金融経済学

金融経済学は、「通貨活動への集中」を特徴とする経済学の一分野であり、「何らかの形のお金が取引の両側に現れる可能性がある」。 ^{[1]したがって、金融経済学の関心は、}実体経済に関するものではなく、 株価、金利、為替レートなどの金融変数の相互関係である。金融経済学には、2つの主な焦点領域がある。^[2]資産価格設定と企業財務。前者は資本の提供者、つまり投資家の観点であり、後者は資本の利用者の観点である。したがって、金融経済学は、金融の多くに理論的根拠を提供している。

この科目は、「不確実な環境における、空間的および時間的な経済資源の配分と展開」に関係しています。^{[3] [4]}したがって、金融市場の文脈における不確実性の下での意思決定、および結果として生じる経済および金融モデルと原則に焦点を当て、受け入れ可能な仮定から検証可能な政策的含意を導き出すことに関係しています。したがって、金融市場自体、特に市場のミクロ構造と市場規制の正式な研究も含まれます。ミクロ経済学と意思決定理論の基礎の上に構築されています。

金融計量経済学は、特定された関係を 計量経済学の手法を使用してパラメータ化する金融経済学の一分野です。数理ファイナンスは、金融経済学によって提案された数学的または数値的モデルを導出し、拡張するという点で関連しています。金融経済学は主にミクロ経済学に焦点を当てていますが、金融経済学は主にマクロ経済学の性質を持っています。

金融経済学は、合理的な投資家が投資管理に意思決定理論をどのように適用するかを研究する。したがって、この主題はミクロ経済学の基礎の上に成り立っており、不確実性の下での意思決定を金融市場に応用するためのいくつかの重要な結果を導き出す。基礎となる経済論理は、裁定取引のない資産価格設定の条件を与える資産価格設定の基本定理を生み出す。 ^{[6] [5]} さまざまな「基本的な」評価式が直接生じる。

金融経済学の根底にあるのは現在価値と期待値の概念です。^[6]

現在価値を計算することで、意思決定者は、将来その資産によって生み出される キャッシュフロー（またはその他の収益）を、問題の日付における単一の価値に集約し、2 つの機会をより簡単に比較できるようになります。この概念は、財務上の意思決定の出発点となります。 ^{[注 1]} （ここで、「」は、キャッシュフローに適用される一般的な（または任意の）割引率を表しますが、評価式では、リスクに応じて「調整」された後、リスクフリー レートが適用されます。以下を参照してください。） ${\displaystyle X_{sj}/r}$${\displaystyle r}$

すぐに拡張できるのは、確率と現在価値を組み合わせることで、期待値基準が生まれ、期待される支払い額の大きさとその発生確率の関数として資産価値が設定されます。^{[注 2]}${\displaystyle X_{s}}$${\displaystyle p_{s}}$

しかし、この決定方法はリスク回避を考慮していない（「金融を学ぶ人なら誰でも知っているように」^[6]）。言い換えれば、個人は貧しいときには1ドル余分に得る効用が大きく、比較的裕福なときには効用が小さいため、このアプローチでは、さまざまな結果、つまり「状態」に割り当てられる重みをそれに応じて「調整」する。無差別価格を参照。（一部の投資家は実際にはリスク回避的ではなくリスク志向的である可能性があるが、同じ論理が当てはまる）。 ${\displaystyle Y_{s}}$

ここでの不確実性の下での選択は、期待効用を最大化するものとして特徴付けられる。より正式には、結果として得られる期待効用仮説は、特定の公理が満たされる場合、個人によるギャンブルに関連付けられた主観的価値は、そのギャンブルの結果の評価に対する その個人の統計的期待である、と述べている。

これらのアイデアのきっかけは、サンクトペテルブルクのパラドックスやエルズバーグのパラドックスなど、期待値の枠組みで観察されるさまざまな矛盾から生じています。^{[注 3]}

裁定取引のない「合理的」な価格設定と均衡 の概念は、上記^[11] と組み合わされ、さまざまな「古典的」^[12] （または「新古典的」^[13]）金融経済モデルを導き出します。

合理的価格設定とは、資産価格 (および資産価格設定モデル) が裁定取引のない資産価格を反映するという仮定です。この価格からの逸脱は「裁定取引によって解消される」ためです。この仮定は、固定利付証券、特に債券の価格設定に役立ち、デリバティブ商品の価格設定の基本となります。

経済均衡とは、一般的に、需要と供給などの経済力が均衡している状態であり、外部からの影響がなければ、経済変数のこれらの均衡値は変化しません。一般均衡は、複数の市場が相互作用する経済全体における需要、供給、価格の動向を扱い、全体的な均衡をもたらす価格セットが存在することを証明しようとします。(これは、単一の市場のみを分析する部分均衡とは対照的です。)

2 つの概念は次のように関連しています。市場価格が利益のある裁定取引を許さない、つまり裁定取引のない市場を構成する場合、これらの価格は「裁定取引均衡」を構成するとも言われます。直感的には、裁定取引の機会が存在する場合、価格が変化すると予想され、したがって均衡状態にないことを考えると、これがわかります。^[14]したがって、裁定取引均衡は一般的な経済均衡の前提条件です。

この考え方を直接的に正式に拡張したのが、資産価格設定の基本定理であり、市場が説明されているとおりであり、さらに（暗黙的かつ対応して）完全である場合、市場に対応するリスク中立の確率尺度を構築することによって財務上の決定を下すことができることを示しています。

