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論理学の数学的研究と量子基礎の物理的分析において、量子論理は量子論の構造に触発された命題操作のための規則の集合である。この形式体系は、ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンの観察、すなわち古典力学における実験的検証の構造はブール代数を形成するが量子力学における実験的検証の構造ははるかに複雑な構造を形成するという観察を出発点としている。
量子力学的現象を分析するために、他にも多くの論理体系が提案されてきましたが、残念ながらそれらも「量子論理」という名称で呼ばれています。しかし、それらは本稿の主題ではありません。量子論理とこれらの競合する論理体系との類似点と相違点については、「 他の論理体系との関係」の項を参照してください。
量子論理は、命題推論全般において正しい論理として提唱されてきた。特に哲学者ヒラリー・パトナムは、少なくとも彼のキャリアのある時期にはそう主張していた。このテーゼは、パトナムが1968年に発表した論文「論理は経験的か？」の重要な要素であり、同論文の中で彼は命題論理の規則の認識論的地位を分析した。現代の哲学者は、量子論理には実質的な条件文が欠けているため、推論の基礎として量子論理を拒否している。一般的な代替案は線形論理体系であり、量子論理はその一部に過ぎない。
数学的には、量子論理はブール代数の分配法則を弱めることで定式化され、直交補元格子が得られる。量子力学的観測と状態はこの格子上の関数または格子への関数を用いて定義することができ、量子計算のための別の形式体系を提供する。
量子論理と古典論理の最も顕著な違いは、命題分配法則の破綻である。[ 1 ]
ここで、記号p、q、rは命題変数である。
分配法則がなぜ成り立たないのかを説明するために、直線上を運動する粒子を考え、（換算プランク定数が 1 であるような単位系を用いて）[注 1 ]
次のようなことが観察できるかもしれません。
言い換えれば、粒子の状態は、0から+1/6までの運動量と-1から+3までの位置の重み付き重ね合わせであるということ。
一方、「pとq」と「pとr 」という命題は、位置と運動量の同時値に対して不確定性原理で許容されるよりも厳しい制約を課しています（それぞれ不確定性は 1/3 であり、許容される最小値 1/2 より小さい）。したがって、どちらの命題も支持できる状態はなく、
ジョン・フォン・ノイマンは、1932年の古典的著作『量子力学の数学的基礎』の中で、ヒルベルト空間への射影は物理的観測量に関する命題、すなわち、観測者が物理系の状態について尋ねる可能性のあるイエス・ノーの質問であり、何らかの測定によって解決できる質問であると指摘した。[ 2 ] これらの量子命題を操作するための原理は、1936年の論文でフォン・ノイマンとバーコフによって量子論理と呼ばれた。 [ 3 ]
ジョージ・マッキーは、1963年の著書（「量子力学の数学的基礎」とも呼ばれる）の中で、直交補元格子の構造として量子論理を公理化しようと試み、物理的観測量が量子命題によって定義。マッキーの発表では、直交補元格子は可分ヒルベルト空間の閉じた線形部分空間の格子であると仮定されていたが、[4 ]コンスタンティン・ピロン、ギュンター・ルートヴィヒらは後に、基礎となるヒルベルト空間を仮定しない公理化を開発した。[5 ]
ハンス・ライヘンバッハが当時発表したばかりの一般相対性理論の擁護に触発され、哲学者ヒラリー・パトナムは1968年と1975年の2つの論文でマッキーの研究を普及させた[ 6 ]。その中で彼は、量子測定に関連する異常は論理そのものの失敗に起因するという考えを、共著者である物理学者デイビッド・フィンケルスタインに帰した[ 7 ]。 パトナムは量子測定の問題における隠れた変数や波動関数の崩壊に代わる可能性のある代替案を開発することを望んでいたが、グリーソンの定理はこの目標にとって深刻な困難をもたらす[ 6 ] [ 8 ] 。 後にパトナムは、それほど大々的ではないものの、自身の見解を撤回したが[ 6 ]、既にダメージは与えられていた。ビルコフとフォン・ノイマンの当初の研究は、量子力学のコペンハーゲン解釈に関連する計算を整理しようとしただけであったが、量子論理が実行可能な隠れた変数理論を提供するか、あるいは隠れた変数理論の必要性をなくすことを期待する研究者の学派が出現した。[ 9 ] 彼らの研究は実を結ばず、今では評判が悪い。[ 10 ]
ほとんどの哲学者は、量子論理が古典論理の競合相手ではないことに同意するだろう。量子論理が、量子装置によって行われた測定を要約するための特に便利な言語ではなく、推論のプロセスを記述する意味での論理であることは、明白ではない（ただし、真実である[ 11 ] ）。 [ 12 ] [ 13 ]特に、一部の現代の科学哲学者は、量子論理は物理学の問題を適切に解決するのではなく、物理学における未解決の問題の代わりに形而上学的な困難をもたらそうとしていると主張する。[ 14 ]ティム・モードリンは、量子論理は「問題を述べることを不可能にすることによって、[測定]問題を『解決』する」と書いている。 [ 15 ]
