることであり、これは、ハウスドルフ位相ベクトル空間が原点のコンパクトな近傍を持つ場合のみに当てはまります。

またはを表し、通常のハウスドルフノルムユークリッド位相を持つものとします。を上の有限次元のベクトル空間とし、がに同型なベクトル空間であるとします（明示的には、ベクトル空間との間に線型同型が存在することを意味します）。この有限次元ベクトル空間は常に一意のハウスドルフベクトル位相を持ち、これによりと TVS 同型となり、は通常のユークリッド位相（積位相と同じ）を持ちます。このハウスドルフベクトル位相は、上の（一意の）最細分ベクトル位相でもあり、が一意のベクトル位相を持つ場合と必要な場合が同値です。の場合、は一意のベクトル位相を持たないものの、一意のハウスドルフベクトル位相を持ちます。 $\mathbb {K}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {K}$ $X$ $\mathbb {K}$ $n:=\dim X$ $X$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X$ $\mathbb {K} ^{n},$ $\mathbb {K} ^{n}$ $X.$ $X$ $\dim X=0.$ $\dim X\neq 0$ $X$

の場合、ベクトル位相はただ1つ、すなわち自明位相を持ち、この場合（この場合のみ）ハウスドルフ位相となる。ベクトル空間上の自明位相がハウスドルフ位相となるのは、ベクトル空間が次元 $\dim X=0$ $X=\{0\}$ $0.$
の場合、通常のユークリッド位相と（非ハウスドルフ）自明位相の 2 つのベクトル位相が存在します。 $\dim X=1$ $\dim X=1$ $X$ $X$
- 体自体は上の - 次元位相ベクトル空間であり、位相ベクトル空間の定義において重要な役割を果たすため、この二分法は吸収集合の定義において重要な役割を果たし、関数解析全体に影響を及ぼす。 $\mathbb {K}$ $1$ $\mathbb {K}$

証明の概要

この二分法 (つまり、ベクトル位相がに自明または同型であること) の証明は簡単なので、重要な観察事項の概要のみを示します。いつものように、は (ノルム) ユークリッド位相を持つと仮定します。すべてのに対してとします。を上の -次元ベクトル空間とします。およびがを中心とする球である場合、が「無限列」を含むときはいつでも、これはの形式の列を意味し、ここでおよびは (通常の意味で)ノルム空間で無限です。上の任意のベクトル位相は、並進不変かつ非ゼロのスカラー乗算に対して不変であり、任意のに対してによって与えられる写像は連続線型一対一です。なぜなら、の任意のそのような部分集合に対して、は、何らかの一意の部分集合に対してと書くことができるからである。そして、上のこのベクトル位相がのすべてに等しくない原点の近傍を持つ場合、原点でのスカラー乗法の連続性により、を中心とする開球とにおける原点の開近傍が存在することが保証され、は「無限列」を含まないことになる。これは、任意のに対してとなる正の整数が存在することを意味する。このことから、が自明な位相を持たない場合、が0 の任意の球中心に対して、における原点の開近傍を含む場合、が線型同相写像であることが証明される。QED $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}$ $r>0.$ $X$ $1$ $\mathbb {K} .$ $S\subseteq X$ $B\subseteq \mathbb {K}$ $0$ $B\cdot S=X$ $S$ $\left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }$ $0\neq x\in X$ $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $X$ $0\neq x\in X,$ $M_{x}:\mathbb {K} \to X$ $M_{x}(a):=ax$ $X=\mathbb {K} x$ $x,$ $X$ $Fx=M_{x}(F)$ $F\subseteq \mathbb {K} .$ $X$ $W$ $X,$ $\mathbb {K} \times X\to X$ $B_{r}\subseteq \mathbb {K}$ $0$ $S$ $X$ $B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,$ $S$ $0\neq x\in X,$ $n$ $S\subseteq B_{n}x.$ $X$ $0\neq x\in X,$ $B\subseteq \mathbb {K}$ $\mathbb {K} ,$ $M_{x}(B)=Bx$ $X,$ $M_{x}$ $\blacksquare$