ここでの「完全」とは、あらゆる資産に対して、世界のあらゆる状態 における価格があり、したがって、将来の世界の状態に対する可能な賭けの完全なセットを既存の資産で構築できることを意味します (摩擦 がないと仮定)。つまり、基本的に、 n個の価格が与えられたときに、 n 個の(リスク中立) 確率を同時に解きます。簡略化された例については、「合理的価格設定 § リスク中立評価」を参照してください。ここでは、経済には上昇と下降の 2 つの状態しかなく、および(= ) は 2 つの対応する確率であり、次に、導出された分布、つまり「尺度」です。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle q_{s}}$${\displaystyle q_{up}}$${\displaystyle q_{down}}$${\displaystyle 1-q_{up}}$

正式な導出は裁定取引の議論によって進められる。 ^{[6] [14] [11]} ここでの分析は、代表的エージェントを仮定して行われることが多く、 ^[15] 本質的にすべての市場参加者、「エージェント」を同一視して（または少なくとも、彼らの選択の合計が一人の個人の決定と等しくなるように行動して）、その結果、問題は数学的に扱いやすくなる。

この基準が採用されると、あらゆる証券（またはポートフォリオ）の期待収益率、すなわち要求収益率は、リスクのない収益率に「リスク調整」 ^[6] 、すなわち証券固有のリスクプレミアムを加えたものとなり、キャッシュフローが予測不可能な程度を補うものとなる。すべての価格設定モデルは、特定の仮定または条件が与えられれば、本質的にはこれの変形となる。^{[6] [5] [16]}このアプローチは上記と一貫しているが、個人の好みではなく「市場」（すなわち裁定取引がなく、定理によれば均衡している）に基づく期待値を伴う。

したがって、この例を続けると、デリバティブ商品の価格設定では、上昇状態と下降状態での予測キャッシュフローとが、とで乗算され、上記の 2 番目の方程式に従って、リスクフリー金利で割り引かれます。一方、「基本的な」基礎商品 (均衡状態) の価格設定では、割引時にリスクフリーに対するリスクに適したプレミアムが必要であり、基本的に と を組み合わせた最初の方程式を使用します。一般に、このプレミアムは、§ 不確実性で説明するように、 CAPM (または拡張)によって導出できます。 ${\displaystyle X_{up}}$${\displaystyle X_{down}}$${\displaystyle q_{up}}$${\displaystyle q_{down}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle r}$

違いは次のように説明されます。構造上、デリバティブの価値はリスクフリーレートで増加します (増加しなければなりません)。そして、裁定取引の議論により、その価値はそれに応じて割引される必要があります。オプションの場合、これは、原資産とリスクフリーの「債券」の組み合わせとして商品を「製造」することによって実現されます。合理的な価格設定 § デルタヘッジ(および以下の § 不確実性) を参照してください。原資産自体が価格設定されている場合、そのような「製造」は当然不可能です (商品が「ファンダメンタル」、つまり「デリバティブ」ではないため)。その場合、リスクに対してプレミアムが必要になります。

(同様に、数理ファイナンスは2 つの分析体制に分かれます。リスクとポートフォリオ管理は (一般的に) 物理的 (または実際または保険数理的) 確率 (「P」で表されます) を使用します。一方、デリバティブの価格設定はリスク中立確率 (または裁定価格設定確率) (「Q」で表されます。特定のアプリケーションでは、上記の式のように小文字が使用されます。)

上記の関係が確立されると、さらに特殊なアロー・デブリューモデルを導くことができる。 ^{[注 4]} この結果は、特定の経済状況下では、経済におけるあらゆる商品の総供給が総需要に等しくなるような価格の集合が存在する必要があることを示唆している。アロー・デブリューモデルは、あらゆる期間に市場が存在し、あらゆる期間のあらゆる商品の先物価格が存在する、最大限に完全な市場を持つ経済に適用される。

直接的な拡張は、状態価格証券の概念であり、アロー・デブリュー証券とも呼ばれる。これは、将来の特定の時点で特定の状態（上記の簡略化された例では「上昇」と「下降」）が発生した場合に、1単位のニューメレール（通貨または商品）を支払い、他のすべての状態ではゼロのニューメレールを支払うことに同意する契約である。この証券の価格は、世界のこの特定の状態の状態価格であり、「リスク中立密度」とも呼ばれる。 ^[20]${\displaystyle \pi _{s}}$

上記の例では、状態価格 は、および の現在の価値、つまり、それぞれアップ状態とダウン状態の証券に対して今日支払う金額に等しくなります。状態価格ベクトルは、すべての状態の状態価格のベクトルです。デリバティブ評価に適用すると、今日の価格は単に [ × + × ] になります。4 番目の式 (ここではリスク プレミアムが存在しないことについては上記を参照)。可能な状態の連続体を示す連続ランダム変数の場合、値は状態価格「密度」にわたって積分することによって求められます。これらの概念は、マルチンゲール価格設定と関連するリスク中立尺度に拡張されます。 ${\displaystyle \pi _{up}}$${\displaystyle \pi _{down}}$${\displaystyle \$q_{up}}$${\displaystyle \$q_{down}}$${\displaystyle \pi _{up}}$${\displaystyle X_{up}}$${\displaystyle \pi _{down}}$${\displaystyle X_{down}}$

状態価格は、概念的なツール（「条件付き請求分析」）としてすぐに応用できます。 ^[6]また、評価問題にも適用できます。^[21]説明した価格設定メカニズムを考慮すると、デリバティブ価値（実際には「すべての証券」^[2]に当てはまります）を状態価格の線形結合として分解できます。つまり、観測されたデリバティブ価格に対応する状態価格を逆算します。^{[22] [21] [20]} これらの回復された状態価格は、原資産へのエクスポージャーを持つ他の金融商品の評価や、原資産自体に関連するその他の意思決定に使用できます。

関連する確率的割引係数（価格設定カーネルとも呼ばれる）を使用して、将来のキャッシュフローを確率的係数で「割り引いて」、期待値（^[16] 上記の3番目の式）を取得することで資産価格が計算されます。基本的に、この係数は、関連する将来の期間における期待効用（各状態で実現される可能性のある資産価値の関数）を今日の富による効用で割り、その後「異時点間の限界代替率」とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