量子論理は論理学者の間で依然として使用されており[ 16 ] 、量子コンピューティングの最近の発展により関心が拡大しており、量子プロトコルとアルゴリズムの形式分析のための新しい論理が急増している（ § 他の論理との関係も参照）。[ 17 ] この論理は（計算）言語学にも応用される可能性がある。
量子論理は、次の恒等式を法とする命題の理論として公理化できる。[ 18 ]
（「¬ 」は「否定」を表す伝統的な表記、「∨ 」は「または」を表す表記、「∧ 」は「かつ」を表す表記です。）
一部の著者は、直交モジュラー格子に限定しており、直交モジュラー法則も満たしています。[ 19 ]
（「⊤」は真を表す伝統的な表記法であり、「⊥」は偽を表す伝統的な表記法である。）
代替的な定式化には、自然演繹によって導出可能な命題[ 16 ] 、シーケント計算[ 20 ] [ 21 ]、またはタブローシステム[ 22 ]が含まれる。 比較的発展した証明理論にもかかわらず、量子論理は決定可能であるとは知られていない[ 18 ]。
本稿の残りの部分は、読者がヒルベルト空間上の自己共役作用素のスペクトル理論に精通していることを前提としている。ただし、主要な考え方は有限次元の場合にも理解できる。
古典力学のハミルトニアン形式には、状態、観測量、およびダイナミクスの3つの要素があります。 R 3内を運動する単一の粒子の最も単純なケースでは、状態空間は位置-運動量空間R 6です。観測量とは、状態空間上の実数値関数fのことです。観測量の例としては、粒子の位置、運動量、またはエネルギーがあります。古典系の場合、 f ( x ) の値、つまり特定のシステム状態xに対するfの値は、 fの測定プロセスによって得られます。
古典システムに関する命題は、次の形式の基本命題から生成される。
従来の算術演算と点ごとの極限を通して。古典体系における命題のこの特徴付けから、対応する論理が状態空間のボレル部分集合のブール代数と同一であることが容易に導かれる。したがって、それらは古典的な命題論理の法則（ド・モルガンの法則など）に従い、集合演算の和集合と積集合はブール論理の連言に対応し、部分集合の包含は実質含意に対応する。
実際、より強い主張は正しい。それらは無限論理L ω 1、ωに従わなければならない。
これらの考察を以下のようにまとめます。古典システムの命題体系は、特徴的な直交補元演算を持つ束です。束演算である「交わり」と「結合」は、それぞれ集合の交差と集合の和集合です。直交補元演算は集合の補元です。さらに、この束は、束の要素の任意のシーケンス { E i } i ∈ N に対して最小上界、具体的には集合論的な和集合が存在するという意味で、逐次的に完全です。
フォン・ノイマンによって提示された量子力学のヒルベルト空間定式化では、物理的観測量は、ヒルベルト空間H上の何らかの（おそらく非有界な）稠密に定義された自己共役作用素A によって表される。A はスペクトル分解を持ち、これはRのボレル部分集合上で定義された射影値測度E である。特に、R上の任意の有界ボレル関数fに対して、 fを作用素に拡張する以下の式を行うことができる。
fが区間 [ a , b ] の指示関数である場合、演算子f ( A ) は[ a , b ]内の固有値を持つAの一般化固有ベクトルの部分空間への自己共役射影である。この部分空間は、古典的な命題の量子版として解釈できる。
これは、古典力学における直交補元を持つ命題の格子を量子力学的に置き換えることを示唆しており、本質的にはマッキーの公理VIIに相当する。
量子命題の空間Q は、順序的に完全でもあります。つまり、 Qの要素の任意の互いに素なシーケンス { V i } iには最小上界があります。ここで、W 1とW 2の非交差性とは、 W 2がW 1 ⊥の部分空間であることを意味します。{ V i } iの最小上界は、閉じた内部直和です。
量子論理の標準的な意味論は、量子論理は可分ヒルベルト空間またはプレヒルベルト空間における射影演算子の論理であり、観測量pは、 p が（測定時に）固有値1 を持つ量子状態の集合に関連付けられている、というものである。そこから、
この意味論には、命題が直交モジュラー法則を満たす場合に限り、前ヒルベルト空間が完備（すなわちヒルベルト空間）になるという優れた性質があり、これはソレール定理として知られる結果である。[ 23 ]量子論理の発展の多くは標準意味論に動機づけられてきたが、量子論理は標準意味論によって特徴づけられるものではない。量子論理では必ずしも成り立たない、標準意味論が満たす追加の性質が存在する。[ 16 ]
Qの構造は、古典的な命題体系の部分順序構造との違いをすぐに示しています。古典的な場合、命題pが与えられたとき、方程式は次のようになります。
解はただ一つ、すなわちpの集合論的補集合である。射影の格子の場合、上記の方程式には無限に多くの解が存在する（pの任意の閉じた代数的補集合が解となる。直交補集合である必要はない）。
