一般化固有ベクトル

線形代数では、 $n\times n$ マトリックス $A$ は、(通常の)固有ベクトルよりも緩やかな特定の基準を満たすベクトルである。^[¹^]

させて $V$ になる $n$ 次元ベクトル空間とし、 $A$ 線形マップの行列表現を $V$ に $V$ ある順序付けられた基底に関して。

完全なセットが常に存在するとは限らない $n$ 線形独立な固有ベクトル $A$ 完全な基礎を形成する $V$ つまり、行列 $A$ 対角化できない可能性がある。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} これは、少なくとも1つの固有値の代数的重複度が $\displaystyle \lambda _{i}}$ は、その幾何学的重複度（行列の零性）よりも大きい。 $(A-\lambda _{i}I)$ （またはその零空間の次元）。この場合、 $\displaystyle \lambda _{i}}$ これは欠陥固有値と呼ばれ、 $A$ 欠陥マトリックスと呼ばれる。^{[ 4 ]}

一般化固有ベクトル $x_{i}$ に対応する $\displaystyle \lambda _{i}}$ 行列とともに $(A-\lambda _{i}I)$ 線形独立な一般化固有ベクトルのジョルダン連鎖を生成し、それが不変部分空間の基底を形成する。 $V$ [ ⁵^]^[⁶^]^[⁷^]

一般化固有ベクトルを使用すると、線形独立な固有ベクトルのセットが得られます。 $A$ 必要に応じて、完全な基盤に拡張できます $V$ [ ⁸^{]この基底は「ほぼ対角行列」}^を決定するために使用できます $J$ ジョルダン標準形では、 $A$ これは、特定の行列関数を計算する際に役立ちます。 $A$ [ ⁹^] 行列 $J$ 線形微分方程式系の解法にも役立つ $\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,$ どこ $A$ 対角化可能である必要はない。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

与えられた固有値に対応する一般化固有空間の次元 $\lambda$ は、 $\lambda$ [ ¹²^]

概要と定義

通常の固有ベクトルを定義する方法はいくつかあり、それらは同等である。^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} 本稿では、固有ベクトルは $\mathbf {u}$ 固有値に関連付けられている $\lambda$ の $n$ × $n$ マトリックス $A$ は、以下の条件を満たす非ゼロベクトルです。 $(A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0}$ 、どこ $I$ は $n$ × $n$ 単位行列と $\displaystyle \mathbf {0} }$ 長さのゼロベクトルです $n$ [ ²¹^] つまり^、 $\mathbf {u}$ 変換の中核にある $(A-\lambda I)$ 。もし $A$ もっている $n$ 線形独立な固有ベクトル、 $A$ 対角行列に似ている $D$ つまり、可逆行列が存在する。 $M$ そのため $A$ 類似変換によって対角化可能である $D=M^{-1}AM$ [ ²²^]^[²³^] 行列 $D$ はスペクトル行列と呼ばれます。 $A$ 行列 $M$ はモーダル行列と呼ばれます。 $A$ ^{[ 24 ]}対角化可能な行列は、その行列関数を簡単に計算できるため、特に興味深い。^{[ 25 ]}

一方、 $A$ 持っていない $n$ それに関連付けられた線形独立な固有ベクトル、 $A$ 対角化できない。^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}

定義： ベクトル $\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ は、行列のランクmの一般化固有ベクトルである。 $A$ そして、その固有値に対応する $\lambda$ もし

\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }

しかし

(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .

^{[ 28 ]}

明らかに、ランク 1 の一般化固有ベクトルは通常の固有ベクトルである。^{[ 29 ]} すべての $n$ × $n$ マトリックス $A$ もっている $n$ 線形独立な一般化固有ベクトルが関連付けられており、「ほぼ対角」行列に似ていることが示される。 $J$ ジョルダン標準形において。^{[ 30 ]} つまり、可逆行列が存在する。 $M$ そのため $J=M^{-1}AM$ [ ³¹^] 行列 $M$ この場合は、一般化モーダル行列と呼ばれます。 $A$ [ ³²^] もし $\lambda$ は代数的重複度を持つ固有値である $\mu$ 、それから $A$ 持つことになる $\mu$ 線形独立な一般化固有ベクトル $\lambda$ ^{[ 33 ]} これらの結果は、特定の行列関数を計算するための簡単な方法を提供する。 $A$ [ ³⁴^]

注： $n\times n$ マトリックス $A$ 野原を越えて $F$ ジョルダン標準形で表現されるすべての固有値は $A$ 必ず $F$ つまり、特性多項式 $f(x)$ 線形因子に完全に組み込む必要がある。 $F$ 代数的に閉じた体でなければならない。たとえば、 $A$ 実数値要素を持つ場合、固有値と固有ベクトルの成分が複素数値を持つ必要があるかもしれない。^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}

与えられたすべての一般化固有ベクトルによって張られる集合 $\lambda$ 一般化固有空間を形成する $\lambda$ [ ³⁸^]

例

一般化固有ベクトルの概念を説明するための例をいくつか示します。詳細については後ほど説明します。

例１

この例は単純ですが、要点を明確に示しています。このタイプの行列は教科書で頻繁に使用されています。^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.

すると固有値は1つだけになります。 $\lambda =1$ 、そしてその代数的重複度は $m=2$ 。

この行列はジョルダン標準形ですが、対角行列ではありません。したがって、この行列は対角化できません。対角成分が1つあるため、ランクが1より大きい一般化固有ベクトルが1つ存在します（または、ベクトル空間が $V$ は次元が 2 なので、ランクが 1 より大きい一般化固有ベクトルは最大で 1 つしか存在しない。あるいは、零空間の次元を計算することもできる。 $A-\lambda I$ である $p=1$ したがって、 $mp=1$ ランクが1より大きい一般化固有ベクトル。

通常の固有ベクトル $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ は通常どおり計算されます（例については固有ベクトルのページを参照してください）。この固有ベクトルを使用して、一般化固有ベクトルを計算します。 $\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ 解決することによって

(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.

値を書き出す：

\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.

これは以下のように簡略化されます

v_{22}=1.

要素 $v_{21}$ 制限はありません。ランク2の一般化固有ベクトルは次のようになります。 $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$ ここで、aは任意のスカラー値をとることができます。通常、 a = 0を選択するのが最も簡単です。

ご了承ください

(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},

となることによって $\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ は一般化固有ベクトルです。

(A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

となることによって $\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ これは通常の固有ベクトルであり、 $\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ そして $\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ これらは線形独立であり、したがってベクトル空間の基底を構成する。 $V$ 。

例２

この例は例1よりも複雑です。残念ながら、低次の興味深い例を構築するのは少し難しいです。^{[ 42 ]} 行列

A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}

固有値を持つ $\lambda _{1}=1$ そして $\lambda _{2}=2$ 代数的重複度を持つ $\mu _{1}=2$ そして $\mu _{2}=3$ しかし、幾何学的多重度 $\gamma _{1}=1$ そして $\gamma _{2}=1$ 。

一般化された固有空間 $A$ 計算結果は以下のとおりです。 $\mathbf {x} _{1}$ は、に関連付けられた通常の固有ベクトルです。 $\lambda _{1}$ 。 $\mathbf {x} _{2}$ は、に関連付けられた一般化固有ベクトルです。 $\lambda _{1}$ 。 $\mathbf {y} _{1}$ は、に関連付けられた通常の固有ベクトルです。 $\lambda _{2}$ 。 $\mathbf {y} _{2}$ そして $\mathbf {y} _{3}$ は、 $\lambda _{2}$ 。

(A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

(A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},

(A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,

(A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},

(A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.

これにより、一般化された各固有空間の基底が得られます。 $A$ 2つの一般化固有ベクトルの連鎖は、すべての5次元列ベクトルの空間を張ります。

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.