上記の経済概念を適用することで、さまざまな経済および金融モデルと原則を導き出すことができます。前述のように、通常焦点となる 2 つの領域は資産価格設定と企業財務です。前者は資本提供者の視点、後者は資本利用者の視点です。ここで、そして (ほぼ) すべての他の金融経済モデルでは、扱われる質問は、以下に示すように、通常、「時間、不確実性、オプション、および情報」という観点から構成されます。 ^{[1] [15]}

• 時間: 今のお金は将来のお金と交換されます。
• 不確実性（またはリスク）：将来送金される金額は不確実です。
• オプション: 取引の当事者の一方が、後続の資金移動に影響を与える決定を後から行うことができます。
• 情報: 将来についての知識は、将来の金銭的価値(FMV) に関連する不確実性を軽減、または場合によっては排除することができます。

このフレームワークを上記の概念に適用すると、必要なモデルが導き出されます。この導出は「不確実性がない」という仮定から始まり、その後、他の考慮事項を組み込むように拡張されます。^{[4] （この区分は、「}決定論的」および「ランダム」、^[23]または「確率論的」と呼ばれることもあります。）

ここでの出発点は「確実性の下での投資」であり、通常は企業という文脈で表現される。フィッシャーの分離定理は、企業の目的は株主の好みに関わらず現在価値の最大化であると主張している。これと関連してモディリアーニ・ミラー定理があり、これは一定の条件下では企業価値はその企業の資金調達方法に左右されず、配当政策や株式発行や債務売却による資本調達の決定にも左右されないことを示している。ここでの証明は裁定取引の議論を用いて進められ、モデル外の要因が価値に影響を及ぼす効果を評価するためのベンチマーク^[11]として機能している。 ^{[注 5]}

（企業）価値を決定するメカニズムは、 ^{[26] [27]} ジョン・バー・ウィリアムズの投資価値理論によって提供されており、資産の価値は「現在価値のルールによる評価」を使用して計算されるべきであると提案しています。したがって、普通株の場合、「本質的」な長期的価値は、配当金の形での将来の純キャッシュフローの現在価値です。決定する必要があるのは、適切な割引率です。その後の展開により、「合理的に」、つまり正式な意味で、ここでの適切な割引率は、所有者の好みではなく、市場全体に対する資産のリスク度に依存する（はずである）ことが示されました。以下を参照してください。正味現在価値（NPV）は、企業財務の意思決定に通常適用されるこれらのアイデアの直接的な拡張です。その他の結果、およびここで開発された特定のモデルについては、「財務の概要」§「割引キャッシュフロー評価」の「株式評価」トピックのリストを参照してください。 ^{[注 6]}

債券評価は、キャッシュフロー（クーポンと元本の返済、または「額面」）が決定論的であるという点で、同じ方法で進めることができます。^[23]即時の拡張である裁定取引のない債券価格設定では、各キャッシュフローを市場由来のレートで割り引く（つまり、各クーポンに対応するゼロレートで、同等の信用力で割り引く）のに対し、全体レートでは割り引かない。多くの処理では、債券評価が株式評価に先行しますが、その場合、キャッシュフロー（配当）はそれ自体「既知」ではありません。ウィリアムズ以降は、過去の比率や公表された配当方針に基づいてこれらを予測することを許可し、キャッシュフローは基本的に決定論的として扱われます。以下の§ 企業財務理論を参照してください。

株式と債券の両方について、「確実性の下で、長期にわたる証券からのキャッシュフローに焦点を当てて」、金利の期間構造に基づく評価は、実際には裁定のない価格設定と一致しています。^[28] 実際、上記の帰結は、「一物一価の法則は割引率の存在を意味する」ということです。^[29] それに応じて、定式化されているように、。 ${\textstyle \sum _{s}\pi _{s}=1/r}$

これらの「確実性」の結果はすべて企業財務で一般的に採用されているが、不確実性は次のように「資産価格モデル」の焦点となっている。フィッシャーの理論の定式化（異時点間の均衡モデルの開発）は、以下の不確実性への応用の 基盤にもなっている^{[26] 。 [注7]}開発については ^[30] を参照。

「不確実性の下での選択」については、合理性と市場効率性という2つの仮定をより厳密に定義すると、均衡に基づく結果である資本資産価格モデル（CAPM）を伴う現代ポートフォリオ理論（MPT）と、裁定取引のない結果であるオプション価格設定のためのブラック・ショールズ・マートン理論（BSM、単にブラック・ショールズと呼ばれることが多い）につながる。上記のように、これら2つの間の（直感的な）つながりは、後者のデリバティブ価格がより基本的な均衡で決まる証券価格に関して裁定取引のない形で計算されるということである。資産価格設定の§相互関係を参照。

簡潔に、そして直感的に、そして上記の§ 裁定取引のない価格設定と均衡と一致して、合理性と効率性の関係は次のようになります。^[31]私的情報 から利益を得る能力があれば、利己的なトレーダーは私的情報を入手し、それに基づいて行動する動機づけを受けます。そうすることで、トレーダーはますます「正しい」、つまり効率的な価格に貢献します。これが効率的市場仮説、つまり EMH です。したがって、金融資産の価格が（広義に）効率的であれば、これらの（均衡）値からの逸脱は長くは続きません。（収益反応係数を参照してください。） EMH は（暗黙的に）平均期待が「最適予測」を構成する、つまり利用可能なすべての情報を使用した価格が将来の最良の推測と同じであると仮定します。これが合理的期待の仮定です。 EMH では、新しい情報に直面した投資家の中には過剰反応する者もいれば、反応しない者もいると認めている ^[32]。 しかし、必要なのは、投資家の反応が正規分布に従うことであり、市場価格への純影響を信頼して利用して^[32]異常な利益を上げることはできない。競争限界では、市場価格は入手可能なすべての情報を反映し、価格はニュースに応じてしか動かない^[33] 。ランダムウォーク仮説。もちろん、このニュースは「良い」か「悪い」か、マイナーか、あまり一般的ではないがメジャーかのどちらかである。そして、これらの動きはそれに応じて正規分布し、したがって価格は対数正規分布に従う。 ^{[注 8]}