より一般的に言えば、命題評価は量子論理において特異な性質を持つ。 {⊥,⊤}への全束準同型を許容する直交補元束はブールでなければならない。標準的な回避策は、フィルタリング特性を持つ最大部分準同型qを研究することである。
量子論理における表現は、古典論理に似た構文を用いて観測量を記述します。しかし、古典論理とは異なり、位置や運動量などの非可換な観測量を扱う場合、分配法則a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) は成り立ちません。これは、測定がシステムに影響を与え、選言が成り立つかどうかを測定しても、どちらの選言が真であるかは測定されないためです。
例えば、位置をx、運動量をpで表す単純な一次元粒子を考え、観測量を定義します。
さて、位置と運動量は互いにフーリエ変換の関係にあり、コンパクトな台を持つ二乗可積分な非ゼロ関数のフーリエ変換は整関数であり、したがって孤立していないゼロ点を持ちません。したがって、運動量空間で正規化可能であり、かつx ≥ 0 でちょうどゼロになるような波動関数は存在しません。したがって、a ∧ bおよび同様にa ∧ cは偽であり、( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) も偽です。しかし、a ∧ ( b ∨ c ) はaに等しく、これは確かに偽ではありません (それが有効な測定結果となる状態が存在します)。さらに、粒子のダイナミクスに関連するヒルベルト空間が 1 を超える運動量のみを許容する場合、a は真です。
さらに理解を深めるために、p 1とp 2 をそれぞれ粒子波動関数のx ≤ 0 およびx ≥ 0 への射影に対する運動量関数（フーリエ変換）とします。| p i |↾ ≥1をp iの運動量が（絶対値で）≥1 である制限とします。
( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) は、| p 1 |↾ ≥1 = | p 2 |↾ ≥1 = 0 の状態に対応します (このような状態が可能になるようにp を異なる方法で定義した場合でも、これは成り立ちます。また、 a ∧ bは | p 1 |↾ ≥1 =0 かつp 2 =0 に対応します)。一方、a は| p |↾ ≥1 = 0の状態に対応します。演算子として、p = p 1 + p 2であり、非ゼロの | p 1 |↾ ≥1と | p 2 |↾ ≥1が干渉してゼロの | p |↾ ≥1を生成する可能性があります。このような干渉は、量子論理と量子力学の豊かさの鍵となります。
直交補元格子Qが与えられたとき、マッキー観測量 φ は、Rのボレル部分集合の直交補元格子からQへの可算加法準同型写像である。記号で表すと、これは、Rの互いに素なボレル部分集合の任意の列 { S i } iに対して、{φ( S i )} iは互いに直交する命題 ( Qの要素) であり、
同様に、マッキー観測量はR上の射影値測度である。
定理（スペクトル定理）。QがヒルベルトHの閉部分空間の束である場合、マッキー観測量とH上の稠密に定義された自己共役作用素の間には全単射対応が存在する。
量子確率測度は、 Q上で定義され、[0,1] の値をとる関数 Pであり、P("⊥)=0、P(⊤)=1 であり、{ E i } iがQのペアワイズ直交要素の列である場合、
ヒルベルト空間の閉部分空間上のすべての量子確率測度は、密度行列（トレース1の非負演算子）によって誘導される。形式的には、
量子論理は線形論理[ 25 ]と様相論理B [ 16 ]に埋め込まれる。 実際、量子計算の分析のための現代の論理は、しばしば量子論理から始まり、古典論理の拡張の望ましい特徴をそこに移植しようとする。その結果は必然的に量子論理を埋め込むことになる。[ 26 ] [ 27 ]
任意の量子命題の直交補元格子はブール代数に埋め込むことができ、それによって古典論理が適用可能になる。[ 28 ]
量子論理の多くの扱いでは、基礎となる格子が直交モジュラーでなければならないと仮定しているが、そのような論理では複数の相互作用する量子システムを扱うことができない。FoulisとRandallによる例では、ペアリングが直交モジュラーモデルを許容しない有限次元ヒルベルトモデルを持つ直交モジュラー命題が存在する。[ 8 ] 同様に、直交モジュラー法則を持つ量子論理は演繹定理を偽る。[ 29 ]
量子論理では、合理的な実質条件文は認められません。ある技術的な意味で単調な結合子は、命題のクラスをブール代数に縮小します。[ 30 ] その結果、量子論理では時間の経過を表現するのが困難です。[ 25 ]考えられる回避策の1つは、 1970年代後半から1980年代にかけてベラフキンによって開発された量子フィルタリング の理論です。[ 31 ] [ 32 ]しかし、量子論理に非常に近い線形論理の深層推論断片で あるシステムBVは、任意の離散時空を扱うことができることが知られています。[ 33 ]
