可解群

最小のガロア体拡張${\displaystyle \mathbb {Q} }$要素を含む

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

可解群を与える。関連する体拡大

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

次の合成因子を含むガロア拡張の可解群を与える（ただし${\displaystyle 1}$は恒等置換です。

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$グループ活動と共に${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$、最小多項式${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$グループ活動と共に${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$、最小多項式${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$グループ活動と共に${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2^{n}im\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$、最小多項式${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$1の5乗根を含むが、${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$グループ活動と共に${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$、最小多項式${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

定義グループアクションのそれぞれ（例えば、${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$）他のすべての拡張機能を固定したまま、単一の拡張機能を変更します。80個のグループアクションは、${\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}$。

この群はアーベル群ではありません。例えば、${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$一方${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$実際には、${\displaystyle jh=hj^{3}}$。

それは同型である${\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$、 どこ${\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$は、環状群の半直積と直積を用いて定義される。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$これは通常のサブグループではありません。

可解群の基本的な例はアーベル群です。アーベル群は、群自身と自明群だけで劣正規級数が形成されるため、自明に可解です。しかし、非アーベル群は可解である場合とそうでない場合があります。

より一般的に言えば、すべての冪零群は可解群である。特に、すべての有限p群は冪零群であるため、有限p群は可解群である。

群の拡張は、可解群の典型的な例を形成する。つまり、${\displaystyle G}$そして${\displaystyle G'}$可解群であれば、任意の拡張

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

可解群を定義する${\displaystyle G''}$実際、すべての可解群は、このような群の拡張から構成することができる。

可解で冪零でない群の小さな例として、対称群S ₃が挙げられます。実際、最小の単純非可換群はA ₅（次数 5 の交代群）であるため、位数が 60 未満のすべての群は可解であることがわかります。

フェイト＝トンプソンの定理は、奇数位数の有限群はすべて可解群であることを述べている。特に、これは有限群が単純群であれば、素巡回群であるか偶数位数であるかのいずれかであることを意味する。

群S ₅は可解群ではありません。合成列 {E, A ₅ , S ₅ } を持ち（ジョルダン・ヘルダーの定理によれば、他のすべての合成列はこれと同値です）、A ₅およびC ₂と同型な因子群を与えます。また、A _{5 は}アーベル群ではありません。この議論を一般化し、n > 4の場合、 A _{n が}S _nの正規かつ極大な非アーベル単純部分群であるという事実と組み合わせると、 n > 4 の場合、 S _{n は}可解群ではないことがわかります。これは、n > 4の場合、次数nの多項式が根号で解けないことを証明する重要なステップです（アーベル・ルフィニの定理）。この性質は、複雑性理論におけるバリントンの定理の証明にも使用されています。

サブグループについて考えてみましょう

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$の${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

ある分野について${\displaystyle \mathbb {F} }$すると、グループ商は${\displaystyle B/U}$の任意の要素を取ることで見つけることができる${\displaystyle B,U}$それらを掛け合わせて、どのような構造になるかを調べます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

行列式の条件に注意してください${\displaystyle GL_{2}}$暗示する${\displaystyle ac\neq 0}$したがって${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$は部分群です（行列は${\displaystyle b=0}$)固定の場合${\displaystyle a,b}$線形方程式${\displaystyle ad+b=0}$暗示する${\displaystyle d=-b/a}$これは、${\displaystyle \mathbb {F} }$以来${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$任意の行列を${\displaystyle B}$そしてそれを行列で乗算します

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

と${\displaystyle d=-b/a}$対角行列は${\displaystyle B}$これは商のグループを示しています${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$。

線形代数群の場合${\displaystyle G}$ボレル部分群は、閉集合、連結集合、可解集合である部分群として定義される。${\displaystyle G}$、そして はこれらの性質を持つ最大可能な部分群です（最初の 2 つは位相的性質であることに注意してください）。たとえば、 では${\displaystyle GL_{n}}$そして${\displaystyle SL_{n}}$上三角行列または下三角行列の群は、ボレル部分群の 2 つです。上記の例では、部分群${\displaystyle B}$で${\displaystyle GL_{2}}$はボレル部分群である。

p-シロー部分群が巡回群である有限群は、 2つの巡回群の半直積であり、特に可解群である。このような群はZ群と呼ばれる。

可解性の強化として、群Gは、すべての因子が巡回的である不変正規列を持つ場合、超可解（または超可解）であると呼ばれる。正規列は定義により有限長であるため、非可算群は超可解ではない。実際、すべての超可解群は有限生成であり、アーベル群は有限生成である場合に限り超可解である。交代群A ₄は、超可解ではない有限可解群の例である。

有限生成群に限定すると、群のクラスは次のように分類できる。

巡回群<アーベル群<冪零群<超可解群<多巡回群<可解群<有限生成群。

群Gは、有限指数の可解部分群を持つ場合、実質的に可解であると呼ばれます。これは実質的にアーベル群に似ています。明らかに、すべての可解群は実質的に可解です。なぜなら、指数 1 を持つ群自体を選択すればよいからです。実質的に可解な群は、有限生成線形群に関するTits の選択肢の 2 つの選択肢のうちの 1 つです。

可解群とは、導来系列が有限段階で自明な部分群に到達する群のことである。無限群の場合、有限導来系列は安定化しないかもしれないが、超限導来系列は常に安定化する。超限導来系列が自明な群に到達する群を準アーベル群^{と呼び、すべての可解群は準アーベル群である。G ( α )} = G ^{( α +1)}となる最初の順序数αを群Gの（超限）導来長と呼び、すべての順序数は何らかの群の導来長であることが証明されている（Malcev 1949 ）。

有限群は、合成列のすべての因子がp-群であるか、または p と素数である場合に、ある素数 p に対して p-可解である。有限群は、すべての p に対して p-可解である場合に限り可解である。 ^{[ 4 ]}