これらの条件下では、投資家は合理的に行動すると想定できる。投資決定は計算されたものでなければならず、そうでなければ損失は確実である。^[32]同様に、裁定機会が出現した場合、裁定業者はそれを利用し、この均衡を強化する。ここで、上記の確実性の場合と同様に、価格設定に関する具体的な想定は、価格が現在入手可能な情報に基づいて、予想される将来の配当の現在価値として計算されるというものである 。 ^{[5] [33] [15]} ただし、必要なのは、この不確実性を考慮して適切な割引率、つまり「必要収益」を決定する理論であり、これは MPT とその CAPM によって提供される。関連して、合理性 (裁定利用の意味で) はブラック・ショールズを生み出し、オプションの価値は最終的に CAPM と一致する。

一般に、ポートフォリオ理論は多くの資産や証券に投資する際に投資家がリスクとリターンのバランスをとる方法を研究しますが、CAPMはより焦点を絞っており、均衡状態で市場が資産の価格をリスクの程度に応じてどのように設定するかを説明します。 ^{[注 9]} この結果は投資家のリスク回避度や想定される効用関数とは無関係であるため、上記のように企業財務の意思決定者や^[36]他の投資家に容易に決定できる割引率を提供します。議論は次のように進みます。 ^[37]効率的フロンティア 、つまり各資産の組み合わせがそのリスクレベルに対して可能な限り最高の期待収益レベルを提供する場合（図を参照）、平均分散効率的ポートフォリオは、リスクフリー資産と「市場ポートフォリオ」（投資信託の分離定理）の保有の組み合わせとして簡単に形成でき、ここではその組み合わせが資本市場ライン、つまりCMLとしてプロットされます。そして、このCMLが与えられた場合、リスクのある証券の必要収益は投資家の効用関数とは独立しており、総リスク、つまり市場リスクとの共分散（「ベータ」）によってのみ決定される。これは、投資家が価格設定ではなくレバレッジを通じて効用を最大化できるためである。分離性（金融）、マルコウィッツモデル§最適なポートフォリオの選択、およびCML図を参照。式からわかるように、この結果は前述の結果と一致しており、リスクのない収益にリスク調整を加えたものに等しい。^[5] より現代的で直接的な導出は、このセクションの下部で説明されているとおりであり、他の均衡価格設定モデルを導出するために一般化できる。

ブラック・ショールズは、デリバティブ商品を含む金融市場の数学モデルと、ヨーロピアン・スタイルのオプションの価格の計算式を提示した。 ^{[注 10]} このモデルは、オプションの価格が時間とともに変化する様子を表す偏微分方程式であるブラック・ショールズ方程式として表現され、対数正規幾何ブラウン運動を仮定して導出される（金融市場のブラウン運動モデルを参照）。このモデルの背後にある重要な金融的洞察は、原資産を適切な方法で売買することでオプションを完璧にヘッジし、その結果、リスク調整を価格設定から排除して「リスクを排除」できるという点である（オプションの価値または価格は、リスクフリー・レートで増加する）。^{[6] [5]} このヘッジは、裁定取引のない意味で、オプションの適正価格は 1 つしかないことを意味している。そして、この価格はブラック・ショールズ・オプションの価格設定式によって返される。 （式、ひいては価格は、式と整合している。式は方程式の解だからである。）式は株式の期待収益率とは無関係なので、ブラック・ショールズはリスク中立性を内在している。これは、ここでの「リスクの排除」と直感的に整合しており、数学的には上記の§ 裁定取引のない価格設定と均衡と整合している。したがって、関連して、価格設定式はリスク中立期待から直接 導くこともできる。伊藤の補題は基礎となる数学を提供し、より一般的には伊藤計算とともに、量的金融において基本であり続けている。 ^{[注 11]}${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$

基本定理が示唆するように、2つの主要な結果は整合的です。ここで、ブラック・ショールズ方程式はCAPMから導出することもでき、ブラック・ショールズ・モデルから得られる価格はCAPMの仮定と整合しています。^{[45] [13]} ブラック・ショールズ理論は、裁定取引のない価格設定に基づいているものの、均衡に基づく資本資産価格設定と整合しています。両方のモデルは、最終的にはアロー・ドブリュー理論と整合しており、基本的には上記の基本結果を拡張することで状態価格設定を介して導出することができ、この整合性をさらに説明し、必要に応じて実証することができます。^[6] ここで、CAPMは、リスク回避度を全体的な市場収益にリンクさせ、証券の収益率を に設定することで導出されます。確率的割引係数 § プロパティを参照してください。ブラック・ショールズ式は、極限では、多数の可能なスポット価格（つまり状態）のそれぞれに二項確率^[11]を付与し、ボックス内の説明に従って、およびに対応する項を並べ替えることによって求められます。二項オプション価格設定モデル§ブラック・ショールズとの関係を参照してください。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{j}/Price_{j}}$${\displaystyle N(d_{1})}$${\displaystyle N(d_{2})}$

最近の研究では、これらのモデルがさらに一般化され、拡張されています。資産価格設定に関しては、均衡ベースの価格設定の発展が以下の「ポートフォリオ理論」で説明されていますが、「デリバティブ価格設定」はリスク中立、つまり裁定取引のない価格設定に関連しています。資本の使用に関しては、「コーポレートファイナンス理論」は主にこれらのモデルの適用に関連しています。

