量子力学の数学的定式化

量子力学の数学的定式化とは、量子力学を厳密に記述することを可能にする数学的定式化のことである。この数学的定式化は主に関数解析の一部、特に線形空間の一種であるヒルベルト空間 ^を使用する。このような定式化は、1900年代初頭以前に開発された物理理論の数学的定式化とは、無限次元ヒルベルト空間（主にL2 空間）やこれらの空間上の演算子などの抽象的な数学的構造の使用によって区別される。簡単に言えば、エネルギーや運動量などの物理的観測量の値は、位相空間上の関数の値としてではなく、固有値、より正確にはヒルベルト空間における線形演算子のスペクトル値として考えられていた。 ^[¹^]

これらの量子力学の定式化は、今日でも引き続き用いられています。その記述の中核をなすのは、量子状態と量子観測量という概念であり、これらは従来の物理的現実のモデルで用いられていたものとは根本的に異なります。数学的に実験的に測定可能な多くの量を計算することは可能ですが、同時に測定できる値には明確な理論的限界があります。この限界は、ハイゼンベルクが思考実験を通して初めて明らかにしたもので、新しい形式体系では、量子観測量を表す演算子の非可換性によって数学的に表現されています。

量子力学が独立した理論として発展する以前は、物理学で用いられていた数学は主に形式的な数学解析であり、微積分から始まり、微分幾何学や偏微分方程式に至るまで複雑さを増していった。統計力学では確率論が用いられた。幾何学的直観は最初の2つの分野で大きな役割を果たし、それに伴い相対性理論は微分幾何学の概念のみで定式化された。量子物理学の現象論は1895年から1915年頃に出現し、量子力学が発展する前の10年から15年間（1925年頃）、物理学者たちは量子理論を現在古典物理学と呼ばれる枠組み、特に同じ数学的構造の中で考え続けていた。その最も洗練された例が、古典的な位相空間上で完全に定式化されたゾンマーフェルト・ウィルソン・石原の量子化規則である。

形式主義の歴史

「旧来の量子論」と新たな数学の必要性

1890年代、プランクは黒体スペクトルを導き出すことに成功しました。このスペクトルは後に、電磁放射と物質の相互作用において、エネルギーは量子と呼ばれる離散的な単位でのみ交換されるという非正統的な仮定を置くことで、古典的な紫外線破綻を回避するために利用されました。プランクは、放射の周波数とその周波数におけるエネルギー量子との間に直接的な比例関係があると仮定しました。この比例定数 $h$ は、現在、彼の功績を称えてプランク定数と呼ばれています。

1905年、アインシュタインは、プランクのエネルギー量子が実際の粒子であると仮定することで、光電効果のいくつかの特徴を説明しました。これらの粒子は後に光子と呼ばれるようになりました。

これらの発展はすべて現象論的なものであり、当時の理論物理学に挑戦するものでした。ボーアとゾンマーフェルトは、ボーアモデルを第一原理から導出しようと、古典力学を修正しました。彼らは、力学系が位相空間で描くすべての閉じた古典軌道のうち、プランク定数の倍数である面積を囲む軌道のみが実際に許容されると提唱しました。この定式化の最も洗練されたバージョンは、いわゆるゾンマーフェルト・ウィルソン・石原量子化です。この方法で水素原子のボーアモデルは説明できましたが、ヘリウム原子のスペクトル（古典的には解けない3体問題）は予測できませんでした。量子論の数学的な地位はしばらくの間、不確かなままでした。

1923年、ド・ブロイは、波動粒子二重性は光子だけでなく、電子やその他のあらゆる物理系にも適用されると提唱した。

1925年から1930年にかけて状況は急速に変化した。エルヴィン・シュレーディンガー、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスカル・ジョルダンらの画期的な研究、そしてジョン・フォン・ノイマン、ヘルマン・ワイル、ポール・ディラックらの基礎的な研究によって、数学的な基礎が確立され、新たな概念に基づいて様々なアプローチを統一することが可能になったのである。また、ヴェルナー・ハイゼンベルクが不確定性原理を発見し、ニールス・ボーアが相補性の概念を導入したことで、この時期に理論の物理的解釈も明確になった。

「新しい量子理論」

ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学は、原子スペクトルの量子化現象を再現することに初めて成功した試みであった。同年、シュレーディンガーは波動力学を創始した。シュレーディンガーの定式化は、物理学者が既に解くことに慣れていた微分方程式を導出したため、理解しやすく、視覚化しやすく、計算しやすいと考えられた。そして1年以内に、この2つの理論が等価であることが示された。

