公平なコイン

確率論と統計学では、各試行の成功確率が 1/2 である一連の独立した ベルヌーイ試行は、比喩的に「公平なコイン」と呼ばれます。確率が 1/2 でないコインは、「偏ったコイン」または「不公平なコイン」と呼ばれます。理論的研究では、コインが公平であるという仮定は、多くの場合、理想的なコインを参照して行われます。

ジョン・エドモンド・ケリッチはコイン投げの実験を行い、王冠ほどの大きさの木の円盤で作られ、片面に鉛が塗られたコインは、 1000回中679回表（木の面を上にして）が出るということを発見した。 ^[1] この実験では、コインを人差し指の上に乗せてバランスを取り、親指で投げてコインが約1フィート空中で回転してから、テーブルの上に広げた平らな布の上に落ちるようにした。エドウィン・トンプソン・ジェインズは、コインがバウンドするのではなく手にキャッチされると、コインの物理的な偏りは、十分に練習すれば100%表が出るようになるというトスの方法に比べて重要ではないと主張した。^[2]コインが公平かどうかを確認する問題の探求は、統計学を教える上で確立された教育ツールである。

確率論では、公平なコインは確率空間として定義され、確率空間は サンプル空間、事象空間、確率測度によって定義されます。表の場合は 、裏の場合は を使用して、コインのサンプル空間は次のように定義されます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$$

コインのイベント空間には、確率を割り当てることができるサンプル空間からのすべての結果セット（完全な累乗セット） が含まれます。したがって、イベント空間は次のように定義されます。 ${\displaystyle 2^{\Omega}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{\},\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$$

${\displaystyle \{\}}$はどちらの結果も起こらないイベント（あり得ないことなので確率 0 を割り当てる）であり、 はどちらかの結果が起こるイベント（保証されているため確率 1 を割り当てる）です。コインは公平なので、単一の結果の可能性は 50-50 です。確率の尺度は関数によって定義されます。 ${\displaystyle \{H,T\}}$

したがって、公平なコインを定義する完全な確率空間は、上で定義した 3 つ組です。表と裏には、公平な 2 値サイコロにあるような固有の数値がないため、これはランダム変数ではないことに注意してください。ランダム変数は、各結果に数値を割り当てるという追加の構造を追加します。一般的な選択肢は、またはです。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (H,T)\to (1,0)}$${\displaystyle (H,T)\to (1,-1)}$

コイン投げゲームの確率的および統計的特性は、入門書と上級書の両方で例としてよく使われており、これらは主にコインが公平または「理想的」であるという仮定に基づいています。たとえば、フェラーはこの基礎を使用して、ランダムウォークの考え方を紹介し、シーケンス内の同一値の連続の特性を調べることで、一連の観測内の均一性のテストを開発しました。 ^{[3]後者は、}連続テストにつながります。公平なコインを投げた結果で構成される時系列は、ベルヌーイ過程と呼ばれます。

不正行為者がコインを改変して片面をもう片面より有利にした場合（偏ったコイン）、ゲームを少し変更することでそのコインを公正な結果のために使用することができます。ジョン・フォン・ノイマンは次の手順を示しました：^[4]

1. コインを2回投げます。
2. 結果が一致する場合は、両方の結果を忘れて最初からやり直します。
3. 結果が異なる場合は、最初の結果を使用し、2 番目の結果は無視します。

このプロセスが公平な結果を生み出す理由は、コインは投げるたびにバイアスを変えず、2 回の投げは独立しているため、表と裏が出る確率は、裏と表が出る確率と同じでなければならないからです。これは、1 回の試行で 1 つの結果が得られても後続の試行のバイアスが変わらない場合にのみ機能し、これはほとんどの非可鍛性コインに当てはまります (ただし、ポリアの壷などのプロセスには当てはまりません)。この手順を繰り返すことで 2 つの表と 2 つの裏が出るイベントを除外すると、コインを投げる人には、同等の確率を持つ残りの 2 つの結果だけが残ります。この手順は、コイン投げが適切にペアになっている場合にのみ機能します。ペアの一部が別のペアで再利用されると、公平性が損なわれる可能性があります。また、コインは、片方の面の確率が 0 になるほど偏ってはなりません。

この方法は、4 回の投げのシーケンスも考慮することで拡張できます。つまり、コインを 2 回投げて結果が一致し、さらに 2 回投げて反対側の結果が一致した場合、最初の結果を使用できます。これは、HHTT と TTHH の確率が同じであるためです。これは、2 の任意の倍数に拡張できます。