には無限に多くの異なるベクトル位相が存在する場合: $\dim X=n\geq 2$ $\dim X=n\geq 2$ $X$ $X$
- これらの位相のいくつかをここで説明する。がベクトル空間に同型である上のすべての線型関数は、によって定義される半ノルムを誘導する。ここで、すべての半ノルムは上に (擬似距離化可能な局所凸) ベクトル位相を誘導し、異なる核を持つ半ノルムは異なる位相を誘導するため、特に、異なる核を持つ線型関数によって誘導される上の半ノルムは、上に異なるベクトル位相を誘導する。 $f$ $X,$ $\mathbb {K} ^{n},$ $|f|:X\to \mathbb {R}$ $|f|(x)=|f(x)|$ $\ker f=\ker |f|.$ $X$ $X$ $X.$
- しかし、のとき、上にはベクトル位相が無限に存在するのに対し、TVS 同型を除いて上にはベクトル位相のみが存在する。たとえば、の場合、上のベクトル位相は自明位相、ハウスドルフユークリッド位相から構成され、上の残りの無限個の非自明な非ユークリッドベクトル位相はすべて互いに TVS 同型である。 $X$ $\dim X\geq 2,$ $1+\dim X$ $X.$ $n:=\dim X=2$ $X$ $X$

非ベクトルトポロジー

離散位相と余有限位相

が非自明なベクトル空間（つまり、非ゼロ次元）である場合、上の離散位相（常に距離化可能）はTVS位相ではありません。なぜなら、加算と否定を連続にする（これにより、は加算に関して位相群になる）にもかかわらず、スカラー乗算を連続にすることができないからです。上の余有限位相（部分集合が開集合である場合、かつその補集合が有限である場合に限る）も上のTVS位相ではありません。 $X$ $X$ $X$ $X.$

線形マップ

ある点で連続な 2 つの位相ベクトル空間間の線型作用素は、領域全体でも連続です。さらに、線型作用素は、原点の近傍で有界 (以下に定義) である場合に連続です。 $f$ $f(X)$ $X$

位相ベクトル空間内の超平面は、稠密か閉じているかのいずれかです。位相ベクトル空間上の線型関数は、稠密か閉じた核を持ちます。さらに、は、その核が閉じている場合に限り連続です。 $X$ $f$ $X$ $f$

種類

アプリケーションに応じて、空間の位相構造に追加の制約が課されるのが普通です。実際、関数解析におけるいくつかの主要な結果は、位相ベクトル空間では一般には成り立ちません。閉グラフ定理、開写像定理、空間の双対空間が空間内の点を分離するという事実などです。

以下に、一般的な位相ベクトル空間をいくつか示します。おおよそ「良さ」が増す順に並べられています。

F空間は、平行移動不変計量を持つ完全な位相ベクトル空間である。 ^[25]これには、すべての $L^{p}$ $p>0.$
局所凸位相ベクトル空間: ここで各点は凸集合からなる局所基底を持つ。^[25]ミンコフスキー関数と呼ばれる手法により、空間が局所凸であるためにはその位相が半ノルムの族によって定義できる必要があることが示される。^{[26]局所凸性は、}ハーン・バナッハの定理のような「幾何学的」議論の最低要件である。空間はすべての場合において局所凸(実際はバナッハ空間)であるが、 $L^{p}$ $p\geq 1,$ $0<p<1.$
樽型空間:バナッハ-シュタインハウスの定理が成り立つ局所凸空間。
ボルノロジー空間:任意の局所凸空間への連続線型作用素がまさに有界線型作用素となるような局所凸空間。
ステレオタイプ空間:反射条件の変形を満たす局所凸空間。双対空間は、全有界集合上の一様収束の位相を備えている。
モンテル空間:閉じた有界集合がコンパクトである樽型空間
フレシェ空間: これらは完全な局所凸空間であり、その位相は平行移動不変計量、またはそれと同値な可算な半ノルム族から来ます。多くの興味深い関数空間がこのクラスに分類されます。半ノルムの下でのフレシェ空間です。局所凸F空間はフレシェ空間です。^[25] $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$
LF 空間はフレシェ空間の極限です。ILH 空間はヒルベルト空間の逆極限です。
核空間: 核空間から任意のバナッハ空間へのすべての有界写像が核演算子であるという性質を持つ局所凸空間です。
ノルム空間と半ノルム空間: トポロジーが単一のノルムまたは半ノルムによって記述できる局所凸空間。ノルム空間では、線形演算子が連続となるのは、それが有界である場合のみです。
バナッハ空間: 完全なノルムベクトル空間。関数解析のほとんどはバナッハ空間に対して定式化されます。このクラスには、有界変化の関数の空間と特定の測度の空間が含まれます。 $L^{p}$ $1\leq p\leq \infty ,$ $BV$
反射的バナッハ空間: バナッハ空間は、その二重双対に自然に同型であり（下記参照）、これにより、いくつかの幾何学的議論が実行可能であることが保証される。反射的でない重要な例としては、その双対はであるが、厳密にはの双対に含まれるが挙げられる。 $L^{1}$ $L^{\infty }$ $L^{\infty }.$
ヒルベルト空間: 内積を持ちます。これらの空間は無限次元である場合もありますが、有限次元でよく知られているほとんどの幾何学的推論をこれらの空間で実行できます。これには、空間、ソボレフ空間、ハーディ空間が含まれます。 $L^{2}$ $L^{2}$ $W^{2,k},$
ユークリッド空間:または標準的な内積によって誘導される位相を持つ。前のセクションで指摘したように、与えられた有限に対して、同型を除いて1 次元の位相ベクトル空間のみが存在する。このことから、TVS の任意の有限次元部分空間は閉じているということになる。有限次元の特徴は、ハウスドルフ TVS が局所的にコンパクトであるためには、それが有限次元である (したがって、何らかのユークリッド空間と同型である) 必要があるということである。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $n,$ $n$