シュレーディンガー自身は当初、量子力学の根本的な確率的性質を理解しておらず、電子の波動関数の絶対値の二乗は、広がりを持つ、おそらく無限の空間に広がった物体の電荷密度として解釈されるべきだと考えていた。波動関数の絶対値の二乗を点状物体の位置の確率分布として解釈したのはマックス・ボルンであった。ボルンの考えはすぐにコペンハーゲンのニールス・ボーアに引き継がれ、ボーアは量子力学のコペンハーゲン解釈の「父」となった。シュレーディンガーの波動関数は、古典的なハミルトン・ヤコビ方程式と密接に関連していることがわかる。古典力学との対応関係は、ハイゼンベルクの行列力学において、より明確ではあるが、やや形式的であった。ポール・ディラック^[²^]は博士論文プロジェクトで、現在ハイゼンベルク表現と呼ばれる演算子の方程式が、ポアソン括弧で表現すると、古典力学のハミルトン形式における特定の量のダイナミクスの古典的な方程式に密接に変換されることを発見した。この手順は現在、正準量子化として知られている。

シュレーディンガーよりも前に、若きポスドク研究員ヴェルナー・ハイゼンベルクは、最初の正しい量子力学、すなわち決定的なブレークスルーとなる行列力学を発明した。ハイゼンベルクの行列力学の定式化は無限行列の代数に基づいていたが、これは古典物理学の数学からすると非常に斬新な定式化であった。もっとも、彼は当時の実験家が用いていたインデックス用語から出発しており、自身の「インデックススキーム」が行列であることにさえ気づいていなかった。後にボルンが指摘したように。実際、この初期の頃、線形代数は現在の形では物理学者の間で広く普及していなかった。

シュレーディンガー自身は1年後に自身の波動力学とハイゼンベルクの行列力学の等価性を証明したが、この2つのアプローチの調和と、ヒルベルト空間における運動としての現代的な抽象化は、一般的にポール・ディラックに帰せられる。彼は1930年の古典的名著『量子力学の原理』の中で明快な解説を著した。彼はこの分野における3人目の、そしておそらく最も重要な柱である（彼はすぐにこの理論の相対論的一般化を発見した唯一の人物となった）。前述の解説の中で、彼は関数解析で用いられるヒルベルト空間による抽象的な定式化とともに、ブラケット記法を導入した。彼はシュレーディンガーとハイゼンベルクのアプローチが同じ理論の2つの異なる表現であることを示し、システムのダイナミクスを表す3番目の、より一般的な表現を見出した。彼の研究は、この分野の多くの種類の一般化において特に実り多いものとなった。

このアプローチの最初の完全な数学的定式化は、ディラック・フォン・ノイマン公理として知られ、一般的にはジョン・フォン・ノイマンの1932年の著書『量子力学の数学的基礎』に帰せられているが、ヘルマン・ワイルは既に1927年の古典的な論文と1928年の著書の中でヒルベルト空間（彼はこれをユニタリ空間と呼んだ）に言及していた。これは、一世代前のデイヴィッド・ヒルベルトのアプローチであった二次形式ではなく、線形演算子に基づく数学的スペクトル理論への新しいアプローチと並行して発展した。量子力学の理論は今日まで進化を続けているが、量子力学の数学的定式化のための基本的な枠組みがあり、これはほとんどのアプローチの基礎となっており、ジョン・フォン・ノイマンの数学的研究に遡ることができる。言い換えれば、理論の解釈やその拡張に関する議論は、現在では主に数学的基礎に関する共通の仮定に基づいて行われている。

その後の展開

新しい量子論を電磁気学に応用した結果、量子場理論が生まれ、1930年頃から発展し始めた。量子場理論は、より洗練された量子力学の定式化の発展を促し、ここで紹介するものはその単純な特殊なケースに過ぎない。

関連する話題として、古典力学との関係が挙げられます。新しい物理理論は、何らかの近似において、既存の成功した理論に帰着するはずです。量子力学においては、これは量子力学のいわゆる古典極限を研究する必要性を意味します。また、ボーアが強調したように、人間の認知能力と言語は古典的な領域と密接に結びついており、そのため古典的な記述は量子的な記述よりも直感的に理解しやすいのです。特に、量子化、すなわち、古典極限が既知の古典理論となる量子理論の構築は、量子物理学における重要な分野となります。