ほぼ対角行列 $J$ ジョルダン標準形では、 $A$ 以下のようにして得られます。

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},

J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},

どこ $M$ は、一般化されたモード行列です。 $A$ 列 $M$ は、 $A$ 、そして $AM=MJ$ [ ⁴³^]

ジョーダンチェーン

定義: $\mathbf {x} _{m}$ 行列に対応するランクmの一般化固有ベクトルとする $A$ そして固有値 $\lambda$ チェーンは $\mathbf {x} _{m}$ ベクトルの集合です $\left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}$ によって与えられた

どこ $\mathbf {x} _{1}$ は、与えられた固有値を持つ通常の固有ベクトルである。 $\lambda$ したがって、一般的には、

ベクトル $\mathbf {x} _{j}$ （2 ）で与えられるは、固有値に対応するランクjの一般化固有ベクトルである。 $\lambda$ チェーンとは、線形独立なベクトルの集合である。^{[ 44 ]}

正準基底

定義：n個の線形独立な一般化固有ベクトルの集合が、すべてジョルダン連鎖から構成されている場合、それは正準基底である。

したがって、ランクmの一般化固有ベクトルが正準基底にあると判断すれば、m − 1 個のベクトルが $\mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}$ ジョルダンチェーンに含まれる $\mathbf {x} _{m}$ 正準基底にも含まれている。^{[ 45 ]}

させて $\lambda _{i}$ の固有値である $A$ 代数的重複度 $\mu _{i}$ まず、行列のランク（行列ランク）を求めます。 $(A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ 整数 $m_{i}$ は、最初の整数であると決定されます。 $(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}$ ランクがある $n-\mu _{i}$ （nは行数または列数） $A$ つまり、 $A$ （n × n です）。

定義

\rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).

変数 $\rho _{k}$ は、固有値に対応するランクkの線形独立な一般化固有ベクトルの数を表します。 $\lambda _{i}$ 正典的基盤に現れるもの $A$ 。ご了承ください

\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n

[ ⁴⁶^]

一般化固有ベクトルの計算

前のセクションでは、 $n$ ベクトル空間の正準基底の線形独立な一般化固有ベクトル $V$ に関連付けられている $n\times n$ マトリックス $A$ これらの技術は、以下の手順に組み合わせることができます。

特性方程式を解く

A

固有値について

\lambda _{i}

およびそれらの代数的重複度

\mu _{i}

;

各

\lambda _{i}:

決定する

n-\mu _{i}

;

決定する

m_{i}

;

決定する

\rho _{k}

のために

(k=1,\ldots ,m_{i})

;

各ジョーダンチェーンを決定する

\lambda _{i}

;

例３

マトリックス

A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

固有値を持つ $\lambda _{1}=5$ 代数的重複度 $\mu _{1}=3$ そして固有値 $\lambda _{2}=4$ 代数的重複度 $\mu _{2}=1$ また、 $n=4$ 。のために $\lambda _{1}$ 我々は持っています $n-\mu _{1}=4-3=1$ 。

(A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.

(A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.

(A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.

最初の整数 $m_{1}$ そのために $(A-5I)^{m_{1}}$ ランクがある $n-\mu _{1}=1$ は $m_{1}=3$ 。

ここで定義します

\rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,

\rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,

\rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.

したがって、線形独立な一般化固有ベクトルが3つ存在し、それぞれランク3、2、1となる。 $\lambda _{1}$ 3 つの線形独立な一般化固有ベクトルの単一の連鎖に対応するので、一般化固有ベクトルが存在することがわかります。 $\mathbf {x} _{3}$ ランク3に対応する $\lambda _{1}$ そのため

しかし

式（3）と（4）は、解くことができる線形システムを表しています。 $\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ 。させて

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.

それから

(A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

そして

(A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.