ここでの展開の大部分は、必要収益、すなわち価格設定に関係し、基本的な CAPM を拡張するものである。ファマ・フレンチの 3 因子モデルやカーハートの 4 因子モデルなどのマルチファクターモデルは、価格設定において市場収益以外の要因が関連することを提案している。異時点間 CAPMおよび消費ベース CAPMも同様にモデルを拡張する。異時点間のポートフォリオ選択により、投資家はポートフォリオを繰り返し最適化する。一方、消費 (経済的な意味で)を含めると、市場ベースの投資だけでなく、すべての富の源泉が投資家の必要収益の計算に組み込まれる。

上記は CAPM を拡張したものですが、単一インデックス モデルはより単純なモデルです。このモデルは、証券と市場収益の相関関係のみを想定しており、その他の (多数の) 経済的仮定は考慮していません。このモデルは、証券間の相関関係の推定を簡素化し、ポートフォリオの最適化に必要な相関行列を構築するための入力を大幅に削減する点で有用です。裁定価格理論(APT) も、その仮定に関しては同様に異なります。APT は、「世界中のすべての人にとって 1 つの正しいポートフォリオがあるという考えを放棄し、資産収益を左右するものを説明するモデルに置き換えます。」^[46]このモデルは、金融資産の必要な (期待される) 収益をさまざまなマクロ経済要因の線形関数として返し、裁定取引によって不適切に価格設定された資産が適正な水準に戻ると想定しています。^{[注 12]} APT の線形因子モデル構造は、資産管理者が採用する多くの商業リスク システムの基礎として使用されています。

ポートフォリオ最適化に関しては、ブラック・リッターマンモデル^[49]は、効率的フロンティアを介してポートフォリオを構築するという、 元のマーコウィッツモデルから逸脱しています。ブラック・リッターマンは、代わりに均衡仮定から開始し、問題の投資家の「見解」（資産収益に関する具体的な意見）を考慮に入れるように修正され、特注の^[50]資産配分に到達します。ボラティリティ以外の要因（尖度、歪度など）が考慮される場合は、多基準決定分析を適用できます。ここでは、パレート効率的なポートフォリオを導出します。ユニバーサルポートフォリオアルゴリズムは、資産選択に機械学習を適用し、履歴データから適応的に学習します。行動ポートフォリオ理論では、投資家の目的は多様であり、幅広い目標を満たす投資ポートフォリオを作成することを認識しています。コピュラは最近ここで適用されてきましたが、最近では、より一般的には遺伝的アルゴリズムや機械学習にも当てはまります。 （テール）リスクパリティは、資本の配分ではなく、リスクの配分に焦点を当てています。 ^{[注 13]その他の手法や目的については}ポートフォリオ最適化§ポートフォリオ最適化の改善を、議論については金融リスク管理§投資管理を 参照してください。

デリバティブの価格設定において、二項オプション価格設定モデルはブラック・ショールズの離散版を提供し、アメリカンスタイルのオプションの評価に有用である。このタイプの離散モデルは、（上記のように）状態価格を使用して（少なくとも暗黙的に）構築される。関連して、多くの研究者が金融経済学のさまざまな他のアプリケーションのために状態価格を抽出するためにオプションを使用している。^{[6] [45] [22]}パス依存デリバティブの場合、オプション価格設定にモンテカルロ法が採用されている。ここではモデリングは連続時間で行われるが、同様にリスク中立期待値を使用する。他のさまざまな数値手法も開発されている。理論的枠組みも拡張され、現在ではマルチンゲール価格設定が標準的なアプローチとなっている。 ^{[注 14]}

これらの技術を利用して、他のさまざまな原資産やアプリケーション用のモデルも開発されてきましたが、すべて同じロジックに基づいています (「条件付き請求分析」を使用)。リアル オプションの評価では、オプション所有者がオプションの原資産に影響を与えることができます。従業員ストック オプションの評価モデルでは、オプション所有者の非合理性が明示的に想定されています。クレジット デリバティブでは、支払い義務または配送要件が履行されない可能性があります。エキゾチック デリバティブは現在、日常的に評価されています。マルチアセットの原資産は、シミュレーションまたはコピュラ ベースの分析によって処理されます。

同様に、さまざまな短期金利モデルにより、これらの手法を固定利付債や金利デリバティブに拡張することができます。（VasicekモデルとCIRモデルは均衡ベースですが、Ho-Leeモデルとその後のモデルは裁定のない価格設定に基づいています。）より一般的なHJM フレームワークは、短期金利を扱うのではなく、完全なフォワード レートカーブのダイナミクスを記述し、より広く適用されています。デリバティブに加えて、原資産の評価も、特に信用リスクと将来の金利に関する不確実性が組み合わされているハイブリッド証券に対して同様に拡張されています。債券評価 § 確率論的アプローチおよび格子モデル (金融) § ハイブリッド証券を参照してください。 ^{[注 15]}

1987 年の大暴落後、米国市場で取引される株式オプションは、「ボラティリティ スマイル」と呼ばれる現象を示し始めました。つまり、特定の満期日において、原資産価格と大幅に異なる権利行使価格を持つオプションは、BSM が示唆するよりも高い価格、つまりインプライド ボラティリティを要求します (このパターンは市場によって異なります)。ボラティリティ スマイルのモデル化は活発な研究分野であり、ここでの進展と標準理論に関する影響については次のセクションで説明します。

2007-2008年の金融危機後、さらなる展開があった。^[60]概説したように、（店頭）デリバティブの価格設定は、リスクフリーレートでの資金調達と、完全にヘッジできるようにキャッシュフローを完全に複製する能力を前提としたBSMリスク中立価格設定フレームワークに依存していた。これは、今度は信用リスクのない環境という前提に基づいているが、危機中に疑問視された。したがって、これに対処するために、カウンターパーティ信用リスク、資金調達コスト、資本コストなどの問題が価格設定時にさらに考慮されるようになり、^[61]信用評価調整（CVA）（および場合によっては他の評価調整（総称してxVA ））が、リスク中立デリバティブ価値に一般的に加算される。標準的な経済的議論は、これらのさまざまな調整を組み込むように拡張することができる。^[62]