最後に、量子論の創始者の一部（特にアインシュタインとシュレーディンガー）は、量子力学の哲学的含意に不満を抱いていた。特にアインシュタインは、量子力学は不完全であるに違いないという立場を取り、これがいわゆる隠れた変数理論の研究を促した。隠れた変数の問題は、量子光学の助けを借りて、部分的には実験的な問題となった。

量子力学の公準

物理システムは一般的に、状態、観測量、およびダイナミクス（または時間発展の法則）、あるいはより一般的には物理的対称性のグループという3つの基本要素によって記述されます。古典的な記述は、力学の位相空間モデルによってかなり直接的に与えられます。状態はシンプレクティック多様体によって定式化された位相空間内の点であり、観測量はその上の実数値関数であり、時間発展は位相空間の1パラメータのシンプレクティック変換群によって与えられ、物理的対称性はシンプレクティック変換によって実現されます。量子的な記述は通常、状態のヒルベルト空間から構成され、観測量は状態空間上の自己共役演算子であり、時間発展は状態のヒルベルト空間上の 1パラメータのユニタリ変換群によって与えられ、物理的対称性はユニタリ変換によって実現されます。（このヒルベルト空間の図を位相空間の定式化に可逆的にマッピングすることは可能です。下記を参照してください。）

量子力学の数学的枠組みの以下の要約は、部分的にディラック・フォン・ノイマンの公理に遡ることができる。^{[ 3 ]}

システムの状態の説明

$それぞれの孤立した物理システムは、$ 内積 $⟨φ$ $|$ $ψ⟩$ $を$ 持つ（位相的に）分離可能な複素ヒルベルト空間 $H$ に関連付けられています。

公理I

孤立した物理システムの現在の状態は、一定の時刻において表現される。 $t$ 状態ベクトルによって $|\psi \rangle$ ヒルベルト空間に属する $\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 状態空間と呼ばれる。

分離可能性は数学的に便利な仮説であり、物理的には、状態は可算個の観測によって一意に決定されると解釈される。量子状態は $H$ の同値類と同一視でき、2 つのベクトル (長さ 1) は位相因子のみが異なる場合に同じ状態を表す。^[⁴^]^[⁵^] $|\psi _{k}\rangle \sim |\psi _{l}\rangle \;\;\Leftrightarrow \;\;|\psi _{k}\rangle =e^{i\alpha }|\psi _{l}\rangle ,\quad \ \alpha \in \mathbb {R} .$ そのため、量子状態は射影ヒルベルト空間の要素であり、慣習的に「光線」と呼ばれる。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

付随する公理 I は、複合システム公理です: ^{[ 8 ]}

複合システムの公準

複合系のヒルベルト空間は、構成要素系に関連付けられた状態空間のヒルベルト空間テンソル積である。有限個の識別可能な粒子からなる非相対論的系の場合、構成要素系は個々の粒子である。

量子もつれが存在する場合、複合システムの量子状態は、その局所的な構成要素の状態のテンソル積として因数分解することはできません。代わりに、構成要素となるサブシステムの状態のテンソル積の和、または重ね合わせとして表現されます。もつれた複合システムのサブシステムは、一般に状態ベクトル（または光線）で記述することはできませんが、密度演算子で記述されます。このような量子状態は混合状態と呼ばれます。混合状態の密度演算子は、トレースクラス、非負（正半定値）の自己共役演算子です。 $\rho$ 正規化されてトレース1になります。一方、混合状態の任意の密度演算子は、純粋状態のより大きな複合システムのサブシステムとして表現できます (精製定理を参照)。

量子もつれがない場合、複合システムの量子状態は分離可能状態と呼ばれる。分離可能状態にある二体システムの密度行列は次のように表される。 $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ 、どこ $\;\sum _{k}p_{k}=1$ 非ゼロが1つしかない場合 $p_{k}$ すると、状態は次のように表現できます。 ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ そして、単に分離可能状態または生成物状態と呼ばれる。

システム上の測定

物理量の記述

$物理量の観測値は、 H$ 上のエルミート行列で表されます。これらの演算子はエルミートであるため、その固有値は常に実数であり、対応する観測値を測定することによって得られる可能性のある結果を表します。観測値のスペクトルが離散的である場合、得られる可能性のある結果は量子化されます。

公理II.a

測定可能なすべての物理量 ${\mathcal {A}}$ エルミート演算子によって記述される $A$ 国家空間で活動する $\displaystyle {\mathcal {H}}}$ この演算子は観測可能であり、その固有ベクトルは基底を形成します。 $\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 物理量を測定した結果 ${\mathcal {A}}$ 対応する観測量の固有値のいずれかでなければならない $A$ 。