したがって、条件（3）と（4）を満たすためには、 $x_{34}=0$ そして $x_{33}\neq 0$ 制限はありません $x_{31}$ そして $x_{32}$ 選択することで $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$ 我々は得る

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

ランク 3 の一般化固有ベクトルとして $\lambda _{1}=5$ 。なお、異なる値を選択することで、ランク 3 の他の一般化固有ベクトルを無限に得ることができることに注意してください。 $x_{31}$ 、 $x_{32}$ そして $x_{33}$ 、と $x_{33}\neq 0$ しかし、我々の最初の選択肢は最も単純なものである。^{[ 47 ]}

ここで式（1）を用いると、 $\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ そして $\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ それぞれランク2と1の一般化固有ベクトルとして、

\mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},

そして

\mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.

単純固有値 $\lambda _{2}=4$ 標準的な手法で処理でき、通常の固有ベクトルを持つ

\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.

正統的な基礎 $A$ は

\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.

$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}$ そして $\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ は、 $\displaystyle \lambda _{1}}$ 、その間 $\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ は、に関連付けられた通常の固有ベクトルです。 $\displaystyle \lambda _{2}}$ 。

これはかなり単純な例です。一般的に、数字は $\displaystyle \rho _{k}}$ ランクが線形独立な一般化固有ベクトル $k$ 必ずしも等しいとは限りません。つまり、特定の固有値に対応する長さの異なる複数の連鎖が存在する可能性があります。^{[ 48 ]}

一般化モード行列

させて $A$ n × n行列とする。一般化モーダル行列 $M$ のために $A$ はn × n行列であり、その列はベクトルとして考えると、の標準基底を形成します。 $A$ そして、 $M$ 以下の規則に従って：

1 つのベクトル (つまり、長さが 1 つのベクトル) で構成されるすべてのジョルダンチェーンは、最初の列に表示されます。 $M$ 。
1 つのチェーンのすべてのベクトルは、隣接する列に一緒に表示されます。 $M$ 。
各チェーンは $M$ ランクの昇順（つまり、ランク 1 の一般化固有ベクトルは、同じチェーンのランク 2 の一般化固有ベクトルの前に現れ、それが同じチェーンのランク 3 の一般化固有ベクトルの前に現れる、など）で。^{[ 49 ]}

ジョーダンの通常フォーム

{\begin{bmatrix}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\lambda _{1}}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1}}\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{1}1\lambda _{1}}}\lambda _{1}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{2}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\lrcorner }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{2}}}\lambda _{2}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner }}{\color {red}[}\lambda _{3}{\color {red}]}{\hphantom {\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]}}\ddots {\hphantom {\ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{n}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }\\{\hphantom {\llcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{n}}}\lambda _{n}{\color {red}\lrcorner }\end{bmatrix}}

ジョルダン標準形行列の例。赤いブロックはジョルダンブロックと呼ばれます。

させて $V$ n次元ベクトル空間とする。 $\phi$ $L (V)$ における線形写像であり、すべての線形写像の集合である。 $V$ それ自体の中に、そして $A$ 行列表現は $\phi$ ある順序基底に関して。特性多項式が $f(\lambda )$ の $A$ 因数を線形因数に分解して、 $f(\lambda )$ 形式は

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},

どこ $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ は、 $A$ すると、それぞれ $\mu _{i}$ は、対応する固有値の代数的重複度である。 $\lambda _{i}$ そして $A$ 行列に似ている $J$ ジョルダン標準形では、各 $\lambda _{i}$ 表示される $\mu _{i}$ 対角線上に連続して、各エントリの真上にある $\lambda _{i}$ （つまり、上対角線上）は 0 または 1 です。各ブロックでは、各の最初の出現の上のエントリは $\lambda _{i}$ は常に 0 です (最初のブロックを除く)。対角線上のその他の要素はすべて 1 です。その他の要素 (つまり、対角線と対角線以外の要素) はすべて 0 です。 (ただし、固有値間、または特定の固有値に対するブロック間には順序付けは課されません。) 行列 $J$ は、対角化に限りなく近いものです。 $A$ 。もし $A$ が対角化可能であれば、対角線より上のすべての要素はゼロになります。^{[ 50 ]} 一部の教科書では、主対角線の上ではなく、副対角線、つまり主対角線のすぐ下の要素が使用されていることに注意してください。固有値は依然として主対角線上にあります。^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}

すべてのn × n行列 $A$ 行列に似ている $J$ ジョルダン標準形において、相似変換によって得られる $J=M^{-1}AM$ 、どこ $M$ は、一般化されたモード行列です。 $A$ [ ⁵³^]（上記注を^参照。）

例4

ジョルダン標準形に類似した行列を見つける

A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.