デュアルスペース

あらゆる位相ベクトル空間には連続双対空間、つまり空間から基底体への連続線型写像、すべての連続線型関数の集合が存在する。双対上の位相は、双対の各点の評価が連続するような最も粗い位相として定義できる。これにより、双対は局所凸位相ベクトル空間になる。この位相は弱*位相と呼ばれる。^[27]これは双対空間上の唯一の自然な位相ではないかもしれない。たとえば、ノルム空間の双対には自然なノルムが定義されている。しかし、これはコンパクト性の性質があるため、応用において非常に重要である（バナッハ–アラオグルの定理を参照）。注意：が非ノルム局所凸空間である場合、どのベクトル空間位相を選択しても、ペアリング写像が連続になることはない。位相ベクトル空間に非自明な連続双対空間が存在するのは、それが原点の適切な凸近傍を持つ場合のみである。^[28] $X'$ $\mathbb {K} .$ $X'\to \mathbb {K}$ $X$ $X'\times X\to \mathbb {K}$ $X'.$

プロパティ

任意の TVSについて、の凸包(それぞれ、平衡、円板、閉じた凸包、閉じた平衡、閉じた円板)は、この特性を持ち、を含むの最小の部分集合です。集合の閉包 (それぞれ、内部、凸包、平衡包、円板包) は、 (それぞれ、 )と表記されることがあります。 $S\subseteq X$ $X,$ $S$ $X$ $S.$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S,$ $\operatorname {co} S,$ $\operatorname {bal} S,$ $\operatorname {cobal} S$

部分集合の凸包は、が整数で、の合計がとなるような有限線型結合である要素のすべての凸結合の集合に等しい。^[29]任意の凸集合族の共通部分は凸であり、部分集合の凸包はそれを含むすべての凸集合の共通部分に等しい。^[29] $\operatorname {co} S$ $S$ $S,$ $t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}$ $n\geq 1$ $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ $t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]$ $1.$

近隣地域とオープンセット

近傍と開集合の性質

あらゆるTVSは連結^[6]かつ局所連結^[30]であり、TVSの連結開部分集合はいずれも弧連結である。およびがの開部分集合であればは[ 6 ] の開集合であり^、の内部が空でない場合は原点の近傍である。^[6] $S\subseteq X$ $U$ $X$ $S+U$ $X$ $S\subseteq X$ $S-S$

TVSの開凸集合（必ずしもハウスドルフ凸や局所凸である必要はない）は、ある正連続部分線型関数と^[28] $X$ $z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}$ $z\in X$ $p$ $X.$

がTVS内の吸収ディスクであり、がのミンコフスキー汎関数である場合、[ 31 ^]で重要なのは、が何らかの位相的性質を持つことや、が連続的であること（が原点の近傍である場合に限る）が仮定されていないことである。 $K$ $X$ $p:=p_{K}$ $K$ $\operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K$ $K$ $p$ $K$

とを2つのベクトル位相とする。すると、のネットがで収束するときはいつでもで収束する、となる。 ^[32] $\tau$ $\nu$ $X.$ $\tau \subseteq \nu$ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ $X$ $0$ $(X,\nu )$ $x_{\bullet }\to 0$ $(X,\tau ).$

をにおける原点の近傍基底とし、とすると、（でインデックス付けされた）にネットが存在して、においてとなる場合のみである。 ^[33]これは特に、任意の有向集合上のネットではなく、原点の近傍基底でインデックス付けされたネットを考慮すれば十分であることが多いことを示している。 ${\mathcal {N}}$ $X,$ $S\subseteq X,$ $x\in X.$ $x\in \operatorname {cl} _{X}S$ $s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ $S$ ${\mathcal {N}}$ $s_{\bullet }\to x$ $X.$