測定結果

スペクトル理論により、任意の状態 $ψにおける$ $A$ の値に確率測度を関連付けることができます。また、任意の状態における観測量 $Aの可能な値は、$ $A$ のスペクトルに属さなければならないことも示すことができます。単位ベクトル $ψ$ ∈ Hで表される状態にあるシステムの観測量 $A$ の期待値(確率論の意味で) は次のようになります。 $\langle \psi |A|\psi \rangle$ 状態 $ψを$ $A$ の固有ベクトルによって形成される基底で表すと、与えられた固有ベクトルに付随する成分の絶対値の二乗は、その固有値を観測する確率になります。

公理II.b

物理量が ${\mathcal {A}}$ 正規化された状態のシステムで測定される $|\psi \rangle$ 固有値（と表記）を得る確率 $a_{n}$ 離散スペクトルと $\alpha$ 対応する観測量の連続スペクトル $A$ これは、適切な波動関数（対応する固有空間への射影）の振幅の二乗によって与えられる。
${\begin{alignedat}{3}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&&\,\,{\text{(離散、非縮退スペクトル)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&&\,\,{\text{(離散、縮退スペクトル)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &&\,\,{\text{(連続、非縮退スペクトル)}}\end{alignedat}}$

混合状態 $ρ$ の場合、状態 $ρにおける$ $A$ の期待値は $\operatorname {tr} (A\rho )$ 、そして固有値を得る確率 $a_{n}$ 対応する観測量の離散的で非縮退なスペクトルにおいて $A$ は $\mathbb {P} (a_{n})=\演算子名 {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ 。

固有値が $a_{n}$ 退化した正規直交固有ベクトルを持つ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ すると、固有部分空間への射影演算子は、固有部分空間における恒等演算子として定義できる。 $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,$ その後 $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )$ 。

公準II.aとII.bはまとめて量子力学のボルンの規則として知られている。

測定が状態に及ぼす影響

測定を行うと、（量子力学のいくつかの解釈によれば）得られる結果は1つだけです。これは、測定から得られる追加情報の処理として数学的にモデル化され、同じ観測量の2回目の測定がすぐに行われる確率を制限します。離散的で非縮退なスペクトルの場合、2回目の測定が1回目の直後に行われると仮定すると、同じ観測量の2回の連続測定は常に同じ値になります。したがって、状態ベクトルは測定の結果として変化し、測定された固有値に関連付けられた固有部分空間に収束する必要があります。

公理II.c

物理量の測定 ${\mathcal {A}}$ 州のシステム上で $|\psi \rangle$ 結果が $a_{n}$ すると、測定直後のシステムの状態は、正規化された投影値となる。 $|\psi \rangle$ に関連付けられた固有部分空間へ $a_{n}$ $|\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}$

混合状態 $ρ$ の場合、固有値を取得した後 $a_{n}$ 対応する観測量の離散的で非縮退なスペクトルにおいて $A$ 更新された状態は次のように表されます。 ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ 固有値が $a_{n}$ 退化した正規直交固有ベクトルを持つ $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ すると、固有部分空間への射影演算子は次のようになる。 $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ 。

公理 II.c は、「状態更新規則」または「崩壊規則」と呼ばれることもあります。これらは、ボルン規則 (公理 II.a および II.b) とともに、測定値の完全な表現を構成し、まとめて測定公理と呼ばれることもあります。

測定公準で説明されている射影値測度（PVM）は、量子力学で最も一般的な測定である正値演算子値測度（POVM）に一般化できることに注意してください。POVMは、より大きな複合システムに対してPVMを実行したときに、構成要素サブシステムに及ぼす影響として理解できます（ナイマークの膨張定理を参照）。

システムの時間発展

シュレーディンガー方程式は、状態ベクトルが時間とともにどのように変化するかを記述する。テキストによっては、他の仮定から導出されたり、経験的な根拠に基づいて導出されたり、公理として主張されたりする。導出方法としては、波長と運動量の間のド・ブロイの関係式や経路積分を用いる方法などがある。

公理III

状態ベクトルの時間発展 $|\psi (t)\rangle$ はシュレーディンガー方程式によって支配され、 $H(t)$ は、系の全エネルギーに関連付けられた観測量（ハミルトニアンと呼ばれる）である。 $i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle$

同様に、時間発展の公準は次のように述べることができる。

公理III

閉鎖系の時間発展は、初期状態に対するユニタリ変換によって記述される。 $|\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