解決策: 特性方程式 $A$ は $(\lambda -2)^{3}=0$ したがって、 $\lambda =2$ は代数的重複度3の固有値である。前の節の手順に従って、次のことがわかる。

\operatorname {rank} (A-2I)=1

そして

\operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .

したがって、 $\rho _{2}=1$ そして $\rho _{1}=2$ これは、 $A$ には、ランク2の線形独立な一般化固有ベクトルが1つと、ランク1の線形独立な一般化固有ベクトルが2つ含まれるか、あるいは同等に、2つのベクトルの連鎖が1つ含まれる。 $\left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}$ そして1つのベクトルの1つの連鎖 $\left\{\mathbf {y} _{1}\right\}$ 指定する $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}$ すると、

M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},

そして

J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},

どこ $M$ は、一般化されたモード行列です。 $A$ 列 $M$ は、 $A$ 、そして $AM=MJ$ [ ⁵⁴^{]一般化固有ベクトル自体}^は一意ではないため、また両方の列の一部が $M$ そして $J$ 交換可能であり、したがって両方とも $M$ そして $J$ ユニークではない。^{[ 55 ]}

例5

例3では、行列の線形独立な一般化固有ベクトルの正準基底を見つけました。 $A$ .一般化モード行列 $A$ は

M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.

ジョルダン標準形の行列は、 $A$ は

J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},

となることによって $AM=MJ$ 。

アプリケーション

行列関数

正方行列に対して実行できる最も基本的な演算のうち3つは、行列の加算、スカラー倍、および行列の乗算である。^{[ 56 ]}これらはまさに、 n × n行列の多項式関数を定義するために必要な演算である。 $A$ [ ⁵⁷^]基本的な微積分から、多くの関数^がマクローリン級数として表せることを思い出せば、行列のより一般的な関数を非常に簡単に定義できる。^[⁵⁸^] もし $A$ は対角化可能である、つまり

D=M^{-1}AM,

と

D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},

それから

D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}

関数のマクローリン級数の評価 $A$ 大幅に簡略化されています。^{[ 59 ]} 例えば、任意のべき乗kを得るには $A$ 計算するだけでよい $D^{k}$ 前乗算 $D^{k}$ による $M$ 、そして結果に右から乗算します。 $M^{-1}$ [ ⁶⁰^]

一般化固有ベクトルを用いると、ジョルダン標準形が得られる。 $A$ そしてこれらの結果は、非対角化可能な行列の関数を計算するための単純な方法に一般化できる。^{[ 61 ]} （行列関数#ジョルダン分解を参照）。

微分方程式

線形常微分方程式系の解法問題を考えてみよう。

どこ

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},

そして

A=(a_{ij}).

行列が $A$ は対角行列なので、 $a_{ij}=0$ のために $i\neq j$ すると、システム（5 ）は次の形式のn個の方程式のシステムに簡略化される。

この場合、一般解は次のように与えられる。

x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}

x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}

\vdots

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.

一般的には、対角化を試みます $A$ そして、システム（５）を次のようにシステム（６）に縮小する。 $A$ は対角化可能であり、 $D=M^{-1}AM$ 、どこ $M$ は、 $A$ 置換 $A=MDM^{-1}$ 式（５）は次の形式をとる。 $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$ 、または

どこ

（７）の解は

y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}

y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}

\vdots

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.