関連する、そしておそらくより根本的な変化は、割引が、以前のLIBORではなく、オーバーナイト・インデックス・スワップ（OIS）曲線に基づいて行われるようになったことです。 ^[60]これは、危機後、オーバーナイト金利 が「無リスク金利」のより良い代理指標であると考えられているためです。^{[63] （また、実際には、現金}担保に支払われる金利は通常、オーバーナイト金利であり、OIS割引は「 CSA割引」と呼ばれることもあります。）スワップの価格設定、そしてそれに伴う利回り曲線の構築がさらに変更されました。以前は、スワップは単一の「自己割引」金利曲線に基づいて評価されていましたが、危機後、OIS割引に対応するために、評価は現在「マルチカーブ・フレームワーク」に基づいて行われ、そこでは、共通のOIS曲線に基づいて割引が行われ、変動レッグLIBORの各期間ごとに「予測曲線」が作成されます。

上記の発展を反映して、資産評価と意思決定はもはや「確実性」を前提とする必要がなくなりました。 金融におけるモンテカルロ法は、従来の静的で決定論的なモデルとは対照的に、金融アナリストが「確率論的」または確率論的な企業財務モデルを構築できるようにします。 ^[64]企業財務 § 不確実性の定量化を参照してください。関連して、リアルオプション理論は、所有者、つまり経営者の行動が基礎となる価値に影響を与えることを可能にします。オプション価格設定ロジックを組み込むことで、これらの行動は時間とともに変化する将来の結果の分布に適用され、それが今日の「プロジェクトの」評価を決定します。^[65] より伝統的には、補完的な意思決定ツリーがプロジェクトの評価に使用され、評価に（すべての）可能性のあるイベント（または状態）とその結果の経営決定を組み込むことで行われました。^{[66] [64]}ここでの正しい割引率は、各意思決定ポイントの「将来を見据えた分散不可能なリスク」を反映しています。^{[64] [注 16]}

これに関連して、株式評価における予測キャッシュフローの取り扱いがある。多くの場合、上記のウィリアムズに従って、平均（または最も可能性の高い）キャッシュフローが割引かれており、^[68]不確実性の下での状態ごとの理論的に正しい取り扱いとは対照的である。財務モデリング § 会計のコメントを参照。より現代的な取り扱いでは、割引されるのは予測期間ごとの全体的な価値に結合された 期待キャッシュフロー（数学的な意味で：）である。 ^{[69] [70] [71] [64]} そして、CAPM（またはその拡張）を使用すると、ここでの割引は、リスクフリーレートに、エンティティまたはプロジェクトのキャッシュフローの不確実性に関連するプレミアムを加えたものになります ^[64] （基本的に、およびを組み合わせたもの）。 ${\textstyle \sum _{s}p_{s}X_{sj}}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle r}$

ここでの他の発展には、^[72] エージェンシー理論があり、これは企業経営者（「エージェント」、上記とは異なる意味）が株主（「プリンシパル」）の利益ではなく、株主の利益のために行動するように動機付けることの難しさを分析し、ここでは資本構成に関連する問題を強調しています。 ^[73] クリーン・サープラス会計と関連する残余利益評価は、配当ではなく、利益、期待収益、および簿価の変化の関数として価格を返すモデルを提供します。このアプローチは、ある程度、配当の関数として価値を見るという暗黙の矛盾から生じていますが、同時に、モディリアーニとミラーの「無関係性原理」に従って配当政策は価値に影響を与えることはできないと主張しています。配当政策 § 配当政策の関連性を参照してください。

フィッシャーによれば、より一般的には「コーポレートファイナンス」という学問分野は、企業価値と株主への利益を最大化するという長期目標に関係しており、したがって資本構成と配当政策の領域も組み込まれている。 ^[74] ここでの理論の拡張では、次のように後者についても検討する。(i)資本構成の最適化、および企業の選択と行動に関する理論：資本構成代替理論、ペッキングオーダー理論、市場タイミング仮説、トレードオフ理論。(ii)配当政策に関する考察と分析（モディリアーニ＝ミラーに加えて、時には対照的に、ウォルターモデル、リントナーモデル、残差理論、シグナリング仮説、および観察された顧客効果と配当パズルに関する議論を含む）。

すでに述べたように、リアルオプションの典型的な応用は資本予算の問題である。しかし、ここでは、資本構成や配当政策の問題、および関連する企業証券の設計にも適用されている。 ^[75] また、株主と債券保有者は異なる目的関数を持っているため、関連するエージェンシー問題の分析にも適用されている。 ^[65] これらすべての場合において、状態価格は、上記のように企業に関する市場から暗示される情報を提供することができ、それが分析に適用される。たとえば、転換社債は、企業の株式の（回収された）状態価格と一致するように価格設定できる（しなければならない）。^{[21] [69]}

概説されているように、この分野には金融市場の正式な研究も含まれます。特に興味深いのは、市場規制と市場のミクロ構造、そしてそれらの価格効率性との関係です。

規制経済学は、一般的には規制の経済学を研究する。金融の文脈では、金融規制が市場の機能と価格の効率に与える影響を扱い、同時に市場の信頼と金融の安定性の対応する増加も考慮する。ここでの研究では、開示（収益ガイダンス、年次報告書）、インサイダー取引、空売りに関する規制が価格効率、株主資本コスト、市場流動性にどのように、どの程度影響を与えるかを検討する。^[76]

マーケット・ミクロ構造は、市場でどのように交換が行われるかの詳細に関係しており（ワルラス市場、マッチング市場、フィッシャー市場、 アロー・ドブリュー市場がその典型である）、特定の取引メカニズムが価格形成プロセスにどのように影響するかを分析し、^[77]市場のプロセスが取引コスト、価格、相場、取引量、取引行動の決定要因にどのように影響するかを調べます。これは、たとえば、長年の為替レートパズルの説明に使用されてきた^[78]。また、株式プレミアムパズルの説明にも使用されてきた^{[79] 。上記の古典的なアプローチとは対照的に、ここでのモデルは}市場の摩擦やその他の不完全性 （の影響のテスト）を明示的に考慮に入れています。市場設計も参照してください。

規制^[80]とミクロ構造^[81]の両方について、そして一般的に^[82]、 エージェントベースのモデルを開発して^[83]、構造や政策の変更による影響を調べたり、市場のダイナミクスに関する推論を行ったりすることができます。そのためには、人工金融市場（AFM）で テストします。 ^{[注 17]} このアプローチは、本質的には多数のエージェント間の取引をシミュレートするもので、「通常、人工知能技術（多くの場合、遺伝的アルゴリズムとニューラルネット）を使用して、市場参加者の適応行動を表現します」。^[83]

これらの「ボトムアップ」モデルは「エージェント行動の第一原理から始まり」^[84] 、参加者が時間の経過とともに学習して取引戦略を修正し、「個々の相互作用戦略のスープから出現するマクロ機能[つまり様式化された事実]を記述することができます。」^[84]エージェントベースのモデルは、環境に異質性を導入する（それによって集約問題にも対処する）という点で 、古典的なアプローチ（概説した代表エージェント）からさらに離れています。

前述のように、（i）価格変動は正規分布に従うという信念を伴うランダムウォーク仮説と、（ii）市場の効率性と合理的期待との間には、非常に密接な関係があります。これらから大きく逸脱することがよく見られ、そのため、それぞれ2つの主な課題があります。

議論したように、市場価格はランダムウォークをたどり、資産収益は正規分布するという仮定は基本的なものである。しかし、経験的証拠は、これらの仮定が成り立たない可能性があること、そして実際にはトレーダー、アナリスト、リスク管理者が「標準モデル」を頻繁に修正していることを示唆している（尖度リスク、歪度リスク、ロングテール、モデルリスクを参照）。実際、ブノワ・マンデルブロは、金融価格の変化が正規分布 に従わないことを1960年代にすでに発見していた ^[85]。これは多くのオプション価格設定理論の基礎となっているが、この観察が主流の金融経済学に浸透するのは遅かった。 ^[86]

ロングテール分布とボラティリティ・クラスタリングを備えた金融モデルは、上記の「古典的」金融モデルの現実性に関する問題を克服するために導入されました。一方、ジャンプ拡散モデルは、スポット価格の「ジャンプ」を組み込んだ（オプション）価格設定を可能にします。^[87] リスク管理者も同様に、標準的なバリュー・アット・リスク・モデルを、ヒストリカル・シミュレーション、混合モデル、主成分分析、極値理論、およびボラティリティ・クラスタリング・モデルで補完（または代用）します。^[88] 詳細は、ファットテール分布 § 経済学への応用、およびバリュー・アット・リスク § 批判を参照してください。ポートフォリオ管理者も同様に、最適化基準とアルゴリズムを修正しています。上記の § ポートフォリオ理論を参照してください。

これに密接に関連しているのがボラティリティ・スマイルで、上述のように、インプライド・ボラティリティ（BSM価格に対応するボラティリティ）は、行使価格（すなわち、マネーネス）の関数として変化することが観察されるが、これは、BSMが想定するものとは異なり、価格変動分布が非正規分布である場合にのみ当てはまる。ボラティリティの期間構造は、（インプライド）ボラティリティが異なる満期の関連オプションでどのように異なるかを説明する。インプライド・ボラティリティ面は、ボラティリティ・スマイルと期間構造の3次元面プロットである。これらの経験的現象は、ブラック・ショールズが基づいているボラティリティ一定、および対数正規性の仮定を否定する。 ^{[40] [87]} 機関投資家にとって、ブラック・ショールズの機能は現在、債券価格がYTMを介して伝達されるのと同様に、インプライド・ボラティリティを介して価格を伝達することである。ブラック・ショールズ・モデル§ ボラティリティ・スマイルを参照。

その結果、トレーダー（およびリスク管理者）は現在、代わりに「スマイル整合的」モデルを使用しています。まず、表面に直接マッピングされていないデリバティブを評価するときに、他の、つまり引用されていない、行使価格/満期日の組み合わせ、または非欧州デリバティブの価格設定を容易にし、一般的にはヘッジの目的で使用します。 2 つの主なアプローチは、ローカル ボラティリティと確率的ボラティリティです。最初のアプローチは、有限差分またはシミュレーション ベースの評価の各スポット時点に「ローカル」なボラティリティを返します。つまり、全体的に当てはまるインプライド ボラティリティとは対照的です。このようにして、計算された価格、および数値構造は、裁定取引のない意味で市場整合的です。2 番目のアプローチでは、原価格のボラティリティは定数ではなく確率過程であると想定しています。ここでのモデルは、最初に観測された価格に合わせて調整され、次に問題の評価またはヘッジに適用されます。最も一般的なものは、ヘストン、SABR、CEVである。このアプローチは、局所的なボラティリティ下でのヘッジで特定される特定の問題に対処する。^[89]

局所的ボラティリティに関連するものとしては、格子ベースの暗示二項式ツリーと三項式ツリー（本質的にはアプローチの離散化）があり、これらは同様に、しかしあまり一般的ではないが、価格設定に使用されている^[20]。これらは、表面から回復された状態価格に基づいて構築されている。エッジワース二項式ツリーは、スポット価格の特定の（つまり非ガウス）歪度と尖度を許容する。ここで価格設定すると、異なるストライクのオプションは異なる暗示的ボラティリティを返し、ツリーは必要に応じてスマイルに調整できる。^[90] 同様の目的（および派生）の閉形式モデルも開発された。 ^[91]