混合状態 $ρ$ にある閉鎖系の場合、時間発展は次のようになる。 $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ 。

開放量子系の進化は、量子操作（演算子和の形式）と量子計測器によって記述することができ、一般にユニタリである必要はない。

公準のその他の意味合い

ウィグナーの定理により、物理的な対称性は量子状態のヒルベルト空間にユニタリまたは反ユニタリに作用する（超対称性は全く別の問題である）。
密度演算子とは、一次元直交射影演算子の凸包の閉包に含まれる演算子のことである。逆に、一次元直交射影演算子は、密度演算子の集合の極点である。物理学者は、一次元直交射影演算子を純粋状態、その他の密度演算子を混合状態と呼ぶこともある。
この形式論では、ハイゼンベルクの不確定性原理を定理として述べ、証明することができる。ただし、誰がどのような枠組みの下で何を導き出したかといった、正確な歴史的経緯については、本稿の範囲外の歴史的調査の対象となる。

さらに、量子力学の公準に加えて、スピンの性質とパウリの排他原理に関する基本的な記述も加えるべきである（下記参照）。

スピン

他の特性に加えて、すべての粒子はスピンと呼ばれる量、つまり固有の角運動量を持っています。名前とは裏腹に、粒子は文字通り軸を中心に回転するわけではなく、量子力学的なスピンは古典物理学には対応がありません。位置表現では、スピンのない波動関数は位置 $r$ と時間 $t を$ 連続変数として持ち、 $ψ = ψ (r, t)となります。スピン波動関数では$ $、$ スピンは追加の離散変数です。ψ $=$ $ψ (r, t, σ)$ 、ここで $σ$ は値をとります。 $\sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.$

つまり、スピン $S$ を持つ単一粒子の状態は、複素数値波動関数の $(2S + 1)$ 成分スピノルによって表される。

振る舞い $が$ 大きく異なる2種類の粒子は、整数スピン（ $S$ $= 0、1、2、...$ ）を持つボソンと、半整数スピン（ $S$ $=$ $1$ $/$ $2、3$ $/$ $2、5$ $/$ $2$ $、$ $... ）$ $を$ 持つフェルミオン $で$ ある。

対称化の公準

量子力学では、2 つの粒子を 2 つの方法で区別することができます。各粒子の固有の性質を測定することで、異なる種類の粒子を区別できます。一方、粒子が同一である場合は、その軌跡を追跡することで、各粒子の局所性に基づいて粒子を区別できます。2 番目の方法は古典力学では許容されます (つまり、すべての古典粒子は区別可能として扱われます) が、量子力学的粒子については同じことは言えません。これは、微小スケールを支配する基本的な不確定性原理のために、このプロセスが実行不可能であるためです。したがって、量子粒子の不可分性の要件は、対称化公準によって示されます。この公準は、たとえばヘリウム原子のスペクトルを予測する場合など、ボソンまたはフェルミオンのシステムに適用できます。次のセクションで説明するこの公準は、次のように述べることができます。

対称化の公準^{[ 9 ]}

（3次元空間における） N個の同一粒子の系の波動関数は、任意の2つの粒子を入れ替えた場合、完全に対称（ボソン）であるか、完全に反対称（フェルミオン）であるかのいずれかである。

例外として、粒子が2次元空間に制約されている場合、フェルミオンとボソンの間の連続的な統計的性質を持つとされるアニオンと呼ばれる粒子が存在する可能性がある。 ^{[ 9 ]}同一粒子の挙動とスピンの関係は、スピン統計定理によって与えられる。

空間の異なる領域に局在する 2 つの粒子は、対称化/反対称化された波動関数を使用して表現でき、これらの波動関数を独立して処理しても同じ結果が得られることが示されています。^{[ 10 ]}したがって、対称化の公準は、同一粒子のシステムの一般的な場合に適用できます。

交換縮退

同一粒子の系において、Pを波動関数に作用する交換演算子とすると、次のようになる。

P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots

If a physical system of identical particles is given, wavefunction of all particles can be well known from observation but these cannot be labelled to each particle. Thus, the above exchanged wavefunction represents the same physical state as the original state which implies that the wavefunction is not unique. This is known as exchange degeneracy.^[11]

More generally, consider a linear combination of such states, $|\Psi \rangle$ . For the best representation of the physical system, we expect this to be an eigenvector of P since exchange operator is not excepted to give completely different vectors in projective Hilbert space. Since $P^{2}=1$ , the possible eigenvalues of P are +1 and −1. The $|\Psi \rangle$ states for identical particle system are represented as symmetric for +1 eigenvalue or antisymmetric for -1 eigenvalue as follows:

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle

The explicit symmetric/antisymmetric form of $|\Psi \rangle$ is constructed using a symmetrizer or antisymmetrizer operator. Particles that form symmetric states are called bosons and those that form antisymmetric states are called as fermions. The relation of spin with this classification is given from spin statistics theorem which shows that integer spin particles are bosons and half integer spin particles are fermions.