解決策 $\mathbf {x}$ （５）は関係式（８）を用いて得られる。^{[ 62 ]}

一方、 $A$ は対角化できないので、 $M$ 一般化モーダル行列となる $A$ 、したがって $J=M^{-1}AM$ は、 $A$ .システム $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$ 形式は

どこで $\lambda _{i}$ は、主対角線からの固有値です。 $J$ そして $\epsilon _{i}$ は、スーパーダイアゴンからの 1 と 0 です。 $J$ システム（9 ）は（ 5 ）よりも簡単に解けることが多い。我々は（ 9）の最後の式を解くことができる。 $y_{n}$ 取得 $y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}$ 。次に、この解を代入します。 $y_{n}$ ( 9 )の最後から2番目の式に代入して、 $y_{n-1}$ この手順を続け、最後の式から最初の式まで（ 9 ）を順に解いて、システム全体を解きます。 $\mathbf {y}$ 解決策 $\mathbf {x}$ 関係式（8）を用いて得られる。^{[ 63 ]}

補題：

長さの一般化固有ベクトルの次の連鎖が与えられた $r,$

X_{1}=v_{1}e^{\lambda t}

X_{2}=(tv_{1}+v_{2})e^{\lambda t}

X_{3}=\left({\frac {t^{2}}{2}}v_{1}+tv_{2}+v_{3}\right)e^{\lambda t}

\vdots

X_{r}=\left({\frac {t^{r-1}}{(r-1)!}}v_{1}+...+{\frac {t^{2}}{2}}v_{r-2}+tv_{r-1}+v_{r}\right)e^{\lambda t}

、

これらの関数は連立方程式を解き、

X'=AX.

証拠：

定義する

v_{0}=0

X_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}.

そして、 ${t^{0}}=1$ そして $1'=0$ 、

X'_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

。

一方、我々は、 $v_{0}=0$ など

AX_{j}(t)=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}Av_{i}

=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}(v_{i-1}+\lambda v_{i})

=e^{\lambda t}\sum _{i=2}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i-1}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

=e^{\lambda t}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {t^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}v_{i}+e^{\lambda t}\lambda \sum _{i=1}^{j}{\frac {t^{j-i}}{(j-i)!}}v_{i}

=X'_{j}(t)

必要に応じて。

注記

↑ブロンソン（1970年、189ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 310)
↑ネリング（1970年、118ページ）
↑ゴラブとヴァン・ローン (1996 、p. 316)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 319)
↑ブロンソン（1970年、194-195頁）
↑ゴラブとヴァン・ローン (1996 、p. 311)
↑ブロンソン（1970年、196ページ）
↑ブロンソン（1970年、189ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 316–318)
↑ネリング（1970年、118ページ）
↑ブロンソン（1970年、196ページ）
↑アントン (1987 、pp. 301–302)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 266)
↑ Burden & Faires (1993 、p. 401)
↑ゴラブとヴァン・ローン (1996 、pp. 310–311)
↑ハーパー（1976年、58ページ）
↑ハースタイン（1964年、225ページ）
↑クライスツィヒ (1972 , pp. 273, 684)
↑ネリング（1970年、104ページ）
↑ Burden & Faires (1993 、p. 401)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 270–274)
↑ブロンソン（1970年、179～183ページ）
↑ブロンソン（1970年、181ページ）
↑ブロンソン（1970年、179ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 270–274)
↑ブロンソン（1970年、179～183ページ）
↑ブロンソン（1970年、189ページ）
↑ブロンソン（1970年、 190、202ページ）
↑ブロンソン（1970年、 189、203ページ）
↑ブロンソン（1970年、206～207ページ）
↑ブロンソン（1970年、205ページ）
↑ブロンソン（1970年、196ページ）
↑ブロンソン（1970年、 189、209-215ページ）
↑ゴラブとヴァン・ローン (1996 、p. 316)
↑ハースタイン（1964年、259ページ）
↑ネリング（1970年、118ページ）
↑ネリング（1970年、118ページ）
↑ネリング（1970年、118ページ）
↑ハースタイン（1964年、261ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 310)
↑ネリング (1970 , pp. 122, 123)
↑ブロンソン（1970年、189～209ページ）
↑ブロンソン（1970年、194-195頁）
↑ブロンソン（1970年、 196、197ページ）
↑ブロンソン（1970年、 197、198ページ）
↑ブロンソン（1970年、190～191ページ）
↑ブロンソン（1970年、197-198頁）
↑ブロンソン（1970年、205ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 , p. 311)
↑カレン（1966年、114ページ）
↑フランクリン（1968年、122ページ）
↑ブロンソン（1970年、207ページ）
↑ブロンソン（1970年、208ページ）
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↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 57–61)
↑ブロンソン（1970年、104ページ）
↑ブロンソン（1970年、105ページ）
↑ブロンソン（1970年、184ページ）
↑ブロンソン（1970年、185ページ）
↑ブロンソン（1970年、209～218ページ）
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 274–275)
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参考文献