が、それ自体が第2のカテゴリに属するTVS （つまり、非貧弱空間）である場合、の任意の閉凸吸収部分集合は原点の近傍である。^[34]集合が凸でない場合（にも反例が存在する）、またはがそれ自体が第2のカテゴリに属さない場合、これは保証されなくなる。^[34] $X$ $X$ $X=\mathbb {R} ^{2}$ $X$

インテリア

およびの内部が空でない場合、および $R,S\subseteq X$ $S$ $\operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)$ $\operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).$

円板の位相的内部が空でないのは、この内部が原点を含む場合のみである。^[35] より一般的には、TVS においてが空でない内部を持つバランスのとれた集合である場合、は必然的にバランスがとれる。 ^[6]したがって、がバランスのとれた集合である場合、それは原点を含む場合のみである。^{[証明 2]}この (すなわち) が真であるためには、が凸であること (バランスがとれていて内部が空でないことに加えて) で十分である。[ ^6]が凸でもない場合は、結論は偽である可能性がある。 ^[35]たとえば、閉じたバランスのとれた集合の内部では $S$ $\operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing$ $X$ $\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S$ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $S$ $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $S$ $X:=\mathbb {R} ^{2},$ $S:=\{(x,y):xy\geq 0\}$ $\{(x,y):xy>0\}.$

が凸ならば、 ^[36] 明示的には、がTVSの凸部分集合（必ずしもハウスドルフ凸または局所凸である必要はない）であれば、とを結ぶ開線分はの内部に属し、つまり、^[37]^[38]^[証明3] $C$ $0<t\leq 1,$ $t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.$ $C$ $X$ $y\in \operatorname {int} _{X}C,$ $x\in \operatorname {cl} _{X}C$ $x$ $y$ $C;$ $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.$

が原点の任意のバランスのとれた近傍である場合、すべてのスカラーの集合は $N\subseteq X$ $X$ ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ $B_{1}$ $a$ $|a|<1.$

が凸集合の内部に属し、半開線分であり、^{[37] がにおける}均衡近傍である場合、形式の交差（実TVS におけるの凸対称近傍）を考慮すると、次の式が成り立ちます。さらに、である場合、である場合、である場合、 $x$ $S\subseteq X$ $y\in \operatorname {cl} _{X}S,$ $[x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y$ $[x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.$ $N$ $0$ $X$ $B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},$ $N\cap \mathbb {R} x$ $0$ $\mathbb {R} x$ $\operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,$ $x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}$ $r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,$ $r\neq \infty$ $rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.$

非ハウスドルフ空間と原点の閉包

位相ベクトル空間がハウスドルフであるための必要十分条件は、がの閉部分集合である場合、またはそれと同値として、がである場合、およびである場合に限ります。はのベクトル部分空間であるため、の閉包についても同様であり、これはにおける原点の閉包と呼ばれます。このベクトル空間はを満たすため、特に、における原点のすべての近傍には、ベクトル空間が部分集合として含まれます。上の部分空間位相は常に自明位相であり、これは特に、位相ベクトル空間がコンパクト空間であること（その次元がゼロでない場合や無限大であっても）を意味し、したがっての有界部分集合でもあります。実際、TVS のベクトル部分空間が有界であるための必要十分条件は、の閉包に含まれることです。^[14] のすべての部分集合は自明位相でもあるため、はコンパクトで、したがって完全な部分空間でもあります（証明については脚注を参照）。^{[証明 4]}特に、がハウスドルフでない場合、で閉じていないコンパクトかつ完全な部分集合が存在します。^[39]例えば、これは任意の空でない真部分集合に対して当てはまる。 $X$ $\{0\}$ $X,$ $\{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ $\{0\}$ $X,$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ $X.$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$ $\{0\}.$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

がコンパクトであれば、この集合はコンパクトである。したがって、TVS のコンパクト部分集合の閉包はコンパクトである（言い換えれば、すべてのコンパクト集合は相対的にコンパクトである）^{[40] 。これは任意の非ハウスドルフ}位相空間では保証されない。^{[注 6]} $S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

すべての部分集合に対して、したがって、がで開または閉である場合、 ^{[証明 5] と}なります(したがって、この任意の開または閉部分集合は、垂直辺がベクトル空間である「チューブ」として記述できます)。この TVS の任意の部分集合に対して、以下は同値です。 $S\subseteq X,$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ $S\subseteq X$ $X$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\subseteq X$ $X,$

$S$ 完全に制限されています。
$S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ 完全に制限されている。^[41]
$\operatorname {cl} _{X}S$ 完全に制限されている。^[42]^[43]
正準商写像の下の像は完全に有界である。^[41] $S$ $X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$