Pauli exclusion principle

The property of spin relates to another basic property concerning systems of $N$ identical particles: the Pauli exclusion principle, which is a consequence of the following permutation behaviour of an $N$ -particle wave function; again in the position representation one must postulate that for the transposition of any two of the $N$ particles one always should have

Pauli principle

$\psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )$

i.e., on transposition of the arguments of any two particles the wavefunction should reproduce, apart from a prefactor $(-1) 2 S$ which is $+1$ for bosons, but ( $-1$ ) for fermions. Electrons are fermions with $S = 1/2$ ; quanta of light are bosons with $S = 1$ .

Due to the form of anti-symmetrized wavefunction:

\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|

if the wavefunction of each particle is completely determined by a set of quantum numbers, then two fermions cannot share the same set of quantum numbers since the resulting function cannot be anti-symmetrized (i.e. above formula gives zero). The same cannot be said of Bosons since their wavefunction is:

|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle

where $n_{j}$ is the number of particles with same wavefunction.

Exceptions for symmetrization postulate

In nonrelativistic quantum mechanics all particles are either bosons or fermions; in relativistic quantum theories also "supersymmetric" theories exist, where a particle is a linear combination of a bosonic and a fermionic part. Only in dimension $d = 2$ can one construct entities where $(-1) 2 S$ is replaced by an arbitrary complex number with magnitude 1, called anyons. In relativistic quantum mechanics, spin statistic theorem can prove that under certain set of assumptions that the integer spins particles are classified as bosons and half spin particles are classified as fermions. Anyons which form neither symmetric nor antisymmetric states are said to have fractional spin.

Although spin and the Pauli principle can only be derived from relativistic generalizations of quantum mechanics, the properties mentioned in the last two paragraphs belong to the basic postulates already in the non-relativistic limit. Especially, many important properties in natural science, e.g. the periodic system of chemistry, are consequences of the two properties.