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ボーレガード、レイモンド A.、フレイリー、ジョン B. (1973)『線形代数入門：群、環、体へのオプション入門』ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
ブロンソン、リチャード（1970）、『行列法入門』、ニューヨーク：アカデミック・プレス、LCCN 70097490
バーデン、リチャード L.、フェアーズ、J. ダグラス (1993)、数値解析(第 5 版)、ボストン:プリンドル、ウェーバー、シュミット、ISBN 0-534-93219-3
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クレイジグ、アーウィン（1972）、『高等工学数学（第3 版）』、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-50728-8
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[1] ブロンソン（1970年、189ページ）

[2] Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 310)

[3] ネリング（1970年、118ページ）

[4] ゴラブとヴァン・ローン (1996 、p. 316)

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[6] ブロンソン（1970年、194-195頁）

[7] ゴラブとヴァン・ローン (1996 、p. 311)

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[9] ブロンソン（1970年、189ページ）

[10] Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 316–318)

[11] ネリング（1970年、118ページ）

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[20] ネリング（1970年、104ページ）

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[24] ブロンソン（1970年、181ページ）

[25] ブロンソン（1970年、179ページ）

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[27] ブロンソン（1970年、179～183ページ）

[28] ブロンソン（1970年、189ページ）

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[30] ブロンソン（1970年、 189、203ページ）

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[32] ブロンソン（1970年、205ページ）

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[37] ネリング（1970年、118ページ）

[38] ネリング（1970年、118ページ）

[39] ネリング（1970年、118ページ）

[40] ハースタイン（1964年、261ページ）

[41] Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 310)

[42] ネリング (1970 , pp. 122, 123)

[43] ブロンソン（1970年、189～209ページ）

[44] ブロンソン（1970年、194-195頁）

[45] ブロンソン（1970年、 196、197ページ）

[46] ブロンソン（1970年、 197、198ページ）

[47] ブロンソン（1970年、190～191ページ）

[48] ブロンソン（1970年、197-198頁）

[49] ブロンソン（1970年、205ページ）

[50] Beauregard & Fraleigh (1973 , p. 311)

[51] カレン（1966年、114ページ）

[52] フランクリン（1968年、122ページ）

[53] ブロンソン（1970年、207ページ）

[54] ブロンソン（1970年、208ページ）

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[56] Beauregard & Fraleigh (1973 、pp. 57–61)

[57] ブロンソン（1970年、104ページ）

[58] ブロンソン（1970年、105ページ）

[59] ブロンソン（1970年、184ページ）

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[61] ブロンソン（1970年、209～218ページ）

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[63] Beauregard & Fraleigh (1973 、p. 317)

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概要と定義

例

例１

例２

ジョーダンチェーン

正準基底

一般化固有ベクトルの計算

例３

一般化モード行列

ジョーダンの通常フォーム

例4

例5

アプリケーション

行列関数

微分方程式

注記

参考文献

関連するトピック

線形

マトリックス

は、(通常の)固有ベクトル

ベクトル