測定（数学）

任意の可算数列${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$（必ずしも互いに素ではない）可測集合の${\displaystyle E_{n}}$で${\displaystyle \Sigma$ :} $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

もし${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$は増加している測定可能な集合です（つまり、${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$）そして集合の和集合${\displaystyle E_{n}}$測定可能であり、 $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i})。}$$

もし${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$は減少する測定可能な集合です（つまり、${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$）そして集合の共通部分${\displaystyle E_{n}}$測定可能である。さらに、少なくとも1つが${\displaystyle E_{n}}$有限測度を持つ $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

この性質は、少なくとも１つが${\displaystyle E_{n}}$有限測度を持つ。例えば、各${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$させて${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$これらはすべて無限のルベーグ測度を持つが、共通部分は空集合である。

• すべてのσ有限測度は半有限測度である。
• 仮定する${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$させて${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$そして仮定する${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$すべての人々のために${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • 私たちはそれを持っています${\displaystyle \mu }$がシグマ有限であるのは、${\displaystyle f(x)<+\infty }$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$は可算名詞です。${\displaystyle \mu }$半有限であるのは、${\displaystyle f(x)<+\infty }$すべての人々のために${\displaystyle x\in X.}$^{[ 8 ]}
  • 取${\displaystyle f=X\times \{1\}}$上記（そのため）${\displaystyle \mu }$カウント尺度は${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$) では、計数尺度が${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$は
    • σ有限であるのは、${\displaystyle X}$は可算名詞であり、
    • 半有限（${\displaystyle X}$（可算である）。（したがって、冪集合上の計数尺度）${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$任意の非可算集合の${\displaystyle X,}$（これは、シグマ有限ではない半有限測度の例を示している。）
• させて${\displaystyle d}$完全で分離可能な指標である${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle {\cal {B}}}$によって誘導されるボレルσ代数とする。${\displaystyle d,}$そして${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$次にハウスドルフ測度${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$半有限である。^{[ 9 ]}
• させて${\displaystyle d}$完全で分離可能な指標である${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle {\cal {B}}}$によって誘導されるボレルσ代数とする。${\displaystyle d,}$そして${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$次に梱包寸法${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$半有限である。^{[ 10 ]}

ゼロ測度はシグマ有限であり、したがって半有限である。さらに、ゼロ測度は明らかに以下である。${\displaystyle \mu .}$これら2つの性質を持つ最大の尺度が存在することが示される。

半有限部分${\displaystyle \mu }$半有限尺度を意味する${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$上記の定理で定義されています。半有限部分については、いくつかの分かりやすい明示的な公式を示します。この公式は、一部の著者にとっては定義として解釈されるかもしれません。

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^{[ 13 ]}

以来${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$が半有限である場合、${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$それから${\displaystyle \mu }$は半有限である。また、もし${\displaystyle \mu }$半有限である場合${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

毎${\displaystyle 0-\infty }$ゼロ測度でない測度は半有限ではない。（ここでは、${\displaystyle 0-\infty }$測定とは、範囲が${\displaystyle \{0,+\infty \}}$:${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$以下に例を示します${\displaystyle 0-\infty }$ゼロではない指標。

• させて${\displaystyle X}$空でないと、${\displaystyle {\cal {A}}}$になる${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$はゼロ関数ではなく、${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$次のように証明できる。${\displaystyle \mu }$は尺度です。
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^{[ 14 ]}
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^{[ 15 ]}
• させて${\displaystyle X}$不可算名詞とする${\displaystyle {\cal {A}}}$になる${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$数えられる要素である${\displaystyle {\cal {A}},}$そして${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$次のように証明できる。${\displaystyle \mu }$は尺度である。^{[ 7 ]}

半有限でない測度は、特定の集合に制限すると非常に不安定になる。^{[注1 ]}ある意味では、すべての測度は、${\displaystyle 0-\infty }$その一部（野生の部分）が取り除かれる。

私たちは言う${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$の一部${\displaystyle \mu }$尺度を意味する${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$上記の定理で定義されています。以下に明示的な式を示します。${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$:${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

• させて${\displaystyle \mathbb {F} }$なれ${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} ,}$そして${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$それから${\displaystyle \mu }$半有限であるのは、${\displaystyle T}$は単射である。^{[ 18 ] [ 19 ]} （この結果は、双対空間の研究において重要である。${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$）
• させて${\displaystyle \mathbb {F} }$なれ${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} ,}$そして${\displaystyle {\cal {T}}}$測度における収束の位相は${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$それから${\displaystyle \mu }$半有限であるのは、${\displaystyle {\cal {T}}}$ハウスドルフである。^{[ 20 ] [ 21 ]}
• （ジョンソン）${\displaystyle X}$集合とする${\displaystyle {\cal {A}}}$シグマ代数である${\displaystyle X,}$させて${\displaystyle \mu }$測定する${\displaystyle {\cal {A}},}$させて${\displaystyle Y}$集合とする${\displaystyle {\cal {B}}}$シグマ代数である${\displaystyle Y,}$そして${\displaystyle \nu }$測定する${\displaystyle {\cal {B}}.}$もし${\displaystyle \mu ,\nu }$どちらも${\displaystyle 0-\infty }$測定してから両方${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \nu }$半有限であるのは、${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$すべての人々のために${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$そして${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$（ここ、${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$これは、Berberian '65 の定理 39.1 で定義されている尺度である。^{[ 22 ]}