Mathematical structure of quantum mechanics

Pictures of dynamics

In the so-called Schrödinger picture of quantum mechanics, the dynamics is given as follows: The time evolution of the state is given by a differentiable function from the real numbers $R$ , representing instants of time, to the Hilbert space of system states. This map is characterized by a differential equation as follows: If $| ψ (t) ⟩$ denotes the state of the system at any one time $t$ , the following Schrödinger equation holds:
Schrödinger equation (general)
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle$
where $H$ is a densely defined self-adjoint operator, called the system Hamiltonian, $i$ is the imaginary unit and $ħ$ is the reduced Planck constant. As an observable, $H$ corresponds to the total energy of the system.
Alternatively, by Stone's theorem one can state that there is a strongly continuous one-parameter unitary map $U (t)$ : $H \to H$ such that $\left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle$ for all times $s, t$ . The existence of a self-adjoint Hamiltonian $H$ such that $U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}$ $これは、1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理の結果である。Hは$ 時間に依存しず、摂動は $t 0 = 0$ から始まると仮定する。そうでない場合は、形式的には次のように記述されるダイソン級数を使用する必要がある。 $U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],$ どこ ${\mathcal {T}}$ はダイソンの時間順序付け記号です。
（この記号は、次の形式の非可換演算子の積を置換します。 $B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})$ 独自に決定された再編成表現へ $B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})$ と $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$
その結果、因果関係の連鎖が生まれ、最右辺には過去の主要な原因が、そして最左辺には現在の結果が示される 。
量子力学のハイゼンベルク描像は観測量に焦点を当て、状態が時間とともに変化すると考えるのではなく、状態は固定され、観測量が変化すると考える。シュレーディンガー描像からハイゼンベルク描像へ移行するには、時間に依存しない状態と時間に依存する演算子を次のように定義する必要がある。 $\left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle$ $A(t)=U(-t)AU(t).$ そうすれば、両方の図においてすべての観測量の期待値が同じであることが容易に確認できる。 $\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle$ そして、時間依存ハイゼンベルク演算子が以下の条件を満たす。
ハイゼンベルク像（概説）
${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},$
これは時間依存の $A = A (t)$ の場合にも当てはまります。演算子のいずれかが非有界の場合、交換子式は純粋に形式的なものになることに注意してください。式の意味を理解するには、その表現を指定する必要があります。
いわゆるディラック描像または相互作用描像では、異なるハミルトニアンに関して時間とともに変化する状態と観測量が存在します。この描像は、観測量の時間発展を厳密に解くことができ、複雑な問題を状態の時間発展に限定できる場合に最も有用です。このため、観測量に対するハミルトニアンは「自由ハミルトニアン」、状態に対するハミルトニアンは「相互作用ハミルトニアン」と呼ばれます。記号で表すと次のようになります。
ディラックの絵
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle$
$i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].$
しかし、相互作用表示は常に存在するとは限りません。相互作用する量子場理論では、ハーグの定理によれば、相互作用表示は存在しません。これは、ハミルトニアンを超選択セクター内の自由部分と相互作用部分に分割できないためです。さらに、シュレーディンガー表示ではハミルトニアンが時間に依存しない場合でも（例えば $H = H 0 + V）$ 、相互作用表示では、少なくとも $V が$ $H 0$ と可換でない場合は、時間に依存します。 $H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.$
つまり、前述のダイソンシリーズは、いずれにせよ使用せざるを得ないということだ。
ハイゼンベルクの描像は古典的なハミルトン力学に最も近い（例えば、上記の式に現れる交換子は、古典的なポアソン括弧に直接変換される）。しかし、これはすでにかなり「難解」であり、量子力学の教育的な説明から判断すると、シュレーディンガーの描像がほとんどの人にとって最も視覚化しやすく理解しやすいと考えられている。ディラックの描像は摂動論で用いられるもので、特に量子場理論や多体物理学と関連付けられている。
同様の方程式は、物理系の任意の1パラメータユニタリ対称群に対して記述できる。時間は、ユニタリ群をパラメータ化する適切な座標（例えば、回転角や並進距離）に置き換えられ、ハミルトニアンは、その対称性に関連付けられた保存量（例えば、角運動量や線運動量）に置き換えられる。

まとめ：

表現

シュレーディンガー方程式の元の形式は、ハイゼンベルクの正準交換関係の特定の表現を選択することに依存します。ストーン・フォン・ノイマンの定理は、有限次元ハイゼンベルク交換関係のすべての既約表現がユニタリ等価であることを規定しています。その帰結を体系的に理解することで、量子力学の位相空間定式化が実現しました。これは、ヒルベルト空間ではなく完全な位相空間で機能するため、その古典的極限とのより直感的なつながりを持ちます。この図式は、古典力学から量子力学への変形拡張である量子化の考察も簡略化します。

量子調和振動子は厳密に解ける系であり、異なる表現を容易に比較できる。そこでは、ハイゼンベルク表現、シュレーディンガー表現（位置または運動量）、位相空間表現の他に、フォック表現（数）とセガル・バーグマン表現（フォック空間またはコヒーレント状態）（アーヴィング・セガルとヴァレンタイン・バーグマンにちなんで命名）も存在する。これら4つはすべてユニタリー的に等価である。

オペレーターとしての勤務時間

The framework presented so far singles out time as the parameter that everything depends on. It is possible to formulate mechanics in such a way that time becomes itself an observable associated with a self-adjoint operator. At the classical level, it is possible to arbitrarily parameterize the trajectories of particles in terms of an unphysical parameter $s$ , and in that case the time t becomes an additional generalized coordinate of the physical system. At the quantum level, translations in $s$ would be generated by a "Hamiltonian" $H - E$ , where E is the energy operator and $H$ is the "ordinary" Hamiltonian. However, since s is an unphysical parameter, physical states must be left invariant by "s-evolution", and so the physical state space is the kernel of $H - E$ (this requires the use of a rigged Hilbert space and a renormalization of the norm).