n 番目のゲームでのコイントスの期待値は計算が難しくありません。まず、ステップ 3 ではイベントが何であれコインを 2 回投げていることに注目してください。ただし、ステップ 2 (または) ではやり直す必要があるため、コイントス 2 回と次のゲームのコイントスの期待値が得られます。ただし、最初からやり直すと、次のゲームの期待値は前のゲームまたは他のゲームの値と同じになるため、実際には n に依存しません。したがって(これは、期待値を再度取得するマルチンゲールであるプロセスとして理解できますが、総期待値の法則により、が得られます)、次のようになります。 ${\displaystyle E(F_{n})}$${\displaystyle HT}$${\displaystyle TH}$${\displaystyle E(F_{n}|HT,TH)=2}$${\displaystyle TT}$${\displaystyle HH}$${\displaystyle E(F_{n}|TT,HH)=2+E(F_{n+1})}$${\displaystyle E(F)=E(F_{n})=E(F_{n+1})}$${\displaystyle E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1})=F_{n}}$${\displaystyle E(E(F_{n+1}|F_{n},...,X_{1}))=E(F_{n})}$${\displaystyle E(F_{n+1})=E(E(F_{n+1}|F_{n},...,F_{1}))=E(F_{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(F)&=E(F_{n})\\&=E(F_{n}|TT,HH)P(TT,HH)+E(F_{n}|HT,TH)P(HT,TH)\\&=(2+E(F_{n+1}))P(TT,HH)+2P(HT,TH)\\&=(2+E(F))P(TT,HH))+2P(HT,TH)\\&=( 2+E(F))(P(TT)+P(HH))+2(P(HT)+P(TH))\\&=(2+E(F))(P(T)^{2}+P(H)^{2})+4P(H)P(T)\\&=(2+E(F))(1-2P(H)P(T))+4P(H)P(T)\\&=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \therefore E(F)=2+E(F)-2P(H)P(T)E(F)\Rightarrow E(F)={\frac {1}{P(H)P(T)}}={\frac {1}{P(H)(1-P(H))}}}$

コインの偏りが大きければ大きいほど、公正な結果を得るまでにより多くの試行を実行する必要がある可能性が高くなります。

バイアスが既知であると仮定します。このセクションでは、コイン投げの期待回数を改善する簡単なアルゴリズム^[5]を示します。このアルゴリズムでは、任意の確率でコインをシミュレートすることができ、反復ごとに の値が内部的に変化します。公平なコインを得るために、アルゴリズムはまず次の手順 を設定し、実行します。${\displaystyle b:=P({\mathtt {H}})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=0.5}$

1. 偏ったコインを投げて、その結果を見てみましょう。${\displaystyle X\in \{{\mathtt {H}},{\mathtt {T}}\}}$
2. の場合、反転結果が であればを使用します。それ以外の場合はに設定して手順 1 に戻ります。${\displaystyle p\geq b}$${\displaystyle {\mathtt {H}}}$${\displaystyle X={\mathtt {H}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {pb}{1-b}}}$
3. それ以外の場合、反転結果が であればを使用します。それ以外の場合はに設定し、手順 1 に戻ります。${\displaystyle p<b}$${\displaystyle {\mathtt {T}}}$${\displaystyle X={\mathtt {T}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {p}{b}}}$

上記のアルゴリズムは、コインを投げる回数の最適な期待値(ここではバイナリ エントロピー関数) に到達しないことに注意してください。この最適値の期待値に到達するアルゴリズムは存在します。ただし、それらのアルゴリズムは上記のものよりも洗練されています。 ${\displaystyle 1/H(b)}$${\displaystyle H(b)}$

上記のアルゴリズムでは、偏ったコイン投げの期待回数は であり、これはフォン・ノイマンのアプローチで期待されるコイン投げのちょうど半分です。 ${\displaystyle {\frac {1}{2b(1-b)}}}$

上記のアルゴリズムの正確さは、条件付き期待値の完璧な実行です。次に、コイン投げの期待回数を分析します。

バイアスと の現在の値が与えられれば、結果が返されるまでに予想されるコイン投げの回数を表す関数を定義できます。 の再帰関係は次のように記述できます。 ${\displaystyle b=P(H)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{b}(p)}$${\displaystyle f_{b}(p)}$

$${\displaystyle f_{b}(p)={\begin{cases}1+b\cdot f_{b}\left({\frac {p}{b}}\right)&{\text{if }}p<b\\1+(1-b)\cdot f_{b}\left({\frac {p-b}{1-b}}\right)&{\text{if }}p\geq b\end{cases}}}$$

これは次の関数を解きます。

$${\displaystyle f_{b}(p)={\frac {b+(1-2b)p}{b(1-b)}}}$$

のとき、コイン投げの期待回数は希望どおりになります。 ${\displaystyle p=0.5}$${\displaystyle f_{b}(0.5)={\frac {1}{2b(1-b)}}}$

• コインが公平かどうかを確認する
• コイン投げ
• フェラーのコイントス定数

• ゲルマン、アンドリュー、デボラ・ノーラン (2002)。「教師のコーナー: サイコロに不正を働くことはできるが、コインにバイアスをかけることはできない」。アメリカ統計学者。56 (4): 308–311。doi : 10.1198 /000313002605。Andrew Gelmanのウェブサイトから入手可能
• 「生涯にわたるデバンカーが中立的な選択の裁定者となる: マジシャンから数学者に転身した人物がコイン投げで偏りを暴く」スタンフォード レポート。2004 年 6 月 7 日。2008年 3 月 5 日閲覧。
• John von Neumann、「ランダムな数字に関連して使用されるさまざまな手法」、AS Householder、GE Forsythe、HH Germond 編、『モンテカルロ法』、米国標準局応用数学シリーズ、12 (ワシントン DC: 米国政府印刷局、1951): 36-38。