がTVSのベクトル部分空間である場合、がハウスドルフであるためには、が閉じている必要がある。さらに、商写像は常に（必然的に）ハウスドルフTVSへの閉じた写像である。 ^[44] $M$ $X$ $X/M$ $M$ $X.$ $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

の代数的補集合である（つまり、およびを満たすベクトル部分空間）のベクトル部分空間はすべて、の位相的補集合である。したがって、がの代数的補集合である場合、によって定義される加法写像はTVS 同型であり、は必然的にハウスドルフであり、は離散位相を持つ。^[45]さらに、がのハウスドルフ完備化である場合、はの完備化である^[41]。 $X$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $H$ $\{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ $H$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,$ $(h,n)\mapsto h+n$ $H$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $C$ $H$ $C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

閉じたコンパクトな集合

コンパクトかつ完全に有界な集合

TVS の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが完全かつ全有界である場合である。^[39]したがって、完全な位相ベクトル空間では、閉じた全有界部分集合はコンパクトである。^[39] TVS の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、が全有界である場合である。^[42]^[43]全有界であるための必要十分条件は、正準商写像によるその像が全有界である場合である。^[41] $S$ $X$ $\operatorname {cl} _{X}S$ $X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$

相対的にコンパクトな集合はすべて完全に有界であり^[39]、完全に有界な集合の閉包も完全に有界である。^[39] 一様連続写像（例えば連続線型写像）による完全に有界な集合の像は完全に有界である。^[39]がTVS のサブセットで、内のすべてのシーケンスがにクラスター点を持つ場合、は完全に有界である。^[41] $S$ $X$ $S$ $S$ $S$

がTVSのコンパクト部分集合であり、がを含む開部分集合である場合、 0の近傍が存在し、 ^[46] $K$ $X$ $U$ $X$ $K,$ $N$ $K+N\subseteq U.$

閉包と閉集合

任意の TVS の任意の凸部分集合 (それぞれ、任意の平衡部分集合、任意の吸収部分集合) の閉包には、この同じ特性があります。特に、任意の凸部分集合、平衡部分集合、吸収部分集合の閉包はバレルです。

TVS のベクトル部分空間の閉包はベクトル部分空間である。ハウスドルフ TVS のすべての有限次元ベクトル部分空間は閉じている。閉じたベクトル部分空間と有限次元ベクトル部分空間の和は閉じている。^[6]がのベクトル部分空間であり、がにおける原点の閉近傍でがで閉じている場合、はで閉じている。 ^[46] コンパクト集合と閉集合の和は閉じている。しかし、2 つの閉じた部分集合の和は閉じていないことがある^[6] (例についてはこの脚注^{[注 7]}を参照)。 $M$ $X$ $N$ $X$ $U\cap N$ $X$ $M$ $X.$

がスカラーであり、がハウスドルフである場合、等式が成立する。特に、閉集合のゼロでないスカラー倍数はすべて閉じている。がスカラー集合であり、どちらにもゼロが含まれない場合、 ^[47] $S\subseteq X$ $a$ $a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),$ $X$ $a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing$ $\operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq X$ $A$ $\operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A$ $\left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).$

ならば凸である。^[47] $S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S$ $\operatorname {cl} _{X}S$

ならば^[6]であり、従って、が閉じているならば^[47]も閉じている。 $R,S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)$ $R+S$ $\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).$

が実 TVS であり、左側が上の位相に依存しない場合、さらに、が原点の凸近傍である場合、等式が成立します。 $X$ $S\subseteq X,$ $\bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$ $X;$ $S$

が原点の任意の近傍基数である任意の部分集合に対して^[48] しかし、およびは、この包含が適切である可能性がある^[49]（たとえば、およびが有理数の場合）。したがって、^[50]の原点の任意の近傍に対して $S\subseteq X,$ $\operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)$ ${\mathcal {N}}$ $X.$ $\operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}$ $X=\mathbb {R}$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U$ $U$ $X.$

密閉型船体

局所凸空間では、有界集合の凸包は有界である。これは一般的なTVSには当てはまらない。^[14]

集合の閉じた凸包はその集合の凸包の閉包に等しい。つまり、^{[6]に等しい。} $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$
集合の閉じた平衡包は、その集合の平衡包の閉包に等しい。つまり、^{[6]に等しい。} $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).$
集合の閉じた円板包はその集合の円板包の閉包に等しい。つまり、^{[51]に等しい。} $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).$

および集合の一方の閉凸包がコンパクトである場合、^[51]それぞれがコンパクトな閉凸包を持つ場合（つまり、およびがコンパクトである場合）、^[51] $R,S\subseteq X$ $S$ $R$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$ $R,S\subseteq X$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)$ $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].$

船体とコンパクトさ

一般的なTVSでは、コンパクト集合の閉じた凸包はコンパクトでない場合があります。コンパクト（または完全に有界）集合のバランスのとれた包は同じ性質を持っています。^{[6]コンパクト}凸集合の有限和の凸包は、やはりコンパクトかつ凸です。^[6]

その他のプロパティ

貧弱で、どこにも密集しておらず、ベール

TVS内の円板は、その閉包が原点の近傍である場合に限り、どこにも稠密ではない。[ 9 ] ^TVS のベクトル部分空間は閉じているが開いていないため、どこにも稠密ではない。^[9]

が離散位相を持たないTVSであるとする。このとき、がベール空間であることは、に均衡のとれた吸収どこにも稠密でない部分集合が存在しない場合に限ります。^[9] $X$ $X$ $X$

TVSがベール空間となるのは、が非乏しい場合であり、それが成り立つのは、どこにも稠密でない集合が存在しない場合であり、^[9] すべての非乏しい局所凸 TVS は樽型空間である。^[9] $X$ $X$ $D$ ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$

重要な代数的事実とよくある誤解

が凸の場合、等式が成立します。等式が成立しない例として、をゼロ以外にしてを設定することもできます。 $S\subseteq X$ $2S\subseteq S+S$ $S$ $x$ $S=\{-x,x\};$ $S=\{x,2x\}$

部分集合が凸集合であるのは、すべての正の実数に対して^[29]の場合に限ります。または、すべての正の実数に対して^{[52]の場合に限ります。} $C$ $(s+t)C=sC+tC$ $s>0{\text{ and }}t>0,$ $tC+(1-t)C\subseteq C$ $0\leq t\leq 1.$

集合の凸平衡包は、平衡包の凸包に等しい。つまり、に等しい。しかし一般に、凸集合の平衡包は必ずしも凸である必要はないので、包含は厳密である可能性がある（にも反例が存在する）。 $S\subseteq X$ $S;$ $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$ $\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$ $\mathbb {R} ^{2}$

とがスカラーならば[ ^{6] が}凸非空集合であり、または $R,S\subseteq X$ $a$ $a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.$ $R,S\subseteq X$ $x\not \in R\cup S,$ $S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing$ $R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .$

任意の非自明なベクトル空間には、互いに交わらない空でない凸集合が2つ存在し、その和は $X,$ $X.$

その他のプロパティ

あらゆるTVS位相はF 半正規分布の族によって生成することができる。^[53]

が何らかの単項述語（に依存する真偽のステートメント）である場合、任意のに対してとなります^{[証明 6]} たとえば、が「」を表す場合、任意のに対してとなります同様に、がスカラーである場合、これらの集合の要素は、単なるサブセットではなくベクトル空間（つまり、上）にわたる必要があります。そうでない場合、これらの等式は保証されなくなります。同様に、はこのベクトル空間（つまり、）に属している必要があります。 $P(x)$ $x\in X$ $z\in X,$ $z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.$ $P(x)$ $\|x\|<1$ $z\in X,$ $z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.$ $s\neq 0$ $s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.$ $x\in X$ $X$ $z$ $z\in X$

集合演算子によって保持される特性

コンパクトな（それぞれ、完全に有界な、開いた）集合のバランスのとれた包は同じ性質を持っています。^[6]
2つのコンパクトな（それぞれ有界、バランス、凸）集合の（ミンコフスキー）和は同じ性質を持ちます。 ^[6]しかし、2つの閉じた集合の和は閉じている必要はありません。
平衡集合（または開集合）の凸包は平衡集合（または開集合）である。しかし、閉集合の凸包は必ずしも閉じている必要はない。^[6]また、有界集合の凸包は有界である必要はない。

次の表では、各セルの色は、サブセットの特定のプロパティ(列名で示され、たとえば「凸型」) がセット演算子 (行名で示され、たとえば「閉包」) で保持されるかどうかを示します。すべての TVS で、指定されたセット演算子でプロパティが保持される場合、そのセルは緑色に、そうでない場合は赤色に色付けされます。 $X$

たとえば、2 つの吸収集合の結合は再び吸収するので、行「」と列「吸収」のセルは緑色になります。ただし、吸収集合の任意の交差は吸収する必要がないので、行「任意の交差 (少なくとも 1 つの集合)」と列「吸収」のセルは赤色になります。セルが色付けされていない場合は、その情報はまだ入力されていません。 $R\cup S$