議論したように、収益の対数正規性を想定することに加えて、「古典的な」BSM タイプのモデルは、信用リスクのない環境の存在も (暗黙的に) 想定しています。この環境では、キャッシュフローを完全に複製して完全にヘッジし、「その」リスクフリー レートで割引することができます。したがって、危機後は、さまざまな x 値調整を採用して、カウンターパーティおよび資金調達関連のリスクに対するリスク中立値を効果的に修正する必要があります。これらの xVA は、スマイル効果または表面効果に追加されます。これは、表面が完全に担保されたポジションに関連する価格データに基づいて構築されるため有効であり、したがって、xVA を追加する際に信用リスク (など) の「二重カウント」はありません。(そうでない場合、各カウンターパーティは独自の表面を持つことになります...)

冒頭で述べたように、数理ファイナンス（特に金融工学）は、経済理論との整合性よりも数学的一貫性（および市場の現実）を重視しており、上記の「極端なイベント」アプローチ、スマイル整合モデリング、および評価調整は、この観点から見るべきである。これを認識し、金融経済学の批評家（特に金融危機以降声高に主張する）は、むしろ理論をほぼ全面的に再検討する必要があると示唆している。^{[注 18]}

「リスクはベルカーブの形で分布しているという考えに基づく現在のシステムには欠陥がある...問題は[経済学者と実務家]がベルカーブを決して放棄しないことである。彼らは、太陽が地球の周りを回っていると信じ、反対の証拠に直面して猛烈に地球中心の数学を微調整している中世の天文学者 のようだ。彼らはこれを正しく理解することは決してないだろう。彼らにはコペルニクスが必要だ。」^[92]

これまで見てきたように、金融の意思決定者は合理的に行動するという仮定は一般的である。ホモ・エコノミクスを参照。しかしながら、最近では実験経済学や実験金融の研究者らがこの仮定を実証的に疑問視している。これらの仮定は、経済主体の合理性の限界を主に扱う分野である 行動金融によって理論的にも疑問視されている。 ^{[注 19]} コーポレートファイナンス理論とその実践に関する関連する批判については以下を参照。^[93]

これらの発見と一致し、またそれを補完するものとして、効率的市場仮説に矛盾すると思われる価格や収益の歪み（例えば、規模プレミアム）など、さまざまな持続的な市場異常が文書化されている。カレンダー効果は、この分野で最もよく知られているグループである。これらに関連して、同様に理論に矛盾する現象に関するさまざまな経済パズルがある。一例として、株式プレミアムパズルは、株式と国債の観測収益の差が、合理的な株式投資家が要求するリスクプレミアムよりも一貫して高いことから生じる。これは「異常な収益」である。詳細については、ランダムウォーク仮説§ 非ランダムウォーク仮説、および特定の例については補足記事を参照。

より一般的には、また特に金融危機以降、金融経済学と数理ファイナンスはより厳しい批判にさらされている。ここで注目すべきはナシム・ニコラス・タレブで、彼は金融資産の価格は現在使用されている単純なモデルでは特徴づけることができず、現在の慣行の多くはよくても無関係であり、最悪の場合、危険なほど誤解を招くと主張している（ブラックスワン理論、タレブ分布を参照）。したがって、一般的な関心の話題は金融危機、 ^[94] と、それらをモデル化（および予測）することにおける（金融）経済学の失敗 である。

関連する問題として、システミック リスクがあります。企業が相互に証券を保有している場合、この相互関連性によって「評価チェーン」が発生する可能性があります。この場合、1 つの企業または証券のパフォーマンスがすべての企業または証券に影響を与えます。これは、個々のモデルが正しいかどうかに関係なく、簡単にモデル化できない現象です。参照:システミック リスク § 従来の評価モデルの不十分さ、金融ネットワークのカスケード、質への逃避。

これらの現象や危機を説明（または少なくともモデル化）しようとする研究分野には、^[15] ノイズ取引、市場ミクロ構造（上記）、および異種エージェントモデルが含まれます。後者は、前述のようにエージェントベースの計算モデルに拡張されています。ここでは、 ^[82]価格はさまざまな市場参加者（エージェント）の相互作用から生じる創発現象として扱われます。ノイズ市場仮説は、価格は投機家やモメンタムトレーダーだけでなく、ファンダメンタル価値とは無関係の理由で株式を売買することが多いインサイダーや機関によっても影響を受ける可能性があると主張しています。ノイズ（経済）を参照してください。適応市場仮説は、進化の原理を金融相互作用に適用することにより、効率的市場仮説と行動経済学を調和させようとする試みです。一方、情報カスケードは、市場参加者が、自分の個人情報と矛盾しているにもかかわらず、他の人と同じ行動（「群集行動」）に従事していることを示しています。コピュラベースのモデリングも同様に適用されています。ハイマン・ミンスキーの「金融不安定性仮説」や ジョージ・ソロスの「再帰性」の応用も参照してください。

しかしその一方で、様々な研究により、効率性からの逸脱にもかかわらず、資産価格は典型的にはランダムウォークを示し、そのため市場平均を一貫して上回る、すなわち「アルファ」を達成することはできないことが示されています。^[95]したがって、実際的な意味合いは、パッシブ投資（たとえば、低コストのインデックスファンド経由）は、平均して他のどのアクティブ戦略よりも優れているということです。^{[96] [注 20]} 関連して、理論に直接矛盾する要因とは対照的に、裁定取引に対する制度的に固有の制限が、効率性からの逸脱の説明として提案されることがあります。