自己同型群

数学において、対象Xの自己同型群とは、射の合成によるXの自己同型群のことである。例えば、X が有限次元ベクトル空間である場合、 Xの自己同型群は、XからX自身への可逆線形変換の群（Xの一般線形群）である。一方、X が群である場合、その自己同型群は${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$は、 Xのすべての群自己同型からなる群です。

特に幾何学的な文脈では、自己同型群は対称群とも呼ばれる。自己同型群の部分群は、変換群と呼ばれることもある。

自己同型群は、圏論の分野で一般的に研究されている。

X が追加構造を持たない集合である場合、X からX自身への任意の全単射は自己同型写像​​であり、したがってこの場合のXの自己同型群は、まさにXの対称群となります。集合Xに追加構造がある場合、集合上のすべての全単射がこの構造を保持するとは限らないため、その場合、自己同型群はXの対称群の部分群となります。その例として、以下のようなものがあります。

• 体拡大の自己同型群${\displaystyle L/K}$は、 Kを固定するLの体自己同型群からなる群である。体拡大がガロア拡大である場合、自己同型群は体拡大のガロア群と呼ばれる。
• 体k上の射影n空間の自己同型群は射影線形群である${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^{[ 1 ]}
• 自己同型群${\displaystyle G}$位数nの有限巡回群は、${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$nを法とする整数の乗法群であり、同型写像は次のように与えられる。$\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$^{[ 2 ]}特に、${\displaystyle G}$はアーベル群である。
• 有限次元実リー代数の自己同型群${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Gは (実)リー群の構造を持つ(実際には線形代数群でもある:下記参照)。Gがリー代数を持つリー群である場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$すると、 Gの自己同型群は、の自己同型群から誘導されるリー群の構造を持つ。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ a ]​}

Gが集合Xに作用する群である場合、その作用はGからXの自己同型群への群準同型写像に相当し、その逆もまた同様である。実際、集合Xに対する各左G作用は、${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$、そして逆に、各準同型写像${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$アクションを定義する${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$これは、集合X が単なる集合以上の構造を持つ場合にも当てはまります。例えば、Xがベクトル空間である場合、GによるXへの群作用は、群Gの群表現であり、 G をXの線形変換（自己同型写像​​）の群として表現します。これらの表現は、表現論の分野における主な研究対象です。

自己同型群に関するその他の事実をいくつか紹介します。

• させて${\displaystyle A,B}$同じ濃度の 2 つの有限集合であり、${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$全単射の集合${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$。 それから${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$対称群である は、 に作用する（上記参照）。${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$左から自由かつ推移的に。つまり、${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$は、​${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$（参照：圏論において）。
• P を環R上の有限生成射影加群とする。このとき、埋め込みが存在する。${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$内部自己同型を除いて一意である。^{[ 5 ]}

自己同型群は圏論において非常に自然に現れる。

Xが圏の対象である場合、 Xの自己同型群は、 XからX自身へのすべての可逆射からなる群である。これはXの自己同型モノイドの単位群である。（例については、PROPを参照。）

もし${\displaystyle A,B}$あるカテゴリのオブジェクトである場合、セット${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$すべての${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$左${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$- torsor。実際には、これは、基点の選択が異なることを意味します。${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$要素によって明確に異なる${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$あるいは、基点の選択はそれぞれ、トルソルの自明化の選択に正確に対応しているということである。

もし${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$カテゴリ内のオブジェクト${\displaystyle C_{1}}$そして${\displaystyle C_{2}}$、そしてもし${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ファンクターマッピング${\displaystyle X_{1}}$に${\displaystyle X_{2}}$、 それから${\displaystyle F}$群準同型を誘導する${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$可逆射を可逆射に写像するためです。

特に、Gが単一の対象 * を持つ圏として見なされる群である場合、あるいはより一般的には、 G が群圏である場合、各ファンクターは${\displaystyle F:G\to C}$C はカテゴリであり、対象に対するGの作用または表現と呼ばれます。${\displaystyle F(*)}$またはオブジェクト${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$それらの物体は${\displaystyle G}$-オブジェクト（それらが作用する対象）${\displaystyle G}$); 参照。${\displaystyle \mathbb {S} }$-オブジェクト。もし${\displaystyle C}$有限次元ベクトル空間の圏のような加群圏である場合、${\displaystyle G}$-オブジェクトは、${\displaystyle G}$-モジュール。

させて${\displaystyle M}$Mは、体k上の有限次元ベクトル空間であり、何らかの代数構造を備えている（つまり、Mはk上の有限次元代数である）。例えば、結合代数やリー代数などが挙げられる。

次に、k線形写像について考えてみましょう。${\displaystyle M\to M}$代数構造を保持するもの：それらはベクトル部分空間を形成する$\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$の${\displaystyle \operatorname {終了} (M)}$. 単位群$\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$は自己同型群である${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$M上の基底が選択されると、${\displaystyle \operatorname {終了} (M)}$は正方行列の空間であり、$\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$はいくつかの多項式方程式の零点集合であり、可逆性は再び多項式によって記述される。したがって、${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$はk上の線形代数群である。

ここで、上記の議論に基底拡張を適用すると、次のファンクターが決定されます。^{[ 6 ]}すなわち、k上の各可換環Rに対して、R線形写像を考えます。${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$代数構造を保持する: それを次のように表す${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$すると、マトリックス環の単位群は${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$R上の自己同型群は${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$そして${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$は群関手です。k上の可換環の圏から群の圏への関手です。さらに良いことに、これはスキームによって表されます (自己同型群は多項式によって定義されるため)。このスキームは自己同型群スキームと呼ばれ、で表されます。${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$。

しかし一般に、自己同型群関手はスキームによって表現されない場合がある。

• 外部自己同型群
• レベル構造とは、自己同型群を除去する手法である。
• ホロノミーグループ

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme