ジョン・フォン・ノイマン

フォン・ノイマンは、1903年12月28日、ハンガリー王国（当時はオーストリア＝ハンガリー帝国の一部）のブダペストで、裕福で宗教に無頓着なユダヤ人の家庭に生まれた。 ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}出生名はノイマン・ヤーノシュ・ラヨシュ。ハンガリー語では姓が先にくるため、彼の名前は英語のジョン・ルイスに相当する。^{[ 15 ]}

彼は3人兄弟の長男で、弟はミハーイ（ミハエル）とミクロス（ニコラス）だった。^{[ 16 ]}彼の父、ノイマン・ミクサ（マックス・フォン・ノイマン）は銀行家で、法学博士号を持っていた。彼は1880年代末にペーチからブダペストに移り住んだ。 ^{[ 17 ]}ミクサの父と祖父はハンガリー北部のゼムプレーン県オンド（現在はセレンチの一部）で生まれた。ジョンの母はカン・マルギット（マーガレット・カン）で、^{[ 18 ]}彼女の両親はマイゼルス家のカン・ヤカブとマイゼルス・カタリンだった。^{[ 19 ]}カン家の3世代はブダペストのカン・ヘラー事務所の上にある広々としたアパートに住んでおり、フォン・ノイマン一家は最上階の18部屋のアパートに住んでいた。^{[ 20 ]}

1913年2月20日、フランツ・ヨーゼフ皇帝は、オーストリア＝ハンガリー帝国への貢献により、ジョンの父をハンガリー貴族に昇格させた。^{[ 21 ]}ノイマン家は、こうして「マルギッタの」という意味のマルギッタイという世襲称号を得た（現在のルーマニア、マルギタ）。一家はこの町とは何の繋がりもなかった。この称号は、マルガリータにちなんで選ばれたものであり、彼らが選んだ紋章も、3人のマルガリータを描いたものであった。ノイマン・ヤーノシュはマルギッタイ・ノイマン・ヤーノシュ（ジョン・ノイマン・デ・マルギッタ）となり、後にドイツ語のヨハン・フォン・ノイマンに改名した。^{[ 22 ]}

フォン・ノイマンは神童だった。^{[ 23 ]}彼と兄弟、いとこたちは家庭教師から教育を受けた。フォン・ノイマンの父は、母語であるハンガリー語以外の言語の知識が不可欠だと考えていたため、子供たちは英語、フランス語、ドイツ語、イタリア語の家庭教師を受けた。^{[ 24 ]}伝説によると、フォン・ノイマンは8歳までに微分積分に精通し、12歳までにボレルの『関数論』を読んだという。^{[ 25 ]}彼は歴史にも興味があり、ヴィルヘルム・オンケンの46巻からなる世界史シリーズ『単著による一般史』を読んだ。^{[ 26 ]}アパートの一室は図書館兼読書室に改装された。^{[ 27 ]}

フォン・ノイマンは1914年にルーテル派のファソリ福音ギムナジウムに入学した。 ^{[ 28 ]}ユージン・ウィグナーはフォン・ノイマンより1学年上で、すぐに彼の友人となった。^{[ 29 ]}

フォン・ノイマンの父親は、息子が年齢相応の学年で学校に通うよう主張したが、フォン・ノイマンに高度な指導を受けさせるために家庭教師を雇うことに同意した。15歳で、フォン・ノイマンは解析学者のガーボル・セゲーのもとで高度な微積分を学び始めた。^{[ 29 ]}セゲーは初めてフォン・ノイマンに会った時、フォン・ノイマンの数学的才能とスピードに驚嘆し、妻の回想によると、涙を流しながら帰宅したという。^{[ 30 ]} 19歳までに、フォン・ノイマンは2つの主要な数学論文を発表し、そのうち2番目の論文では、ゲオルク・カントールの定義に取って代わる順序数の現代的な定義を示した。 ^{[ 31 ]}ギムナジウムでの教育を終える際、フォン・ノイマンは数学の国家賞であるエトヴェシュ賞に応募し、受賞した。^{[ 32 ]}

友人のテオドール・フォン・カルマンによると、フォン・ノイマンの父親はジョンに産業界に進んでほしいと考えており、フォン・カルマンに息子に数学を専攻しないように説得してほしいと頼んだ。^{[ 33 ]}フォン・ノイマンと父親は、最良の進路は化学工学だと判断した。フォン・ノイマンはこの分野についてあまり知識がなかったため、ベルリン大学で2年間の非学位化学コースを受講し、その後チューリッヒ工科大学の入学試験を受け、^{[ 34 ]} 1923年9月に合格した。^{[ 35 ]}同時にフォン・ノイマンは、当時ブダペスト大学として知られていたパーズマーニ・ペーテル大学に数学の博士課程候補生として入学した。^{[ 36 ]}博士論文では、カントールの集合論の公理化を行った。^{[ 37 ] [ 38 ]} 1926年、彼はチューリッヒ工科大学で化学工学の学位を取得し、同時にブダペスト大学で数学の博士号（実験物理学と化学を副専攻）の最終試験に最優等の成績で合格した。 ^{[ 39 ] [ 40 ]}

その後、彼はロックフェラー財団からの助成金を受けてゲッティンゲン大学に行き、デイヴィッド・ヒルベルトの下で数学を学んだ。^{[ 41 ]}ヘルマン・ワイルは、1926年から1927年の冬にフォン・ノイマン、エミー・ネーター、そして自分が授業後に「ゲッティンゲンの冷たく湿った雨に濡れた通り」を歩きながら、超複素数系とその表現について議論していたことを覚えている。^{[ 42 ]}

1955年、フォン・ノイマンの鎖骨付近に腫瘤が見つかり、それが骨、膵臓、または前立腺に由来する癌であることが判明した。（腫瘍が転移していたことは概ね一致しているが、原発癌の位置については情報源によって異なっている。）[注3] [76] この悪性腫瘍はロスアラモス国立研究所での放射線^{被曝が原因だった可能}性がある。 [ 77 ^]死期が近づくと、彼は司祭を求めたが、司祭は後に、フォン・ノイマンは終油の秘蹟を受けてもほとんど慰められず、死を恐れて受け入れることができなかったと回想している。^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ]}フォン・ノイマンは宗教観について、「不信者が永遠の地獄に落ちる可能性がある限り、最後には信者である方が論理的だ」とパスカルの賭けに言及して述べたと伝えられている。彼は母親に「神はいるはずだ。いないよりいる方が説明しやすいことがたくさんある」と打ち明けた。^{[ 82 ] [ 83 ]} 

フォン・ノイマンはローマ・カトリック教徒として生き、1957年2月8日に53歳でウォルター・リード陸軍医療病院で亡くなり、プリンストン墓地に埋葬された。^{[ 48 ] [ 84 ] [ 85 ]}

20世紀初頭、素朴集合論に基づいて数学を構築しようとする試みは、ラッセルのパラドックス（自身に属さないすべての集合の集合に関するパラドックス）のために挫折を味わった。 ^{[ 86 ]}集合論の適切な公理化の問題は、約20年後にエルンスト・ツェルメロとアブラハム・フレンケルによって暗黙のうちに解決された。ツェルメロ＝フレンケル集合論は、数学の日常的な実践で使用される集合の構成を可能にする一連の原理を提供したが、自身に属する集合の存在の可能性を明示的に排除することはなかった。フォン・ノイマンは1925年の博士論文で、そのような集合を排除する2つの手法、すなわち基礎公理とクラスの概念を示した。^{[ 87 ]}

基礎公理は、すべての集合はツェルメロ＝フレンケル原理によって、順序付けられた一連のステップで下から上に構築できることを提唱した。ある集合が別の集合に属する場合、その順序では必ず最初の集合が2番目の集合より前に来なければならない。これは、集合がそれ自身に属する可能性を排除する。この新しい公理を他の公理に追加しても矛盾が生じないことを示すために、フォン・ノイマンは内部モデル法を導入し、これは集合論における重要な証明手段となった。^{[ 87 ]}

集合が自身に属する問題に対する2番目のアプローチは、クラスの概念を基礎とし、集合を他のクラスに属するクラスとして定義し、真のクラスを他のクラスに属さないクラスとして定義する。ツェルメロ-フレンケルのアプローチでは、公理により、自身に属さないすべての集合の集合を構成することができない。対照的に、フォン・ノイマンのアプローチでは、自身に属さないすべての集合のクラスは構成できるが、それは集合ではなく真のクラスである。^{[ 87 ]}

総じて、フォン・ノイマンの集合論における主な業績は、「集合論の公理化と（それに関連して）順序数と基数の洗練された理論、および超限帰納法による定義原理の最初の厳密な定式化」であった。^{[ 88 ]}

フォン・ノイマンの集合論への貢献により、集合論の公理系は以前の体系の矛盾を回避し、その無矛盾性の証明がないにもかかわらず、数学の基礎として使用できるようになった。次の問題は、それが提起できるすべての数学的問題に決定的な答えを与えるのか、それともより広いクラスの定理を証明するために使用できるより強力な公理を追加することによって改善できるのかということであった。 ^{[ 91 ]}

1927年までに、フォン・ノイマンはゲッティンゲンで、初等算術がペアノ公理から導かれるかどうかについての議論に参加していた。^{[ 92 ]}アッカーマンの研究に基づいて、彼は（ヒルベルト学派の有限主義的方法を用いて）一階算術の無矛盾性を証明しようと試み始めた。彼は（帰納法の制限を用いることで）自然数の算術の断片の無矛盾性を証明することに成功した。^{[ 93 ]}彼は証明論の方法を用いて、古典数学の無矛盾性のより一般的な証明を探し続けた。^{[ 94 ]}

それが決定的なものかどうかという問いに対する強い否定的な答えは、1930年9月に開催された第2回精密科学認識論会議でクルト・ゲーデルが不完全性に関する最初の定理を発表した際に示された。すなわち、通常の公理系は、その言語で表現可能なすべての真理を証明できないという意味で不完全である。さらに、これらの系のすべての無矛盾な拡張は必然的に不完全なままである。^{[ 95 ]}会議で、フォン・ノイマンはゲーデルに、整数に関する決定不能な命題について彼の結果を変換してみるよう提案した。^{[ 96 ]}

1か月も経たないうちに、フォン・ノイマンはゲーデルに、彼の定理の興味深い帰結を伝えた。それは、通常の公理系は自身の無矛盾性を証明することができないというものだ。^{[ 95 ]}ゲーデルは、この帰結を既に発見しており、現在では彼の第二不完全性定理として知られていること、そして、両方の結果を含む論文のプレプリントを送ると返信したが、それは結局出版されなかった。^{[ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]}フォン・ノイマンは次の手紙でゲーデルの優先権を認めた。^{[ 100 ]}しかし、フォン・ノイマンの証明方法はゲーデルのものとは異なり、また、第二不完全性定理はゲーデルが考えていたよりもはるかにヒルベルトの計画に大きな打撃を与えたという意見も持っていた。^{[ 101 ] [ 102 ]}この発見により、数学的厳密性に対する彼の見解は劇的に変化し、フォン・ノイマンは数学の基礎とメタ数学の研究を中止し、代わりに応用に関連する問題に時間を費やすようになった。^{[ 103 ]}

1932年に発表された一連の論文で、フォン・ノイマンは、不変測度を持つ力学系の状態を扱う数学の一分野であるエルゴード理論に基礎的な貢献をした。^{[ 104 ]} 1932年のエルゴード理論に関する論文について、ポール・ハルモスは「フォン・ノイマンが他に何もしていなかったとしても、これらの論文だけで彼の数学的不滅性を保証するのに十分だっただろう」と書いている。^{[ 105 ]}その頃にはフォン・ノイマンはすでに作用素論に関する論文を書いており、この研究の応用が彼の平均エルゴード定理に役立った。^{[ 106 ]}

この定理は、任意の1パラメータユニタリ群に関するものである。$\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$そして、すべてのベクトルに対して${\displaystyle \phi }$ヒルベルト空間では、${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ヒルベルトノルムで定義される計量の意味で存在し、ベクトルである${\displaystyle \psi }$それは次のようなものである。${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$すべての人々のために${\displaystyle t}$これは最初の論文で証明された。2番目の論文で、フォン・ノイマンは、ここでの彼の結果はボルツマンのエルゴード仮説に関連する物理的応用には十分であると主張した。彼はまた、エルゴード性はまだ達成されていないことを指摘し、これを今後の研究のために分離した。^{[ 107 ]}

同年後半、彼はエルゴード性の体系的な研究の始まりとなる影響力のある論文をもう1つ発表した。彼は、実数直線のエルゴード的測度保存作用が、すべての測度保存作用を構築できる基本的な構成要素であることを示す分解定理を与え、証明した。他にもいくつかの重要な定理が与えられ、証明されている。この論文とポール・ハルモスとの共同研究による別の論文の結果は、数学の他の分野で重要な応用がある。^{[ 107 ] [ 108 ]}

測度論では、 n次元ユークリッド空間R ⁿの「測度の問題」は、「 R ⁿのすべての部分集合のクラス上に、正で正規化された不変かつ加法的な集合関数が存在するか」と述べることができる。 ^{[ 109 ]}フェリックス・ハウスドルフとシュテファン・バナッハの研究は、 n = 1またはn = 2の場合、測度の問題には正の解があり、それ以外のすべての場合では負の解 (バナッハ-タルスキーのパラドックスのため) があることを示唆していた。フォン・ノイマンの研究は、「この問題は本質的に群論的な性質を持つ」と主張した。つまり、測度の存在は、与えられた空間の変換群の性質を調べることによって決定できる。次元が最大 2 の空間に対する正の解と、より高次元の空間に対する負の解は、ユークリッド群が最大 2 の次元に対しては可解群であり、より高次元に対しては可解群ではないという事実から生じる。 「したがって、フォン・ノイマンによれば、違いを生むのは群の変化であって、空間の変化ではない。」^{[ 110 ]} 1942年頃、彼はドロシー・マハラムに、すべての完備σ有限測度空間が乗法的な持ち上げを持つことを証明する方法を教えた。彼はこの証明を公表せず、後に彼女が新しい証明を考案した。^{[ 111 ]}

フォン・ノイマンの論文のいくつかでは、彼が用いた議論の方法は、結果よりもさらに重要であると考えられている。フォン・ノイマンは、後に作用素の代数における次元理論の研究を行うにあたり、有限分解による同値性に関する結果を用い、関数の観点から測度の問題を再定式化した。^{[ 112 ]}フォン・ノイマンが測度理論に大きく貢献したことは、ハールが提起した、実数直線上のすべての有界関数からなる代数が存在し、「ほとんど至るところで等しい可測有界関数のクラスの代表の完全な体系」を形成するかどうかという問いに答えるために書かれた論文の結果である。 ^{[ 113 ]}彼はこれを肯定的に証明し、後にストーンと共著した論文で、この問題のさまざまな一般化と代数的側面について議論した。^{[ 114 ]}彼はまた、さまざまな一般的なタイプの測度に対する分解の存在を新しい方法で証明した。フォン・ノイマンは、関数の平均値を用いてハール測度の一意性に関する新たな証明も与えたが、この方法はコンパクト群にしか適用できなかった。^{[ 113 ]}彼はこれを局所コンパクト群に適用するために全く新しい手法を考案しなければならなかった。^{[ 115 ]}また、ラドン・ニコディムの定理についても独創的な新たな証明を与えた。^{[ 116 ]}彼が高等研究所で行った測度論に関する講義ノートは、当時アメリカにおけるこの分野の知識の重要な情報源であり、後に出版された。^{[ 117 ] [ 118 ] [ 119 ]}

フォン・ノイマンは、測度論に関するこれまでの研究を基に、位相群の理論にいくつかの貢献をした。その始まりは、群上のほぼ周期関数に関する論文で、フォン・ノイマンはボーアのほぼ周期関数の理論を任意の群に拡張した。^{[ 120 ]}彼はボフナーと共同で別の論文を発表し、ほぼ周期性の理論を改良して、数値ではなく線形空間の要素を値として取る関数を含めた。 ^{[ 121 ]} 1938年、彼はこれらの論文に関連する解析学の研究に対して、ボーヒャー記念賞を受賞した。^{[ 122 ] [ 123 ]}

1933年の論文で、彼はコンパクト群の場合のヒルベルトの第5問題の解法に新しく発見されたハール測度を使用した。^{[ 124 ]}この背後にある基本的なアイデアは、数年前にフォン・ノイマンが線形変換群の解析的性質に関する論文を発表し、一般線形群の閉部分群がリー群であることを発見したときに発見された。^{[ 125 ]}これは後にカルタンによって閉部分群定理の形で任意のリー群に拡張された。^{[ 126 ] [ 113 ]}

フォン・ノイマンは、抽象ヒルベルト空間を公理的に定義した最初の人物である。彼はそれを、エルミート内積を持つ複素ベクトル空間として定義し、対応するノルムは分離可能かつ完備であるとした。同じ論文の中で、彼はこれまで特定の例でのみ知られていたコーシー・シュワルツの不等式の一般形も証明した。 ^{[ 127 ]}彼は1929年から1932年にかけての3つの重要な論文で、ヒルベルト空間における作用素のスペクトル理論の発展を続けた。^{[ 128 ]}この研究は、彼の『量子力学の数学的基礎』に集約され、同年ストーンとバナッハによる2冊の本とともに、ヒルベルト空間理論に関する最初のモノグラフとなった。 ^{[ 129 ]}他の研究者による以前の研究では、弱い位相の理論は数列を使用して得られないことが示されていた。フォン・ノイマンは、困難を克服する方法のプログラムを最初に概説し、その結果、局所凸空間と位相ベクトル空間を初めて定義しました。さらに、彼が当時定義した他のいくつかの位相的性質（彼はハウスドルフの新しい位相的アイデアをユークリッド空間からヒルベルト空間に適用した最初の数学者の一人でした）^{[ 130 ]}、例えば有界性や全有界性などは、今日でも使用されています。^{[ 131 ]} 20年間、フォン・ノイマンはこの分野の「疑いのない達人」と見なされていました。^{[ 113 ]}これらの発展は主に量子力学のニーズによって促され、フォン・ノイマンはエルミート演算子のスペクトル理論を有界の場合から非有界の場合に拡張する必要性を認識しました。^{[ 132 ]}これらの論文におけるその他の主要な成果には、正規作用素のスペクトル理論の完全な解明、正作用素のトレースの最初の抽象的な表現、^{[ 133 ] [ 134 ]}当時のリースによるヒルベルトのスペクトル定理の表現の一般化、およびエルミート作用素の発見が含まれます。ヒルベルト空間において、自己共役作用素とは区別されるこの作用素によって、与えられたエルミート作用素を拡張するすべてのエルミート作用素を記述することが可能になった。彼は、当時スペクトル理論で一般的であった無限行列の使用が、エルミート作用素の表現として不十分であることを詳述した論文を書いた。作用素理論に関する彼の研究は、純粋数学における彼の最も深遠な発明、すなわちフォン・ノイマン環、そして一般に作用素環の研究につながった。^{[ 135 ]}

彼が後に行った作用素環の研究は、スペクトル理論の研究を見直し、ヒルベルト空間の直接積分を用いることで幾何学的内容を解く新しい方法を提供することにつながった。^{[ 132 ]}測度論の研究と同様に、彼は発表する時間がなかったいくつかの定理を証明した。彼はナフマン・アロンシャインとKTスミスに、1930年代初頭に不変部分空間問題に取り組んでいる際に、ヒルベルト空間内の完全連続作用素の適切な不変部分空間の存在を証明したと語った。^{[ 136 ]}

IJ Schoenbergと共に、実数直線上の並進不変ヒルベルト計量を調査するいくつかの項目を執筆し、その結果、それらの完全な分類が達成されました。それらの動機は、計量空間をヒルベルト空間に埋め込むことに関連するさまざまな問題にあります。^{[ 137 ] [ 138 ]}

彼はパスカル・ジョルダンと共に、平行四辺形の恒等式を用いて内積から与えられたノルムを初めて導出した短い論文を書いた。^{[ 139 ]}彼のトレース不等式は、行列近似問題で使用される行列理論の重要な結果である。^{[ 140 ]}また、彼はユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数（現在は対称絶対ノルムとして知られている）の理論を論じた最初の主要な論文で、前ノルムの双対がノルムであるという考え方を初めて提示した。^{[ 141 ] [ 142 ] [ 143 ]}この論文は自然に対称作用素イデアルの研究につながり、対称作用素空間の現代的研究の出発点となっている。^{[ 144 ]}

後にロバート・シャッテンと共に、ヒルベルト空間上の核作用素の研究を開始し、^{[ 145 ] [ 146 ]}バナッハ空間のテンソル積の研究を開始し、^{[ 147 ]}トレースクラス作用素を導入して研究し、 ^{[ 148 ]}そのイデアル、コンパクト作用素との双対性、および有界作用素との前双対性の研究を開始した。^{[ 149 ]}このトピックをバナッハ空間上の核作用素の研究に一般化することは、アレクサンダー・グロタンディークの最初の業績の1つであった。^{[ 150 ] [ 151 ]} 1937年にフォン・ノイマンはこの分野でいくつかの結果を発表しており、例えば、異なるクロスノルムの1パラメータスケールを与えている。${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$そして、現在シャッテン・フォン・ノイマンのイデアルとして知られているものに関する他のいくつかの結果を証明した。^{[ 152 ]}

フォン・ノイマンは、フォン・ノイマン代数（当初は W*-代数と呼ばれていた）を通して、作用素環の研究を創始した。作用素環に関する彼の最初のアイデアは 1930 年に既に存在していたが、数年後にFJ マレーと出会うまで、彼はそれらを深く研究し始めなかった。^{[ 153 ] [ 154 ]}フォン・ノイマン代数は、弱作用素位相で閉じられ、恒等作用素を含むヒルベルト空間上の有界作用素の*-代数である。^{[ 155 ]}フォン・ノイマンの双可換定理は、解析的定義が双可換に等しいという純粋に代数的な定義と同等であることを示している。^{[ 156 ]}可換代数の場合の研究を解明した後、フォン・ノイマンは 1936 年に、マレーとの部分的な協力のもと、非可換の場合、フォン・ノイマン代数の因子分類の一般的な研究に着手した。1936 年から 1940 年の間に彼がその理論を展開した 6 つの主要な論文は、「20 世紀の解析学の傑作に数えられる」。^{[ 157 ]}これらの論文は多くの基礎的な結果をまとめ、その後数十年にわたって数学者が取り組んだ作用素代数理論のいくつかのプログラムを開始した。その一例が因子の分類である。^{[ 158 ]}さらに、1938 年に彼は、可分ヒルベルト空間上のすべてのフォン・ノイマン代数が因子の直積分であることを証明した。彼は1949年までこの結果を公表する時間を見つけられなかった。^{[ 159 ] [ 160 ]}フォン・ノイマン代数は非可換積分の理論と密接に関係しており、フォン・ノイマンは自身の研究でそれをほのめかしたが、明示的に書き記さなかった。^{[ 161 ] [ 162 ]}極分解に関するもう1つの重要な結果は1932年に発表された。^{[ 163 ]}

1935年から1937年にかけて、フォン・ノイマンは、すべての2つの要素が最大下限と最小上限を持つ半順序集合の理論である格子理論の研究に取り組みました。ギャレット・バーコフが書いたように、「ジョン・フォン・ノイマンの卓越した頭脳は、流星のように格子理論を駆け抜けた」のです。^{[ 164 ]}フォン・ノイマンは、伝統的な射影幾何学と現代代数学（線形代数、環論、格子理論）を組み合わせました。それまで幾何学的であった多くの結果が、環上の一般加群の場合にも解釈できるようになりました。彼の研究は、射影幾何学における現代の研究の基礎を築きました。^{[ 165 ]}

彼の最大の功績は、連続幾何学の分野を創設したことである。^{[ 166 ]}これは、作用素環に関する彼の画期的な研究に続くものである。数学において、連続幾何学は複素射影幾何学の代替であり、部分空間の次元が離散集合にあるのではなく、${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$それは単位区間の要素になり得る${\displaystyle [0,1]}$以前、メンガーとバーコフは、線形部分空間の束の性質に基づいて複素射影幾何学を公理化していた。フォン・ノイマンは、作用素環に関する研究に続き、これらの公理を緩和して、より広いクラスの束である連続幾何学を記述した。

射影幾何学の部分空間の次元は離散的な集合（非負整数）であるのに対し、連続幾何学の要素の次元は単位区間全体にわたって連続的に変化する。${\displaystyle [0,1]}$フォン・ノイマンは、次元関数が連続的な次元範囲を取るフォン・ノイマン代数の発見に触発され、射影空間以外の連続幾何学の最初の例は、超有限型II因子の射影であった。^{[ 167 ] [ 168 ]}

より純粋な格子理論の研究において、彼はクラスを特徴付けるという難しい問題を解決した。${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$（任意の分割環上の連続次元射影幾何学）${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$) 束理論の抽象的な言語で。^{[ 169 ]}フォン・ノイマンは、完全補元モジュラー位相束における次元の抽象的な探求を提供した（内積空間の部分空間の束で生じる性質）。

次元は、正の線形変換を除いて、次の2つの性質によって決定される。それは、透視写像（「透視性」）によって保存され、包含関係によって順序付けられる。証明の最も重要な部分は、透視性と「分解による射影性」の等価性に関するものであり、その系として透視性の推移性が導かれる。

任意の整数に対して${\displaystyle n>3}$毎${\displaystyle {\mathit {n}}}$次元抽象射影幾何学は、${\displaystyle {\mathit {n}}}$次元ベクトル空間${\displaystyle V_{n}(F)}$（固有の）対応する分割環上で${\displaystyle F}$これはヴェブレン・ヤングの定理として知られています。フォン・ノイマンはこの射影幾何学における基本的な結果を連続次元の場合に拡張しました。^{[ 170 ]}この座標化定理は抽象射影幾何学と格子理論においてかなりの研究を刺激し、その多くはフォン・ノイマンの手法を用いて継続されました。^{[ 165 ] [ 171 ]}ビルコフはこの定理を次のように説明しています。

n ≥ 4 個の対となる視点要素の「基底」を持つ補元モジュラー格子L は、適切な正則環Rのすべての主右イデアルの格子ℛ( R )と同型である。この結論は、まったく新しい公理を含む 140 ページに及ぶ見事な鋭敏な代数学の集大成である。フォン・ノイマンの鋭い頭脳の忘れられない印象を得たい人は、この一連の厳密な推論を自分で辿ってみるだけでよい。その際、しばしばその 5 ページ分が朝食前に、バスローブを着て居間の書き物机に座って書き留められたものであることに気付くだろう。^{[ 172 ]}

この作業には正則環の作成が必要であった。^{[ 173 ]}フォン・ノイマン正則環とは、すべての に対して となる環である。${\displaystyle a}$要素${\displaystyle x}$が存在して、${\displaystyle axa=a}$[ ^{172 ]これらの環は、}フォン・ノイマン環、 AW*-環、および様々な種類のC*-環に関する彼の研究から派生し、それらと関連がある。^{[ 174 ]}

上記の定理の作成と証明の過程で、特に分配性（無限分配性など）に関して、多くの小さな技術的成果が証明され、フォン・ノイマンは必要に応じてそれらを発展させた。彼はまた、束における評価の理論を発展させ、計量束の一般理論の発展にも貢献した。^{[ 175 ]}

バーコフはフォン・ノイマンの死後発表した論文の中で、これらの成果のほとんどは2年間の集中的な研究期間に開発されたものであり、1937年以降も格子理論への関心は続いたものの、それは周辺的なものとなり、主に他の数学者への手紙の中で現れたと述べている。1940年の最後の貢献は、彼がバーコフと共に高等研究所で行った同テーマに関する共同セミナーで、σ完全格子順序環の理論を開発したことである。彼はその研究を出版用に書き上げることはなかった。^{[ 176 ]}

フォン・ノイマンは数理統計学に根本的な貢献をした。1941年、彼は独立かつ同一の正規分布に従う変数について、連続する差の平均二乗と標本分散の比の正確な分布を導出した。^{[ 177 ]}この比は回帰モデルの残差に適用され、誤差が系列的に独立であるという帰無仮説を、誤差が定常的な一次自己回帰に従うという対立仮説に対して検定するためのダービン・ワトソン統計量として一般に知られ^{ている。[ 178 ]}

その後、Denis SarganとAlok Bhargavaは、回帰モデルの誤差がガウスランダムウォークに従う（つまり単位根を持つ）かどうかを、それが定常一次自己回帰であるという対立仮説に対して検定する結果を拡張した。^{[ 179 ]}

フォン・ノイマンは若い頃、集合論的実解析と数論に関する論文をいくつか発表した。^{[ 180 ]} 1925年の論文で、彼は、の任意の稠密な点列に対して、${\displaystyle [0,1]}$それらの点の再配置は均等に分布していた。^{[ 181 ] [ 182 ] [ 183 ]}​​ 1926年に彼が発表した唯一の論文は、プリューファーの理想代数的数の理論に関するもので、彼はそれらを新たに構成する方法を発見し、プリューファーの理論をすべての代数的数の領域に拡張し、p進数との関係を明らかにした。^{[ 184 ] [ 185 ] [ 186 ] [ 187 ] [ 188 ]} 1928年に彼はこれらのテーマを継続する2つの追加論文を発表した。最初の論文は、区間を可算個の合同な部分集合に分割することを扱っていた。これは、区間が${\displaystyle \aleph _{0}}$-割り切れる。フォン・ノイマンは、半開区間、開区間、閉区間など、すべての区間が実際に割り切れることを証明した。${\displaystyle \aleph _{0}}$- 変換で割り切れる (つまり、これらの区間は次のように分解できる)${\displaystyle \aleph _{0}}$（平行移動によって合同な部分集合）。^{[ 189 ] [ 190 ] [ 191 ] [ 192 ]}彼の次の論文では、選択公理を用いずに構成的証明を与えることについて論じた。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$代数的に独立な実数が存在する。彼はそれを証明した。${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$代数的に独立している${\displaystyle r>0}$。したがって、連続体の大きさの完全な代数的に独立した実数の集合が存在する。^{[ 193 ] [ 194 ] [ 195 ] [ 196 ]}彼の初期のキャリアにおけるその他の小さな成果には、変分法の分野における最小化関数の勾配の最大原理の証明^[ 197 ] [ 198 ^{] [ 199 ] [ 200 ] 、幾何数論}における線形形式に対するヘルマン・ミンコフスキーの定理の小さな簡略化^{[ 201 ] [ 202 ] [ 203 ]}などがある。キャリアの後期には、パスカル・ジョルダンとユージン・ウィグナー と共に、量子論のより良い数学的形式を探そうとしながら、すべての有限次元形式的に実数であるジョルダン代数を分類し、アルバート代数を発見した基礎的な論文を書いた。^{[ 204 ] [ 205 ]} 1936年、彼は無限次元の場合を研究する論文で、以前のヒルベルト空間プログラムの公理をジョルダン代数の公理に置き換えるプログラムをさらに進めようと試みた^{[ 206 ] 。彼はこのトピックについて少なくとももう1つの論文を書く予定だったが、結局書かなかった。 [ 207 ]}それにもかかわらず、これらの公理はアーヴィング・シーガルによって始められた代数的量子力学のさらなる研究の基礎となった。^{[ 208 ] [ 209 ]}

フォン・ノイマンは、1932年の影響力のある著作『量子力学の数学的基礎』において、ディラック・フォン・ノイマン公理として知られる量子力学の厳密な数学的枠組みを初めて確立した。^{[ 210 ]}集合論の公理化を完了した後、彼は量子力学の公理化に取り組み始めた。彼は1926年に、量子系の状態は（複素）ヒルベルト空間内の点で表すことができ、一般に、単一の粒子であっても無限次元になり得ることに気づいた。この量子力学の形式では、位置や運動量などの観測可能な量は、量子系に関連付けられたヒルベルト空間に作用する線形演算子として表される。^{[ 211 ]}

量子力学の物理学は、それによってヒルベルト空間とそれに作用する線形演算子の数学に還元された。例えば、粒子の位置の決定は運動量の決定を妨げ、その逆もまた然りという不確定性原理は、対応する2つの演算子の非可換性に置き換えられる。この新しい数学的定式化には、ハイゼンベルクとシュレーディンガーの定式化の両方が特殊な場合として含まれていた。^{[ 211 ]}

フォン・ノイマンの抽象的な扱いは、決定論と非決定論という根本的な問題に立ち向かうことを可能にし、著書の中で、量子力学の統計的結果は、古典統計力学のように、根底にある決定された「隠れた変数」の平均であるはずがないという証明を提示した。1935年、グレーテ・ヘルマンは、その証明には概念的な誤りがあり、したがって無効であると主張する論文を発表した。 ^{[ 212 ]}ヘルマンの研究は、1966年にジョン・S・ベルがほぼ同じ主張をするまで、ほとんど無視されていた。 ^{[ 213 ]} 2010年、ジェフリー・バブは、ベルがフォン・ノイマンの証明を誤解していると主張し、その証明はすべての隠れた変数理論に有効ではないものの、明確に定義された重要な部分集合を排除するものだと指摘した。バブはまた、フォン・ノイマンはこの限界を認識しており、彼の証明が隠れた変数理論を完全に排除するとは主張していなかったと示唆している。^{[ 214 ]}バブの議論の妥当性は、逆に議論の的となっている。 1957年のグリーソンの定理は、フォン・ノイマンの定理に倣って隠れた変数に反対する議論を提供したが、より動機づけられ、物理的に意味のある仮定に基づいている。^{[ 215 ] [ 216 ]}

フォン・ノイマンの証明は、ベルの定理や1982年のアラン・アスペの実験を通して、量子物理学は古典物理学とは大きく異なる現実の概念を必要とするか、あるいは特殊相対性理論に明らかに違反する非局所性を含めなければならないことを示す研究の流れを開いた。^{[ 217 ]}

『量子力学の数学的基礎』のある章で、フォン・ノイマンは、いわゆる測定問題を深く分析した。彼は、物理宇宙全体を普遍的な波動関数に従わせることができると結論付けた。波動関数を収縮させるには「計算外」の何かが必要であったため、フォン・ノイマンは、収縮は実験者の意識によって引き起こされると結論付けた。彼は、量子力学の数学では、波動関数の収縮を、測定装置から人間の観察者の「主観的意識」に至る因果連鎖の任意の位置に置くことができると主張した。言い換えれば、観察者と観測対象の間の線はさまざまな場所に引くことができるが、理論はどこかに観察者が存在する場合にのみ意味を持つ。^{[ 218 ]}意識が収縮を引き起こすという考えはユージン・ウィグナーに受け入れられたが、^{[ 219 ]}この解釈は大多数の物理学者の間で受け入れられることはなかった。^{[ 220 ]}

量子力学の理論は進化を続けているが、ほとんどのアプローチの基礎となる量子力学の問題の数学的定式化の基本的な枠組みは、フォン・ノイマンが最初に用いた数学的定式化と手法に遡ることができる。理論の解釈やその拡張に関する議論は、現在では主に数学的基礎に関する共通の仮定に基づいて行われている。^{[ 210 ]}

フォン・ノイマンの量子力学に関する研究をヒルベルトの第6問題の解決の一部と捉え、数理物理学者のアーサー・ワイトマンは1974年に、彼の量子論の公理化はおそらく今日までで最も重要な物理理論の公理化であると述べた。1932年の著書で、量子力学は概念的な問題に明確な答えを与えることができる正確な数学的形式を持つという意味で成熟した理論となった。^{[ 221 ]}それにもかかわらず、フォン・ノイマンは晩年、自分が開発したすべての数学にもかかわらず、量子論全体に対する満足のいく数学的枠組みを見つけることができなかったため、この科学的研究の側面では失敗したと感じていた。^{[ 222 ] [ 223 ]}

第二次世界大戦中、フォン・ノイマンは流体力学の分野で基礎的な貢献をしました。これには、独立して考案した3人の科学者にちなんでテイラー・フォン・ノイマン・セドフ爆風波と呼ばれるようになった爆風波の古典的な流れ解^{[ 238 ]}や、ヤコフ・ボリソヴィチ・ゼルドヴィチとヴェルナー・ドーリングによる独立の爆発物のZND爆轟モデルの共同発見^{[ 239 ]}が含まれます。 1930年代には、フォン・ノイマンは成形炸薬の数学の権威となりました^{[ 240 ]}。

後にロバート・D・リヒトマイヤーと共に、フォン・ノイマンは人工粘性を定義するアルゴリズムを開発し、衝撃波の理解を深めた。コンピュータが流体力学や空力学の問題を解く際、急激な不連続領域（衝撃波）に計算グリッド点を多く配置してしまうことがあった。人工粘性の数学は、基本的な物理法則を犠牲にすることなく、衝撃波の遷移を滑らかにした。^{[ 241 ]}

フォン・ノイマンはすぐにコンピュータモデリングをこの分野に応用し、弾道学研究のためのソフトウェアを開発した。第二次世界大戦中、彼はアメリカ陸軍弾道研究所所長のRHケントに、衝撃波をシミュレートするために100個の分子からなる一次元モデルを計算するコンピュータプログラムを持ちかけた。フォン・ノイマンは、友人のテオドール・フォン・カルマンを含む聴衆の前で、そのプログラムに関するセミナーを行った。フォン・ノイマンが講演を終えると、フォン・カルマンは「もちろん、ラグランジュも連続体力学をシミュレートするためにデジタルモデルを使用していたことはご存知でしょう」と言った。フォン・ノイマンはラグランジュの『解析力学』を知らなかった。^{[ 242 ]}

物理学では数学ほど多作ではなかったものの、彼は他にもいくつかの注目すべき貢献をした。ランダムに分布した星によって生成される変動する重力場の統計に関するスブラマニヤン・チャンドラセカールとの先駆的な論文は、傑作とみなされた。^{[ 243 ]}この論文で彼らは2体緩和の理論を開発し^{[ 244 ]} 、ホルツマーク分布を使用して恒星系のダイナミクスをモデル化した^{[ 245 ]}。^{[ 246 ]}彼は恒星構造のトピックに関する未発表の原稿をいくつか書いており、そのいくつかはチャンドラセカールの他の著作に含まれていた。^{[ 247 ] [ 248 ]}オズワルド・ヴェブレンが主導した初期の研究で、フォン・ノイマンはロジャー・ペンローズのツイスター理論につながるスピノールに関する基本的なアイデアの開発に貢献した。^{[ 249 ] [ 250 ]}この研究の多くは、1930 年代にIASで行われたセミナーで行われた。 ^{[ 251 ]}この研究から、彼はAH Taubと Veblenと共に、1930 年代の量子重力理論の潜在的理論に関する初期の研究の一環として、座標、スピン、ゲージ変換に関して不変性を維持することに重点を置いた、射影相対性理論へのディラック方程式の拡張に関する論文を書いた。^{[ 252 ]}同時期に、彼は同僚に、新たに作成された量子場理論の問題に対処し、時空を量子化するためのいくつかの提案を行ったが、同僚も彼自身もそのアイデアは有益とは考えず、追求しなかった。^{[ 253 ] [ 254 ] [ 255 ]}それにもかかわらず、彼は少なくともいくらかの関心を持ち続け、1940 年にド・ジッター空間におけるディラック方程式に関する原稿を書いた。^{[ 256 ]}

フォン・ノイマンは、数学の学問分野としてゲーム理論を創始した。^{[ 257 ]}彼は1928年にミニマックス定理を証明した。この定理は、完全情報ゼロサムゲーム（つまり、各プレイヤーがこれまで起こったすべての動きを知っているゲーム）において、両プレイヤーがそれぞれ最大損失を最小化できる戦略のペアが存在することを示している。 ^{[ 258 ]}このような戦略は最適戦略と呼ばれる。フォン・ノイマンは、それらのミニマックスが（絶対値で）等しく、（符号が）反対であることを示した。彼はミニマックス定理を改良し、不完全情報ゲームや2人以上のプレイヤーがいるゲームにも適用できるように拡張し、この結果をオスカー・モルゲンシュテルンと共著した1944年の著書『ゲーム理論と経済行動』で発表した。この研究に対する世間の関心は非常に高く、ニューヨーク・タイムズ紙が一面記事で取り上げた。^{[ 259 ]}この著書の中で、フォン・ノイマンは、最大演算子が微分可能な関数を保存しないため、従来の微分計算ではなく、関数解析、特に凸集合と位相的不動点定理を使用する必要があると主張した。^{[ 257 ]}

フォン・ノイマンの関数解析的手法、すなわち実ベクトル空間の双対ペアリングを用いて価格と数量を表現する手法、支持超平面と分離超平面および凸集合を用いる手法、そして不動点理論は、それ以来、数理経済学の主要なツールとなっている。^{[ 260 ]}

フォン・ノイマンは、いくつかの影響力のある著作で経済学の数学的レベルを高めた。拡大経済モデルにおいて、彼はブロウワーの不動点定理の一般化を用いて均衡の存在と一意性を証明した。^{[ 257 ]}フォン・ノイマンの拡大経済モデルは、行列ペンシルを考慮した。${\displaystyle A-\lambda B}$非負行列AとBを用いて、フォン・ノイマンは確率ベクトルpとqおよび正の数を求めました。${\displaystyle \lambda }$それは相補性方程式を解くだろう${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$経済効率を表す2つの不平等システムとともに。このモデルでは、（転置された）確率ベクトルpは商品の価格を表し、確率ベクトルqは生産プロセスが実行される「強度」を表します。唯一の解${\displaystyle \lambda }$成長係数は、経済成長率に1 を加えた値であり、成長率は金利に等しい。^{[注 4 ] [ 261 ]}

フォン・ノイマンの結果は、線形計画法の特殊なケースとして捉えられており、彼のモデルは非負行列のみを使用しています。彼の拡大経済モデルの研究は、数学経済学者の関心を引き続けています。^{[ 262 ] [ 263 ]}この論文は、数理経済学における最も偉大な論文と呼ばれており、不動点定理、線形不等式、相補的スラックネス、鞍点双対性の導入を認めています。^{[ 264 ]}フォン・ノイマンの成長モデルに関する会議の議事録で、ポール・サミュエルソンは、多くの数学者が経済学者に役立つ方法を開発してきたが、フォン・ノイマンは経済理論自体に大きな貢献をした点で独特であると述べています。^{[ 265 ]}一般均衡に関する研究と不動点定理の方法論の永続的な重要性は、1972年にケネス・アロー、1983年にジェラール・ドブルー、そして1994年にジョン・ナッシュにノーベル賞が授与されたことによって強調されている。ナッシュは博士論文で不動点定理を用いて非協力ゲームと交渉問題の均衡を確立した。アローとドブルーは、ノーベル賞受賞者のチャリング・クープマンス、レオニード・カントロヴィッチ、ワシリー・レオンチェフ、ポール・サミュエルソン、ロバート・ドーフマン、ロバート・ソロー、レオニード・フルヴィッツと同様に、線形計画法も使用した。^{[ 266 ]}

フォン・ノイマンがこのテーマに興味を持ったのは、1928年と1929年にベルリンで講義をしていた時だった。彼は経済学者のニコラス・カルドアと同様に夏をブダペストで過ごし、カルドアはフォン・ノイマンに数理経済学者のレオン・ワルラスの本を読むよう勧めた。フォン・ノイマンは、ワルラスの一般均衡理論とワルラスの法則（連立一次方程式の体系につながる）が、負の量の製品を生産・販売することで利益を最大化できるという不条理な結果を生み出す可能性があることに気づいた。彼は方程式を不等式に置き換え、動的均衡などを導入し、最終的に論文を発表した。^{[ 267 ]}

行列ゲームに関する自身の研究成果と拡大経済モデルに基づいて、フォン・ノイマンは線形計画法における双対性の理論を考案した。ジョージ・ダンツィヒが数分で自身の研究について説明し、せっかちなフォン・ノイマンが要点を述べるように求めたところ、ダンツィヒは呆然と聞き入ってしまった。フォン・ノイマンは凸集合、不動点理論、双対性について1時間にわたる講義を行い、行列ゲームと線形計画法の等価性を推測した。^{[ 268 ]}

その後、フォン・ノイマンは、ポール・ゴルダン（1873）の同次線形システムを用いた新しい線形計画法を提案し、これは後にカルマルカーのアルゴリズムによって普及した。フォン・ノイマンの方法は、単体間のピボットアルゴリズムを使用し、ピボット決定は凸性制約（ゼロベクトルをアクティブ単体の凸包に投影する）を持つ非負最小二乗部分問題によって決定される。フォン・ノイマンのアルゴリズムは、線形計画法の最初の内点法であった。^{[ 269 ]}

フォン・ノイマンは、陸軍弾道研究所の顧問を務め、特にENIACプロジェクト^{[ 271 ]}では科学諮問委員会のメンバーとして貢献した^{[ 272 ]} 。単一メモリ、プログラム内蔵型のアーキテクチャは一般にフォン・ノイマン・アーキテクチャと呼ばれているが、このアーキテクチャはENIACとその後継機EDVACの発明者であるJ・プレスパー・エッカートとジョン・モークリーの研究に基づいている。ペンシルベニア大学でEDVACプロジェクトの顧問を務めていたフォン・ノイマンは、 EDVACに関する報告書の未完成の初稿を執筆した。この論文は、時期尚早な配布によりエッカートとモークリーの特許請求を無効にしたが、初期のコンピュータがプログラムを紙テープやプラグボードに別々に格納していたのとは異なり、データとプログラムを同じアドレス空間に格納するコンピュータについて記述していた。このアーキテクチャは、現代のデジタルコンピュータ設計のほとんどの基礎となった^{[ 273 ] 。}

次に、フォン・ノイマンはニュージャージー州プリンストンの高等研究所でIASマシンを設計した。彼は資金調達を手配し、コンポーネントは近くのRCA研究所で設計および製造された。フォン・ノイマンは、防衛用コンピュータという愛称で呼ばれたIBM 701に磁気ドラムを搭載することを推奨した。これはIASマシンの高速版であり、商業的に成功したIBM 704の基礎となった。^{[ 274 ] [ 275 ]}

フォン・ノイマンは1945年にマージソートアルゴリズムを発明した。このアルゴリズムでは、配列の前半と後半がそれぞれ再帰的にソートされ、その後マージされる。^{[ 276 ] [ 277 ]}

フォン・ノイマンの水素爆弾研究の一環として、彼はスタニスワフ・ウラムと共に流体力学計算のためのシミュレーションを開発した。また、複雑な問題の解を近似するために乱数を用いるモンテカルロ法の開発にも貢献した。 ^{[ 278 ]}

偏りのあるコインで公平なコインをシミュレートするフォン・ノイマンのアルゴリズムは、一部のハードウェア乱数発生器の「ソフトウェアホワイトニング」段階で使用されています。^{[ 279 ]} 「真に」乱数を得ることは非現実的であったため、フォン・ノイマンはミドルスクエア法を用いて擬似乱数の一種を開発しました。彼はこの粗雑な方法を、当時利用できた他のどの方法よりも高速であると正当化し、「乱数を生成する算術的方法を検討する者は、当然ながら罪の状態にある」と書いています。^{[ 279 ]}また、この方法がうまくいかなかった場合、微妙に間違っている可能性のある他の方法とは異なり、明らかにうまくいかなかったと指摘しています。^{[ 279 ]}

確率計算は1953年にフォン・ノイマンによって導入されました^{[ 280 ]}が、1960年代の計算技術の進歩まで実現できませんでした^{[ 281 ] [ 282 ]} 。1950年頃には、彼は計算の時間複雑性について最初に言及した人物の一人でもあり、それは最終的に計算複雑性理論の分野へと発展しました^{[ 283 ]}。

フォン・ノイマンによる自己複製構造の数学的解析は、DNA構造の発見に先立つものであった。^{[ 285 ]}ウラムとフォン・ノイマンは、1940年代から始まった生物システムの簡略化された数学モデルとして、セルオートマトンという分野を創始した人物としても広く認められている。 ^{[ 286 ]}

1948年と1949年の講義で、フォン・ノイマンは運動学的自己複製オートマトンを提案した。^{[ 287 ] [ 288 ]} 1952年までに、彼はこの問題をより抽象的に扱うようになった。彼は、セルの初期構成を自動的にコピーする精巧な2次元セルオートマトンを設計した。 ^{[ 289 ]}フォン・ノイマン・セルオートマトンに基づく フォン・ノイマン普遍構成器は、彼の死後に出版された『自己複製オートマトン理論』で詳細に説明された。^{[ 290 ]} 2次元グリッドの各セルが、直交する4つの隣接グリッドセルを隣接セルとする フォン・ノイマン近傍は、他のセルオートマトンにも引き続き使用されている。^{[ 291 ]}

おそらく「科学計算において史上最も影響力のある研究者」 ^{[ 292 ]}とみなされているフォン・ノイマンは、技術的にも管理的にもこの分野に数多くの貢献をした。彼はフォン・ノイマン安定性解析手順を開発し^{[ 293 ]} 、これは線形偏微分方程式の数値解法で誤差が蓄積するのを防ぐために今でも一般的に使用されている^{[ 294 ]}。 1947年にハーマン・ゴールドスタインと共著した論文は、暗黙的ではあるものの、後方誤差解析を初めて記述したものである^{[ 295 ]} 。彼はまた、ヤコビ法について最初に書いた人物の一人でもある^{[ 296 ]}。ロスアラモスでは、気体力学の問題を数値的に解くための機密報告書をいくつか書いた。しかし、これらの非線形問題に対する解析的手法の進歩が見られないことに彼は不満を感じていた。その結果、彼は計算的手法に目を向けた。^{[ 297 ]}彼の影響下で、ロスアラモスは1950年代から1960年代初頭にかけて計算科学のリーダーとなった。^{[ 298 ]}

この研究から、フォン・ノイマンは、計算は単に問題を数値的に力ずくで解くための道具ではなく、問題を解析的に解くための洞察も提供できること、 ^{[ 299 ]}また、コンピュータが役立つ科学および工学上の問題は非常に多岐にわたり、その中でも最も重要なのは非線形問題であることに気づいた。^{[ 300 ]} 1945 年 6 月の第 1 回カナダ数学会議で、彼は流体力学の問題、特に数値的に問題を解く一般的な考え方について初めて講演を行った。^{[ 242 ]}彼はまた、風洞が実際にはアナログ コンピュータであり、デジタル コンピュータがそれらに取って代わり、流体力学の新しい時代をもたらすことを説明した。ギャレット・バーコフはこれを「忘れられないセールス ピッチ」と評した。彼はゴールドスタインとともにこの講演を「大規模計算機の原理について」という原稿に発展させ、科学計算の支援を促進するために使用した。彼の論文では、楕円型境界値問題を解くための逆行列、ランダム行列、自動緩和法の概念も開発されました。^{[ 301 ]}

フォン・ノイマンは、コンピュータの応用可能性に関する研究の一環として、気象予報に興味を持ち、この分野の問題とマンハッタン計画中に取り組んだ問題との類似点に気づいた。^{[ 302 ]} 1946年、フォン・ノイマンは高等研究所で「気象プロジェクト」を設立し、気象局、米国空軍、米国海軍の気象サービスからプロジェクトの資金を確保した。^{[ 303 ]}当時、理論気象学者として第一人者とされていたカール＝グスタフ・ロスビーとともに、20人の気象学者を集め、この分野のさまざまな問題に取り組んだ。しかし、戦後の他の仕事があったため、プロジェクトを適切に指導するのに十分な時間を割くことができず、ほとんど成果は得られなかった。

若いジュール・グレゴリー・チャーニーがロスビーからプロジェクトの共同リーダーを引き継いだことで状況は一変した。^{[ 304 ]} 1950年までに、フォン・ノイマンとチャーニーは世界初の気候モデリングソフトウェアを作成し、フォン・ノイマンが使用を手配したENIACコンピュータ上で世界初の数値天気予報を実行するためにそれを使用した。 ^{[ 303 ]}フォン・ノイマンと彼のチームは、その結果を「順圧渦度方程式の数値積分」として発表した。^{[ 305 ]}彼らは共に、海と大気間のエネルギーと水分の交換を気候の研究に統合する取り組みにおいて主導的な役割を果たした。^{[ 306 ]}原始的ではあったものの、ENIACの予報のニュースはすぐに世界中に広まり、他の場所で多くの並行プロジェクトが開始された。^{[ 307 ]}

1955年、フォン・ノイマン、チャーニー、そして彼らの協力者たちは、資金提供者を説得してメリーランド州スーツランドに合同数値気象予報ユニット（JNWPU）を開設させ、そこで日常的なリアルタイム気象予報が開始された。^{[ 308 ]}次に、フォン・ノイマンは気候モデリングの研究プログラムを提案した。

このアプローチは、まず短期予測を試み、次に任意に長い期間にわたって持続する循環の特性の長期予測を行い、最後に単純な流体力学理論では扱うには長すぎ、平衡理論の一般原理では扱うには短すぎる中長期の予測を試みるというものである。^{[ 309 ]}

1955 年のノーマン A. フィリップスの肯定的な結果を受けて、フォン ノイマンは即座に反応し、プリンストンで「一般循環の問題への数値積分技術の応用」に関する会議を組織した。彼は再び戦略的にプログラムを予測的なものとして組織し、気象局と軍からの継続的な支援を確保し、JNWPU の隣に一般循環研究セクション (現在の地球物理流体力学研究所) の創設につながった。 ^{[ 310 ]}彼はモデリングの技術的問題とこれらのプロジェクトへの継続的な資金確保の両方に取り組み続けた。^{[ 311 ]} 19 世紀後半、スヴァンテ アレニウスは、人間の活動が二酸化炭素を大気中に追加することによって地球温暖化を引き起こす可能性があると示唆した。 ^{[ 312 ]} 1955年、フォン・ノイマンは、これがすでに始まっている可能性があると指摘した。「産業による石炭と石油の燃焼によって大気中に放出された二酸化炭素（過去1世代でその半分以上を占める）は、地球全体の気温を華氏約1度上昇させるのに十分なほど大気の組成を変化させた可能性がある。」^{[ 313 ] [ 314 ]}気象システムと気象予測に関する彼の研究は、太陽放射の吸収を高める（アルベドを低下させる）ために極地の氷冠に着色剤を散布することで環境を操作することを提案するに至った。^{[ 315 ] [ 316 ] [ 315 ] [ 316 ]} しかし、彼は大気改変のいかなる計画にも慎重を期すよう促した。

もちろん、何ができるかということと、何をするべきかということには何の関連性もありません。実際、地球規模の寒冷化または温暖化の最終的な結果を評価することは複雑な問題です。変化は海面レベル、ひいては大陸沿岸棚の居住可能性、海の蒸発、ひいては降水量と氷河レベルなどに影響を及ぼします。しかし、結果を予測し、任意の規模で介入し、最終的にはかなり素晴らしい結果を達成するために必要な分析を実行できることはほぼ間違いありません。 ^{[ 314 ]}

彼はまた、気象や気候の制御が軍事的に利用される可能性があると警告し、 1956年に議会で、それらはICBMよりもさらに大きなリスクをもたらす可能性があると述べた。^{[ 317 ]}

技術的文脈における特異点の概念の最初の使用はフォン・ノイマンに帰せられており、 ^{[ 318 ]}ウラムによれば、彼は「技術の絶え間ない進歩と人間の生活様式の変化は、人類の歴史における本質的な特異点に近づいているように見え、それを超えると、我々が知っているような人間の営みは継続できなくなる」^{[ 319 ]}と論じた。この概念は後に、アルビン・トフラーの1970年の著書『未来の衝撃』で具体化された。

1930年代後半から、フォン・ノイマンは爆発、つまり数学的にモデル化するのが困難な現象に関する専門知識を培った。この時期、彼は成形炸薬の数学における第一人者であり、数多くの軍事コンサルタントの仕事を引き受け、結果としてマンハッタン計画にも関わることになった。その関わりには、ニューメキシコ州のロスアラモス研究所にある計画の秘密研究施設への頻繁な訪問も含まれていた。^{[ 36 ]}

フォン・ノイマンは、後に長崎に投下されたファットマン兵器のプルトニウムコアを圧縮するために必要な爆発レンズの概念と設計において、原子爆弾に最も大きく貢献した。^{[ 320 ]}フォン・ノイマンは「爆縮」の概念を最初に考案したわけではないが、その最も熱心な支持者の一人であり、そのような設計は実現不可能だと感じていた多くの同僚の直感に反して、その開発を継続するよう促した。彼はまた、最終的には、より強力な成形炸薬と核分裂性の低い物質を使用して「組み立て」の速度を大幅に向上させるというアイデアも思いついた。^{[ 321 ]}

ウラン235が1発以上の爆弾を作るのに十分ではなく、またプルトニウム239がシンマン爆弾に使用できないことが判明すると、爆縮レンズ計画は大幅に拡大され、フォン・ノイマンのアイデアが採用された。爆縮は、ハンフォード・サイトから入手可能なプルトニウム239で使用できる唯一の方法だった。^{[ 322 ]}彼は必要な爆縮レンズの設計を確立したが、「エッジ効果」と爆薬の不完全性に関する懸念が残っていた。^{[ 323 ]}彼の計算では、爆縮が球対称から5%以上ずれなければ機能することが示された。^{[ 324 ]}モデルを使った一連の失敗の後、ジョージ・キスティアコフスキーによってこれが達成され、1945年7月にトリニティ爆弾の製造が完了した。^{[ 325 ]}

1944年9月にロスアラモスを訪れたフォン・ノイマンは、衝撃波の入射角が90°からある限界角の間であれば、固体物体からの爆発衝撃波の反射による圧力上昇は、これまで考えられていたよりも大きいことを示した。その結果、原子爆弾の有効性は、地上ではなく目標地点から数キロメートル上空で爆発させた方が高くなることが判明した。^{[ 326 ] [ 327 ]}

フォン・ノイマンは、広島と長崎を最初の原爆投下目標として選定する責任を負う標的選定委員会の一員であった。フォン・ノイマンは、爆弾の爆発規​​模、推定死者数、最適な衝撃波伝播のために爆弾を起爆させるべき地上からの距離に関する計算を監督した。文化の中心地である京都はフォン・ノイマンの第一候補であり^{[ 328 ]} 、マンハッタン計画のリーダーであるレスリー・グローブス将軍もこの選択を支持した。しかし、この目標はヘンリー・L・スティムソン陸軍長官 によって却下された^{[ 329 ]}。

1945年7月16日、フォン・ノイマンとその他多数のマンハッタン計画関係者は、コードネーム「トリニティ」と呼ばれる最初の原子爆弾爆発実験を目撃した。この実験は、ニューメキシコ州アラモゴルド爆撃場で、爆縮方式の装置のテストとして実施された。フォン・ノイマンは自身の観察のみに基づいて、この実験の爆発はTNT換算で5キロトン（21テラジュール）に相当すると推定したが、エンリコ・フェルミは、衝撃波が自分の位置を通過する際に紙片を落とし、それがどれだけ遠くまで飛散するかを観察することで、より正確な推定値である10キロトンを算出した。実際の爆発の威力は20～22キロトンであった。^{[ 330 ]}「キロトン」という表現が初めて登場したのは、フォン・ノイマンの1944年の論文である。^{[ 331 ]} 

フォン・ノイマンは動じることなく研究を続け、エドワード・テラーとともに水素爆弾計画を支える者の一人となった。彼はクラウス・フックスと協力して爆弾のさらなる開発に取り組み、1946年に二人は核分裂爆弾を使って核融合燃料を圧縮し、核融合を開始させる計画の概要を記した秘密特許を出願した。^{[ 332 ]}フックスとフォン・ノイマンの特許は放射線爆縮を利用したが、最終的な水素爆弾設計となったテラー・ウラム設計と同じ方法ではなかった。しかし、彼らの研究は、最終設計に採用された概念をテストする上で有益であった「ジョージ」作戦のグリーンハウスショットに組み込まれた。 ^{[ 333 ]}フックスとフォン・ノイマンの研究は、フックスが核スパイ活動の一環としてソ連に渡したが、ソ連独自のテラー・ウラム設計の開発には使用されなかった。歴史家のジェレミー・バーンスタインは、皮肉なことに、「ジョン・フォン・ノイマンとクラウス・フックスは1946年に水素爆弾の開発の方向性を根本的に変える可能性のある素晴らしい発明を生み出したが、爆弾が成功裏に製造されるまでその真価は完全には理解されなかった」と指摘している。^{[ 333 ]}

フォン・ノイマンは戦時中の功績により、 1946年7月に海軍功労民間人賞、1946年10月に功労勲章を授与された。 ^{[ 334 ]}

1950年、フォン・ノイマンは兵器システム評価グループの顧問となった^{[ 335 ]。}同グループの任務は、統合参謀本部と米国国防長官に対し、新技術の開発と使用について助言することであった^{[ 336} ]。また、核兵器の軍事面を担当する武装軍特殊兵器計画の顧問にもなった^{[ 335 ]}。続く2年間で、彼は米国政府全体で顧問を務めるようになった^{[ 337 ]} 。これには、中央情報局（CIA）、影響力のある原子力委員会の一般諮問委員会のメンバー、新設されたローレンス・リバモア国立研究所の顧問、米国空軍の科学諮問グループのメンバーなどが含まれる^{[ 335 ]。}この間、彼はペンタゴンで「スーパースター」の国防科学者となった。彼の権威は^、米国政府と軍の最高レベルで絶対的なものと見なされていた^{[ 338 ] 。}

アメリカ空軍諮問委員会の数回の会合で、フォン・ノイマンとエドワード・テラーは、 1960年までにアメリカがロケットの先端に搭載できるほど軽量な水素爆弾を製造できるようになると予測した。1953年、会合に出席していたバーナード・シュリーバーは、この可能性を確認するためにプリンストンのフォン・ノイマンを個人的に訪問した。 ^{[ 339 ]}シュリーバーはトレバー・ガードナーを勧誘し、ガードナーは数週間後にフォン・ノイマンを訪ね、ワシントンでそのような兵器のキャンペーンを開始する前に将来の可能性を十分に理解した。^{[ 340 ]}現在、戦略ミサイルと核兵器を扱う複数の委員会の委員長または委員を務めているフォン・ノイマンは、これらの分野とアメリカの爆撃機に対する戦略防衛におけるソ連の潜在的な進歩に関するいくつかの重要な議論を政府報告書に盛り込み、大陸間弾道ミサイル（ICBM）の作成を主張することができた。^{[ 341 ]}ガードナーは何度かフォン・ノイマンを米国国防総省の会議に連れて行き、彼の報告書について様々な高官と議論させた。^{[ 342 ]}これらの報告書にある慣性誘導機構などのいくつかの設計上の決定は、その後のすべてのICBMの基礎となった。^{[ 343 ]} 1954年までに、フォン・ノイマンはICBM計画への継続的な支援を確保するために、議会の様々な軍事小委員会で定期的に証言も行っていた。 ^{[ 344 ]}

しかし、これだけでは十分ではなかった。ICBM計画を本格的に進めるには、アメリカ合衆国大統領の直接的な行動が必要だった。^{[ 345 ]}彼らは1955年7月の直接会談でアイゼンハワー大統領を説得し、その結果、1955年9月13日に大統領令が出された。この大統領令は、ソ連がアメリカより先にICBMを開発すれば「国家安全保障と自由世界の結束に最も深刻な影響が出る」とし、ICBM計画を「他の何よりも最優先の研究開発計画」に指定した。国防長官は「最大限の緊急性をもって」計画を開始するよう命じられた。^{[ 346 ]}後に明らかになった証拠によれば、ソ連は当時すでに独自の中距離弾道ミサイルを試験していた。 ^{[ 347 ]}フォン・ノイマンは、ICBMに関する重要なアドバイザーとして、ペンシルベニア州ゲティスバーグの自宅を含め、大統領や他の高官と会談を続け、亡くなるまでその役割を果たした。^{[ 348 ]}

1955年、フォン・ノイマンは原子力委員会（AEC）の委員に就任した。当時、これは政府における科学者にとって最高位の公職であった。^{[ 349 ]}（正式には、彼の任命には他のすべてのコンサルティング契約を解消することが求められたが、^{[ 350 ]}空軍と数人の重要な上院議員が懸念を表明した後、フォン・ノイマンがいくつかの重要な軍事委員会で働き続けることが例外的に認められた。^{[ 348 ]}）彼はこの地位を利用して、大陸間弾道ミサイル（ICBM）による運搬に適した小型水素爆弾の生産を推進した。彼はこれらの兵器に必要なトリチウムとリチウム6の深刻な不足を解消することに関与し、陸軍が望んでいた中距離ミサイルで妥協することに反対した。彼は、ICBMによって敵地深くに投下される水素爆弾が最も効果的な兵器であり、ミサイルの相対的な不正確さは水素爆弾では問題にならないと断言した。彼は、ロシア人も同様の兵器システムを開発しているだろうと述べたが、それは事実だった。^{[ 351 ] [ 352 ]} 1955年後半、ルイス・シュトラウスが不在の間、フォン・ノイマンが委員会の議長代行を務めた。 ^{[ 353 ]}

フォン・ノイマンは、癌で亡くなる前の晩年、米国政府の極秘ICBM委員会の委員長を務め、時には自宅で会合を開いた。その目的は、熱核兵器を搭載できるほど大型のICBMを建造できるかどうかを決定することであった。フォン・ノイマンは、技術的な障害は大きいものの、克服できると長年主張していた。SM -65アトラスは、彼の死後2年後の1959年に最初の完全機能試験に合格した。^{[ 354 ]}より高度なタイタンロケットは1962年に配備された。どちらもフォン・ノイマンが委員長を務めたICBM委員会で提案されたものであった。^{[ 348 ]} ICBMの実現可能性は、ロケット技術の発展だけでなく、誘導や耐熱の問題がない改良された小型弾頭にも大きく依存しており、前者に関する彼の理解は彼の助言を非常に貴重なものにした。^{[ 354 ] [ 348 ]}

フォン・ノイマンが政府に就職した主な理由は、自由と文明が生き残るためには、アメリカ合衆国がナチズム、ファシズム、ソビエト共産主義といった全体主義に勝利する必要があると感じたからである。^{[ 58 ]}上院委員会の公聴会で、彼は自身の政治思想を「激しい反共産主義であり、一般的なものよりもはるかに軍国主義的である」と説明した。 ^{[ 355 ] [ 356 ]}

ハーマン・ゴールドスタインは、フォン・ノイマンが隠れた誤りを直感的に見抜き、古い資料を完璧に記憶する能力についてコメントした。^{[ 357 ] [ 358 ]}彼は困難に直面したとき、それに苦労するのではなく、家に帰って一晩考え、後で解決策を持って戻ってきた。^{[ 359 ]}この「抵抗の少ない道を選ぶ」スタイルは、時として彼が脱線することを意味し、また、最初から困難が大きかった場合は、突破口となる弱点を探そうとせず、単に別の問題に切り替えることも意味した。^{[ 360 ]}時には、彼は標準的な数学文献を知らないことがあり、参照文献を追いかけるよりも、必要な基本情報を再導出する方が簡単だと感じていた。^{[ 361 ]}

第二次世界大戦が始まると、彼は学業と軍事の両方の任務で非常に忙しくなった。講演を書き留めたり、研究成果を発表したりしないという彼の習慣は悪化した。^{[ 362 ]}彼は、頭の中で既に成熟していない限り、正式に文章で議論することが容易ではないと感じていた。そうでなければ、彼自身の言葉によれば、「衒学主義と非効率性の最悪の特性を発揮する」ことになる。^{[ 363 ]}

数学者のジャン・デュードネは、フォン・ノイマンについて「かつて隆盛を極めた多くの数学者集団、すなわち純粋数学と応用数学の両方に精通し、生涯を通じて両分野で着実に業績を残した偉大な数学者たちの最後の代表者であったかもしれない」と述べている。^{[ 157 ]}デュードネによれば、彼の特異な才能は解析学と「組み合わせ論」にあり、組み合わせ論は非常に広い意味で理解され、それまで数学とはほとんど関係がないと思われていた複雑な研究​​を整理し、公理化する彼の能力を表している。解析学における彼のスタイルは、線形代数と一般位相の基礎に基づくドイツ学派に倣った。フォン・ノイマンは百科事典的な背景を持っていたが、純粋数学における彼の範囲はポアンカレ、ヒルベルト、あるいはワイルほど広くはなかった。フォン・ノイマンは数論、代数位相、代数幾何学、微分幾何学において重要な業績を残したことはない。しかし、応用数学においては、彼の業績はガウス、コーシー、ポアンカレの業績に匹敵する。^{[ 113 ]}

ウィグナーによれば、「科学のすべてを知っている人は誰もいない。フォン・ノイマンでさえもそうだった。しかし、数学に関しては、彼は数論と位相幾何学を除くすべての分野に貢献した。これは、私が思うに、他に類を見ないことだ。」^{[ 364 ]}ハルモスは、フォン・ノイマンは多くの数学を知っていたが、最も顕著な欠落は代数位相幾何学と数論であったと指摘し、フォン・ノイマンがトーラスの位相幾何学的定義を認識できなかった出来事を回想した。^{[ 365 ]}フォン・ノイマンは、位相幾何学には全く才能がなく、決して得意ではなかったことをヘルマン・ゴールドスタインに認めており、ゴールドスタインは後に、より深く幅広いと考えていたヘルマン・ワイルと比較する際にこの点を持ち出した。^{[ 359 ]}

フォン・ノイマンの伝記の中で、サロモン・ボフナーは、フォン・ノイマンの純粋数学における業績の多くは有限次元および無限次元ベクトル空間に関するものであり、当時、それは数学全体の領域の大部分を網羅していたと述べている。しかし、彼は、これだけでは数学の重要な部分、特に「大域的な意味での」幾何学、トポロジー、微分幾何学、調和積分、代数幾何学などの分野は網羅されていないと指摘した。フォン・ノイマンはこれらの分野で研究することはほとんどなく、ボフナーの見解では、それらに対する親和性もほとんどなかった。^{[ 126 ]}

フォン・ノイマンの最後の論文の一つで、彼は純粋数学者がもはやその分野のほんの一部についてさえ深い知識を得ることができないことを嘆いた。^{[ 366 ]} 1940年代初頭、ウラムは彼の知識の弱点を見つけるために博士号試験のような試験を考案したが、フォン・ノイマンは微分幾何学、数論、代数学のそれぞれ1問ずつ満足に答えることができなかった。彼らは博士号試験には「永続的な意味はほとんどない」かもしれないと結論付けた。しかし、ワイルが20世紀の数学史の執筆依頼を、一人では成し遂げられないと主張して断ったとき、ウラムはフォン・ノイマンならそれを目指せたかもしれないと考えた。^{[ 367 ]}

ウラムは、ほとんどの数学者は一つの技法を習得してそれを繰り返し使うのに対し、フォン・ノイマンは三つの技法を習得していたと指摘した。

1. 線形演算子の記号操作に関する能力。
2. あらゆる新しい数学理論の論理構造に対する直感的な感覚。
3. 新しい理論の組み合わせ的超構造に対する直感的な感覚。^{[ 368 ]}

彼は一般的に解析学者と呼ばれていましたが、かつては自らを代数学者と分類しており、^{[ 369 ]}彼のスタイルはしばしば代数的手法と集合論的直観の混合を示していました。^{[ 370 ]}彼は細部にこだわることを好み、過剰な繰り返しや過度に明示的な記法を問題視しませんでした。その一例として、演算子の環に関する彼の論文があり、そこで彼は通常の関数記法を拡張しました。${\displaystyle \phi (x)}$に${\displaystyle \phi ((x))}$しかし、このプロセスは最終的に数回繰り返され、最終的には次のような方程式が得られました。${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$1936年の論文は、方程式が「消化する前に皮をむく必要があった」ことから、学生の間で「フォン・ノイマンのタマネギ」 ^{[ 371 ]として知られるようになった。全体として、彼の著作は明快で力強いものの、簡潔で優雅なものではなかった。 [ 372 ]}技術的には力強いものの、彼の主な関心は、数学的なパズルを解くことよりも、科学の根本的な問題や疑問を明確かつ実現可能な形で形成することにあった。^{[ 371 ]}

ウラムによれば、フォン・ノイマンは、目隠しチェスに例えられるほど流暢に頭の中で次元推定や代数計算を行い、物理学者たちを驚かせた。ウラムの印象では、フォン・ノイマンは具体的な視覚化ではなく、抽象的な論理的演繹によって物理的な状況を分析していた。^{[ 373 ]}

ゴールドスタインは、彼の講義をガラスの上で行われるように滑らかで明瞭だと評した。それに比べて、ゴールドスタインは、自身の科学論文ははるかに厳しい書き方で、洞察力もはるかに乏しいと考えていた。^{[ 62 ]}ハルモスは、彼の講義を「まばゆいばかり」と表現し、その話し方は明瞭で、速く、正確で、すべてを網羅していた。ゴールドスタインと同様に、彼もまた、講義ではすべてが「とても簡単で自然」に思えたが、後になって振り返ると不可解だったと述べている。^{[ 361 ]}彼は早口で話す人だった。バネシュ・ホフマンは速記でもメモを取るのが非常に難しいと感じた^{[ 374 ]。}アルバート・タッカーは、人々はフォン・ノイマンが提示するアイデアをじっくり考えるために、彼に質問をしてペースを落とさなければならないことが多かったと述べている。フォン・ノイマンはこのことを知っており、聴衆が自分の話が速すぎると教えてくれることに感謝していた。^{[ 375 ]}彼は講義の準備に時間を費やしたが、メモを使うことはほとんどなく、代わりに議論する内容と時間に関する要点を書き留めていた。^{[ 361 ]}

フォン・ノイマンは、特に象徴的な記憶力に優れた映像記憶力でも知られていた。ハーマン・ゴールドスタインは次のように書いている。

彼の驚くべき能力の一つは、驚異的な記憶力だった。私の知る限り、フォン・ノイマンは本や記事を一度読んだだけで、それを一字一句そのまま引用することができた。しかも、何年も経ってからでもためらうことなくそれをできた。彼はまた、原文から英語に翻訳する際も、速度を落とすことなく翻訳することができた。ある時、私は彼の能力を試すために、『二都物語』の冒頭部分を語ってもらうよう頼んだ。すると彼は、間髪入れずにすぐに第一章を暗唱し始め、10分か15分ほど経って止めるように言われるまで、暗唱し続けた。^{[ 376 ]}

フォン・ノイマンは電話帳のページを記憶できたと言われている。彼は友人たちにランダムにページ番号を言ってもらい、そこに載っている名前、住所、電話番号を暗唱して楽しませた。^{[ 26 ] [ 377 ]}スタニスワフ・ウラムは、フォン・ノイマンの記憶は視覚的ではなく聴覚的であると考えていた。^{[ 378 ]}

フォン・ノイマンの数学的流暢さ、計算速度、そして一般的な問題解決能力は、同僚たちの間で広く注目されていた。ポール・ハルモスは彼のスピードを「畏敬の念を抱かせる」と評した。^{[ 379 ]}ローター・ヴォルフガング・ノルトハイムは彼を「私がこれまでに出会った中で最も頭の回転が速い人物」と評した。^{[ 380 ]}エンリコ・フェルミは物理学者のハーバート・L・アンダーソンにこう言った。「ハーブ、ジョニーは私の10倍の速さで頭の中で計算できるんだ！そして私もハーブの10倍の速さで計算できる。だからジョニーがどれほどすごいか分かるだろう！」^{[ 381 ]}エドワード・テラーは「彼には到底ついていけなかった」と認め、^{[ 382 ]}イスラエル・ハルペリンは彼についていこうとするのを「三輪車でレーシングカーを追いかけるようなもの」と表現した。^{[ 383 ]}

彼は新しい問題を素早く解決する並外れた能力を持っていた。フォン・ノイマンが学生としてチューリッヒ工科大学で講義を受けていたジョージ・ポリアは、「ジョニーは私が恐れた唯一の学生だった。講義中に未解決の問題を提示すると、講義の終わりに彼は紙切れに完全な解決策を書き込んで私のところに来る可能性が高かった」と述べている。^{[ 384 ]}ジョージ・ダンツィヒがフォン・ノイマンに線形計画法の未解決問題を「普通の人間に説明するように」持ち込んだとき、それに関する文献は発表されていなかったが、フォン・ノイマンが「ああ、それだ！」と言って、それまで考えられていなかった双対性の理論を使って問題を解決する方法を1時間以上もさりげなく説明したことに、ダンツィヒは驚いた。^{[ 385 ]}

フォン・ノイマンが有名な「 2つの列車のパズル」^{[ 386 ]}に出会った話は数学の民間伝承となっているが、その本質は真実であると思われる^{[ 387 ]}。パズルの元のバージョンでは、2つの列車が20マイル離れたところから出発し、それぞれが時速10マイルで互いに向かって進み、衝突するまで続く。その間、ハエは衝突で潰されるまで時速15マイルで列車の間を行ったり来たりし続ける。質問者はハエが合計でどれだけ移動したかを尋ねる。素早く答えるための「コツ」は、ハエの個々の移動は重要ではなく、1時間時速15マイルで移動していたことだけが重要であることに気づくことである。ユージン・ウィグナーによれば^{[ 388 ]} 、マックス・ボルンがフォン・ノイマンにこのなぞなぞを出した。彼が質問した他の科学者たちは苦労して距離を計算したが、フォン・ノイマンがすぐに15マイルという正解を出したので、ボルンは彼がトリックを見抜いたに違いないと指摘した。「どんなトリックですか？」とフォン・ノイマンは答えた。「私がやったのは等比級数を足しただけです。」^{[ 389 ]}

ロータは、フォン・ノイマンが「根深い、繰り返し起こる自己疑念」を抱えていたと記している。^{[ 390 ]}ジョン・L・ケリーは1989年に、「ジョニー・フォン・ノイマンは、クルト・ゲーデルがピタゴラスとともに記憶される一方で、自分は忘れ去られるだろうと言っていたが、我々は皆、ジョニーを畏敬の念をもって見ていた」と回想している。^{[ 391 ]}ウラムは、フォン・ノイマンが自身の創造性に関して抱いていた自己疑念の一部は、不完全性定理やバーコフの点ごとのエルゴード定理を例に挙げ、自身には発見する能力が十分あったにもかかわらず、他者が発見したいくつかの重要なアイデアを発見できなかったという事実から生じた可能性があると示唆している。フォン・ノイマンは複雑な推論を追う卓越した才能と最高の洞察力を持っていたが、一見非合理的な証明や定理、あるいは直観的な洞察力については、自分には才能がないと感じていたのかもしれない。ウラムは、フォン・ノイマンが作用素環、連続幾何学、量子論理の研究をしていたプリンストン滞在中に、フォン・ノイマンは自分の研究の重要性を確信しておらず、独創的な技術的トリックや新しいアプローチを見つけた時だけ、多少の喜びを感じたと述べている。^{[ 392 ]}しかし、ロータによれば、ウラムをより創造的な数学者と評しながらも、フォン・ノイマンは友人であるウラムに比べて「比類なく優れた技術」を持っていたという。^{[ 390 ]}

ノーベル賞受賞者のハンス・ベーテは、「フォン・ノイマンのような脳は、人間よりも優れた種族の存在を示しているのではないかと、時々考えてしまう」と述べた。^{[ 26 ]}エドワード・テラーは、「フォン・ノイマンは私の3歳の息子と会話を交わし、二人は対等に話していた。彼が私たちと話すときも同じ原則を用いているのではないかと、時々考えてしまう」と述べている。^{[ 393 ]}ピーター・ラックスは、「フォン・ノイマンは考えること、特に数学について考えることに夢中だった」と書いている。^{[ 362 ]}ユージン・ウィグナーは、「彼は数学の問題を、その最初の側面だけでなく、その複雑さ全体において理解していた」と述べている。^{[ 394 ]}クロード・シャノンは彼を「私がこれまでに会った中で最も賢い人」と呼んだが、これは一般的な意見である。^{[ 395 ]}ジェイコブ・ブロノフスキーは、「彼は私が知っている中で最も賢い人だった。例外なく。そして彼は天才だった。天才とは、2つの偉大なアイデアを持つ人のことである」と書いている。^{[ 396 ]} 2006年にトム・ジークフリートは、「前世紀において博識家という言葉を体現した人物がいるとすれば、それはフォン・ノイマンである」と述べ、「物理学、数学、コンピュータ科学、経済学への彼の​​貢献は、彼を各分野における史上最高の知的巨人の一人として位置づけている」と書いた。^{[ 397 ]}

ウィグナーはフォン・ノイマンの並外れた頭脳に注目し、フォン・ノイマンは自分が知っている誰よりも頭の回転が速いと述べ、次のように述べている。^{[ 394 ]}

私はこれまで多くの聡明な人々と出会ってきました。マックス・プランク、マックス・フォン・ラウエ、ヴェルナー・ハイゼンベルクを知っていました。ポール・ディラックは私の義理の兄弟でした。レオ・シラードとエドワード・テラーは私の親友でした。アルバート・アインシュタインも良き友人でした。そして、多くの優秀な若手科学者とも知り合いました。しかし、彼らの誰一人として、ヤンチ・フォン・ノイマンほど頭の回転が速く、鋭敏な人物はいませんでした。私は彼らの前で何度もこのことを述べてきましたが、誰も私に反論したことはありません。

「科学者の影響力という概念を、科学そのもの以外の分野への影響まで含めて広く解釈するならば、ジョン・フォン・ノイマンはおそらくこれまで生きた中で最も影響力のある数学者だったと言っても差し支えないだろう」とミクロス・レデイは書いている。^{[ 398 ]}ラックスは、フォン・ノイマンがもっと長生きしていればノーベル経済学賞を受賞していたであろうし、「コンピュータ科学と数学にノーベル賞があれば、彼はそれらでも栄誉を受けていただろう」と述べている。^{[ 399 ]}ジャン＝カルロ・ロタは、フォン・ノイマンは「コンピューティングの無限の可能性を最初に見抜いた人物であり、最初の大型コンピュータの構築につながる相当な知的資源と工学資源を集める決意を持っていた」ため、「今世紀の他のどの数学者も、文明の進路にこれほど深く永続的な影響を与えたことはない」と書いている。^{[ 400 ]}彼は20世紀で最も偉大で影響力のある数学者および科学者の一人として広く認められている。^{[ 401 ]}多くの分野に及ぶ影響力と貢献の結果、彼は博学者として広く認識されている。^{[ 402 ] [ 403 ] [ 404 ]}

神経生理学者のレオン・ハーモンは、フォン・ノイマンをアインシュタイン、テラー、 J・ロバート・オッペンハイマーといった人物と会ったことがあるにもかかわらず、フォン・ノイマンこそが自分が会った唯一の「真の天才」だと評し、「フォン・ノイマンの頭脳はあらゆる分野を網羅していた。彼はどんな分野の問題でも解決できた。…そして彼の頭脳は常に働き、常に落ち着きがなかった」と述べている。^{[ 405 ]}学術以外のプロジェクトでコンサルタントを務める際、フォン・ノイマンの卓越した科学的能力と実用性の組み合わせは、軍将校、技術者、実業家から他の科学者には到底及ばないほどの高い信頼を得た。ハーバート・ヨークによれば、核ミサイル分野では彼は「明らかに支配的な顧問」と見なされていた。^{[ 406 ]}経済学者のニコラス・カルドアは、フォン・ノイマンを「私がこれまでに出会った中で間違いなく最も天才に近い人物」と評した。^{[ 264 ]}同様に、ポール・サミュエルソンは次のように書いています。「我々経済学者はフォン・ノイマンの天才に感謝している。彼がガウスだったのか、ポアンカレだったのか、ヒルベルトだったのかを計算するのは我々の役割ではない。彼は比類なきジョニー・フォン・ノイマンだった。彼はほんの一瞬我々の領域に飛び込んできて、それ以来、その領域は以前と同じではなくなった。」^{[ 407 ]}

フォン・ノイマンを記念して名付けられたイベントや賞には、オペレーションズ・リサーチおよびマネジメント・サイエンス研究所の年次ジョン・フォン・ノイマン理論賞^{[ 408 ]}、IEEEジョン・フォン・ノイマン・メダル^{[ 409 ]}、産業応用数学会のジョン・フォン・ノイマン賞[ ^{410 ]など}がある。月のクレーターフォン・ノイマン^{[ 411 ]}と小惑星22824フォン・ノイマンは、彼の名誉を称えて名付けられた^{[ 412 ] [ 413 ] 。}

フォン・ノイマンは、1947年に功労勲章、 1956年に自由勲章^{[ 414 ]} 、同じく1956年にエンリコ・フェルミ賞などの賞を受賞しました。彼はアメリカ芸術科学アカデミーや国立科学アカデミーなど、複数の名誉協会の会員に選出され、8つの名誉博士号を取得しました。^{[ 415 ] [ 416 ] [ 417 ]} 2005年5月4日、米国郵政公社は、芸術家ヴィクター・スタビンがデザインした「アメリカの科学者」記念切手シリーズを発行しました。描かれた科学者は、フォン・ノイマン、バーバラ・マクリントック、ジョサイア・ウィラード・ギブス、リチャード・ファインマンでした。^{[ 418 ]}

ジョン・フォン・ノイマン大学は、ケチケメート大学の後継として、2016年にハンガリーのケチケメートに設立されました。 ^{[ 419 ]}