参照

バナッハ空間 – 完全なノルムベクトル空間
完全体 - 計量に対して完全な代数構造
ヒルベルト空間 – 位相ベクトル空間の一種
液体ベクトル空間 – 凝縮集合を用いた数学の分野
ノルム空間 – 距離が定義されるベクトル空間
局所コンパクト体
局所コンパクト群 - 基礎となる位相が局所コンパクトかつハウスドルフである位相群。そのためハール測度を定義できる。
局所コンパクト量子群 – 量子群に対する比較的新しい C* 代数的アプローチ
局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
順序付き位相ベクトル空間
位相アーベル群 - 群がアーベルである位相群
位相体 – 加算、乗算、除算を伴う代数構造
位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
トポロジカルモジュール
位相環 – 環演算が連続する環
位相半群 – 連続演算を伴う半群
位相ベクトル格子

注記

^ もちろん、位相的な特性により、TVS であることも必要になります。 $X$
^ 特に、集合が閉じている場合（つまり、がT ₁ 空間である場合）は、がハウスドルフである必要十分条件です。 $X$ $\{0\}$ $X$
^ 実際、証明ではスカラー乗算を使用しないため、これは位相群にも当てはまります。
^ 計量線型空間とも呼ばれ、加算とスカラー乗算が連続する変換不変計量を伴う実ベクトル空間または複素ベクトル空間であることを意味します。
^ 部分和の列が収束する場合、その級数はTVS で収束すると言われます。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$
^ 一般位相では、非ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の閉包はコンパクトでないことがある（例えば、無限集合上の特定の点位相）。この結果は、非ハウスドルフTVSではこれが起こらないことを示している。はコンパクトであるのは、連続加算写像の下でのコンパクト集合の像だからである。コンパクト集合（つまり、）と閉集合の和は閉じているので、は閉じていることも思い出してほしい。 $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$
^ 軸の和と、軸の補集合であるグラフは、で開いている。ミンコフスキー和はの可算な稠密部分集合なので、では閉じていない。 $\mathbb {R} ^{2},$ $y$ $y={\frac {1}{x}},$ $y$ $\mathbb {R} ^{2}.$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

証明

^ この条件は、がのすべての位相文字列の集合を表す場合に満たされます。 $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$
^ これは、空でないすべてのバランスのとれた集合は必ず原点を含むためであり、 $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.$
^ を 固定すると、がに属することを示すことが残ります。必要であればをに置き換えることで、一般性を失うことなくと仮定することができ、したがってが原点の近傍であることを示すことが残ります。をとします。によるスカラー乗算は線型同相写像なので、およびより、が開集合なので、を満たすものが存在することが従います。によってが同相写像であるためと定義します。集合はの開集合であり、はさらにを含みます。するとは凸集合なので、が証明されます。したがってはの開集合であり、は原点を含み、に含まれるQED $0<r<1$ $w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y$ $\operatorname {int} _{X}C.$ $C,x,y$ $C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}$ $rx+(1-r)y=0,$ $C$ $s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0$ $y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.$ $s\neq 0$ $X\to X,$ $\operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.$ $x\in \operatorname {int} C$ $y\in \operatorname {cl} C,$ $x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C$ $\operatorname {int} C$ $c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,$ $sc_{0}\in C.$ $h:X\to X$ $x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},$ $0<r<1.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ $c\in \operatorname {int} C$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ $C$ $0<r<1,$ $sc_{0},c\in C,$ $h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ $C.$
^ は自明な位相を持つので、その各部分集合も自明な位相を持ち、それらはすべてコンパクトになります。任意の一様空間の部分集合がコンパクトであるためには、それが完全かつ全有界であることが知られています。 $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$
^ ならばが閉じている場合、等式が成り立つため。がベクトル空間であるという事実を使用すると、等式を満たす任意の集合のにおける補集合もこの等式を満たす必要があることが容易に検証されます (をに置き換えた場合)。 $s\in S$ $s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $X\setminus S$ $S$
^ そしてこれを用いるとQEDと等しい $z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}$ $y=z+x$ $z+X=X,$ $\{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.$ $\blacksquare$

引用

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文献

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さらに読む

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外部リンク

ウィキメディア・コモンズの位相ベクトル空間に関連するメディア

[10] もちろん、位相的な特性により、TVS であることも必要になります。 $X$

[14] 特に、集合が閉じている場合（つまり、がT ₁ 空間である場合）は、がハウスドルフである必要十分条件です。 $X$ $\{0\}$ $X$

[20] 実際、証明ではスカラー乗算を使用しないため、これは位相群にも当てはまります。

[21] 計量線型空間とも呼ばれ、加算とスカラー乗算が連続する変換不変計量を伴う実ベクトル空間または複素ベクトル空間であることを意味します。

[27] 部分和の列が収束する場合、その級数はTVS で収束すると言われます。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ $X$

