オペレーターの理想

数学の一分野である関数解析において、作用素イデアルは、バナッハ空間間の連続線型作用素の特別な種類のクラスです。 作用素が作用素イデアルに属する場合、とを合成できる任意の作用素およびに対して、もクラスになります。 さらに、 が作用素イデアルであるためには、有限階数のバナッハ空間作用素のクラスをすべて含んでいる必要があります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle T}$${\displaystyle BTA}$${\displaystyle BTA}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

任意のバナッハ空間間に作用する連続線型作用素のクラスを とします。 の任意のサブクラスと同じ体 上の任意の 2 つのバナッハ空間 および に対して、となる形式の連続線型作用素の集合によって と表します。この場合、は の成分であると言います。 作用素イデアルはのサブクラスであり、1 次元バナッハ空間に作用するすべての恒等作用素を含み、同じ体 上の任意の2 つのバナッハ空間およびに対して、 に対する次の 2 つの条件が満たされます。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$

（１）もし、${\displaystyle S,T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$${\displaystyle S+T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$

(2)および がおよび上のバナッハ空間であり、 である場合、 となる。${\displaystyle W}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}(W,X)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {L}}(Y,Z)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {J}}(X,Y)}$${\displaystyle BTA\in {\mathcal {J}}(W,Z)}$

演算子イデアルは、次のような優れた特性を備えています。

• 作用素イデアルのあらゆる成分はの線形部分空間を形成しますが、一般にこれはノルム閉じである必要はありません。${\displaystyle {\mathcal {J}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)}$
• すべての演算子イデアルには、すべての有限ランク演算子が含まれます。特に、有限ランク演算子は最小の演算子イデアルを形成します。
• 各演算子イデアルに対して、形式の各要素は代数的な意味でイデアルを形成します。${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}(X):={\mathcal {J}}(X,X)}$

さらに、非常によく知られているクラスには、ノルム閉じた作用素イデアル、つまり、その成分が常にノルム閉じている作用素イデアルがあります。これらには、次のものが含まれますが、これらに限定されません。

• コンパクト演算子
• 弱コンパクト演算子
• 有限厳密特異演算子
• 厳密に特異な演算子
• 完全連続演算子

• Pietsch、Albrecht: Operator Ideals 、 Mathematische Monographienの第 16 巻、Deutscher Verlag d.ウィスコンシン州、VEB、1978 年。