This is related to the quantization of constrained systems and quantization of gauge theories. It is also possible to formulate a quantum theory of "events" where time becomes an observable.^[12]

Problem of measurement

The picture given in the preceding paragraphs is sufficient for description of a completely isolated system. However, it fails to account for one of the main differences between quantum mechanics and classical mechanics, that is, the effects of measurement.^[13] The von Neumann description of quantum measurement of an observable $A$ , when the system is prepared in a pure state $ψ$ is the following (note, however, that von Neumann's description dates back to the 1930s and is based on experiments as performed during that time – more specifically the Compton–Simon experiment; it is not applicable to most present-day measurements within the quantum domain):

Let $A$ have spectral resolution $A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),$ ここで、 $E A$ $はA$ に関連付けられた恒等写像（射影値測度とも呼ばれる）の分解である。すると、測定結果が $R$ の区間 $B$ $に含まれる確率は|E$ $A$ $($ $B$ $)$ $ψ$ $|$ $2$ となる。言い換えれば、この確率は、可算加法測度に対して $Bの特性関数を積分することによって得られる。$ $\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .$
測定値が $B$ に含まれる場合、測定直後、システムは（一般的に非正規化された）状態 $E A (B) ψ$ になります。測定値が $B$ に含まれない場合は、上記の状態に対応する補数で $Bを置き換えます。$

例えば、状態空間が $n$ 次元複素ヒルベルト空間 $C n$ であり、 $A$ $が固有値$ $λ i$ と対応する固有ベクトル $ψ i$ を持つエルミート行列であるとします。A に関連付けられた射影値測度E $A$ は、次のようになります $。$ $\operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$ ここで、 $Bは単一の固有値$ $λ i$ のみを含むボレル集合である。システムが状態に準備されている場合 $|\psi \rangle$ $すると、測定値がλ i$ の値を返す確率は、スペクトル測定値を積分することによって計算できる。 $\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle$ $B i$ 上で。これは自明に $\langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.$

フォン・ノイマン測定方式の特徴的な性質は、同じ測定を繰り返すと必ず同じ結果が得られることである。これは射影公準とも呼ばれる。

より一般的な定式化では、射影値測度を正値演算子値測度 (POVM) に置き換えます。例として、再び有限次元の場合を考えてみましょう。ここでは、ランク 1 の射影を置き換えます。 $|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ 有限個の正演算子によって $F_{i}F_{i}^{*}$ その和は以前と同様に恒等演算子（恒等性の分解）である。射影値測度に可能な結果の集合 ${λ 1 ... λ n}$ が関連付けられているのと同様に、POVM についても同じことが言える。測定結果が $λ i$ であると仮定する。正規化されていない状態に縮退する代わりに、 $|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle$ 測定後、システムは次の状態になります。 $F_{i}|\psi \rangle .$

$F i F i *$ 演算子は互いに直交射影である必要がないため、フォン・ノイマンの射影公準はもはや成り立たない。

同様の定式化は、一般的な混合状態にも適用されます。

フォン・ノイマンのアプローチでは、測定による状態変換は、時間発展による状態変換とはいくつかの点で異なっている。例えば、時間発展は決定論的かつユニタリーであるのに対し、測定は非決定論的かつ非ユニタリーである。しかし、どちらのタイプの状態変換も一つの量子状態から別の量子状態へと移行させるため、この違いは多くの人にとって不十分なものと見なされていた。POVM形式論では、測定は他の多くの量子操作の一つとみなされ、それらはトレースを増加させない完全正の写像によって記述される。

数学ツール一覧

この分野にまつわる逸話の一つに、ダヴィッド・ヒルベルトのゲッティンゲン大学での講義を基にリチャード・クーラントがまとめた数学物理学の教科書『数理物理学の方法』がある。数学者たちの間では、物理学者たちはシュレーディンガー方程式の登場まで、この内容を当時の研究分野には関係ないとして無視していたという話が語られている。シュレーディンガー方程式の登場によって、新しい量子力学の数学が既にこの中に示されていることが認識されたのだ。また、ハイゼンベルクが行列力学についてヒルベルトに相談したところ、ヒルベルトは無限次元行列に関する自身の経験は微分方程式から得られたものだと指摘したが、ハイゼンベルクはこの助言を無視し、数年後にワイルとディラックが成し遂げたような理論統一の機会を逃したとも言われている。これらの逸話の真偽はともかく、当時の理論の数学は従来通りであったのに対し、物理学は根本的に新しいものであったことは確かである。

主なツールは以下のとおりです。

注記

↑バイロン＆フラー 1992、p. 277。
↑ディラック 1925 .
↑コーエン・タンヌージ、ディウ、ラロエ 2020。
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↑ Solem & Biedenharn 1993 .
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↑ワイル 1950 年、180–181 ページ。
↑ジャウク、ウィグナー、ヤナセ 1997 年。
1 2さくらい＆ナポリタン 2021、p. 443.
↑桜井＆ナポリタン 2021、p. 434-437。
↑コーエン＝タンヌージ、ディウ＆ラロエ、2020、p. 1375 ～ 1377 年。
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さらに読む

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