[50] 一般位相では、非ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の閉包はコンパクトでないことがある（例えば、無限集合上の特定の点位相）。この結果は、非ハウスドルフTVSではこれが起こらないことを示している。はコンパクトであるのは、連続加算写像の下でのコンパクト集合の像だからである。コンパクト集合（つまり、）と閉集合の和は閉じているので、は閉じていることも思い出してほしい。 $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $S\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X.$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X.$

[58] 軸の和と、軸の補集合であるグラフは、で開いている。ミンコフスキー和はの可算な稠密部分集合なので、では閉じていない。 $\mathbb {R} ^{2},$ $y$ $y={\frac {1}{x}},$ $y$ $\mathbb {R} ^{2}.$ $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Z} +{\sqrt {2}}\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

[11] この条件は、がのすべての位相文字列の集合を表す場合に満たされます。 $\mathbb {S}$ $(X,\tau ).$

[42] これは、空でないすべてのバランスのとれた集合は必ず原点を含むためであり、 $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ $\operatorname {Int} _{X}S=\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S.$

[46] ^ を 固定すると、がに属することを示すことが残ります。必要であればをに置き換えることで、一般性を失うことなくと仮定することができ、したがってが原点の近傍であることを示すことが残ります。をとします。によるスカラー乗算は線型同相写像なので、およびより、が開集合なので、を満たすものが存在することが従います。によってが同相写像であるためと定義します。集合はの開集合であり、はさらにを含みます。するとは凸集合なので、が証明されます。したがってはの開集合であり、は原点を含み、に含まれるQED $0<r<1$ $w_{0}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~rx+(1-r)y$ $\operatorname {int} _{X}C.$ $C,x,y$ $C-w_{0},x-w_{0},y-w_{0}$ $rx+(1-r)y=0,$ $C$ $s~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\tfrac {r}{r-1}}<0$ $y={\tfrac {r}{r-1}}x=sx.$ $s\neq 0$ $X\to X,$ $\operatorname {cl} _{X}\left({\tfrac {1}{s}}C\right)={\tfrac {1}{s}}\operatorname {cl} _{X}C.$ $x\in \operatorname {int} C$ $y\in \operatorname {cl} C,$ $x={\tfrac {1}{s}}y\in \operatorname {cl} \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C$ $\operatorname {int} C$ $c_{0}\in \left({\tfrac {1}{s}}C\right)\cap \operatorname {int} C,$ $sc_{0}\in C.$ $h:X\to X$ $x\mapsto rx+(1-r)sc_{0}=rx-rc_{0},$ $0<r<1.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ ${\textstyle h(c_{0})=rc_{0}-rc_{0}=0.}$ $c\in \operatorname {int} C$ ${\textstyle h(c)=rc+(1-r)sc_{0}\in C}$ $C$ $0<r<1,$ $sc_{0},c\in C,$ $h\left(\operatorname {int} C\right)\subseteq C.$ $h\left(\operatorname {int} C\right)$ $X$ $C.$

[47] は自明な位相を持つので、その各部分集合も自明な位相を持ち、それらはすべてコンパクトになります。任意の一様空間の部分集合がコンパクトであるためには、それが完全かつ全有界であることが知られています。 $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$

[ProofSumOfSetAndClosureOf0-51] ならばが閉じている場合、等式が成り立つため。がベクトル空間であるという事実を使用すると、等式を満たす任意の集合のにおける補集合もこの等式を満たす必要があることが容易に検証されます (をに置き換えた場合)。 $s\in S$ $s+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\operatorname {cl} _{X}(s+\{0\})=\operatorname {cl} _{X}\{s\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S.$ $S\subseteq S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ $S$ $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ $X$ $S$ $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ $X\setminus S$ $S$

[66] そしてこれを用いるとQEDと等しい $z+\{x\in X:P(x)\}=\{z+x:x\in X,P(x)\}=\{z+x:x\in X,P((z+x)-z)\}$ $y=z+x$ $z+X=X,$ $\{y:y-z\in X,P(y-z)\}=\{y:y\in X,P(y-z)\}=\{y\in X:P(y-z)\}.$ $\blacksquare$

[FOOTNOTERudin19914-5_§1.3-1] ルディン 1991、p.4-5 §1.3。

[FOOTNOTEKöthe198391-2] Köthe 1983、91ページ。

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[FOOTNOTEGrothendieck197334–36-4] グロタンディーク 1973、34-36頁。

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[FOOTNOTEWilansky201353-13] ウィランスキー 2013、53ページ。

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