確率尺度

数学において、確率測度は、可算加法性などの測度特性を満たす、σ代数内の事象の集合上で定義される実数値関数である。^{[ 1 ]}確率測度と、より一般的な測度の概念（面積や体積 などの概念を含む）との違いは、確率測度は空間全体に値1を割り当てなければならない点である。

直感的に言えば、加法性とは、尺度によって互いに排他的な2つの事象の和集合に割り当てられる確率は、それぞれの事象の確率の合計であるべきだという性質です。例えば、サイコロを振った結果「1または2」に割り当てられる値は、「1」と「2」という結果に割り当てられる値の合計であるべきです。

確率尺度は、物理学から金融、生物学まで、多様な分野で応用されている。

設定された関数の要件${\displaystyle \mu }$σ代数上の確率測度となる条件は以下のとおりである。

• ${\displaystyle \mu }$単位区間内の値をとらなければならない${\displaystyle [0,1],}$含む${\displaystyle 0}$空集合と${\displaystyle 1}$空間全体に。
• ${\displaystyle \mu }$すべての可算集合に対して可算加法性を満たす必要がある。${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$互いに素な集合の:$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

例えば、確率がそれぞれ 1、2、3 である 3 つの要素が与えられた場合${\displaystyle 1/4,1/4}$そして${\displaystyle 1/2,}$割り当てられた値${\displaystyle \{1,3\}}$は${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$右の図のように。

事象の交差に基づく条件付き確率は次のように定義され ます。$${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$ 確率関数の要件を満たす限り${\displaystyle \mu (A)}$ゼロではない。^{[ 2 ] [ 3 ]}

確率尺度は、ファジー値の合計が になる必要がない、より一般的なファジー尺度の概念とは異なります。${\displaystyle 1,}$そして加法性は集合の包含関係に基づく順序関係に置き換えられる。

多くの場合、統計物理学は確率測度を使用しますが、使用するすべての測度が確率測度であるとは限りません。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

観測された市場の動きに基づいて金融市場空間に確率を割り当てる市場尺度は、数理ファイナンスで関心のある確率尺度の例です。たとえば、金融デリバティブの価格設定などです。^{[ 6 ]}例えば、リスク中立尺度は、資産の現在の価値が、同じリスク中立尺度に関して取られた将来のペイオフの 期待値（つまり、対応するリスク中立密度関数を使用して計算された値）であり、リスクフリーレートで割り引かれたものであると仮定する確率尺度です。市場で資産の価格設定に使用しなければならない唯一の確率尺度がある場合、その市場は完全市場と呼ばれます。^{[ 7 ]}

直感的に偶然性や可能性を表す尺度が必ずしも確率尺度であるとは限りません。例えば、統計力学におけるシステムの基本概念は測度空間ですが、そのような尺度は必ずしも確率尺度ではありません。^{[ 4 ]}統計物理学では、「システムSが状態Aをとる確率はpである」という形式の文の場合、システムの幾何学は必ずしも合同の下での確率尺度の定義につながるわけではありませんが、自由度が1つのシステムの場合はそうなる可能性があります。^{[ 5 ]}

確率尺度は数理生物学でも使用されます。^{[ 8 ]}例えば、比較配列解析では、配列中のアミノ酸に対して変異体が許容される可能性の確率尺度が定義される場合があります。 ^{[ 9 ]}

• ボレル測度– 位相空間のすべての開集合上で定義される測度 
• ファジー測度– 数学における一般化測度の理論リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ハール測度– 局所コンパクト位相群上の左不変（または右不変）測度 
• 計数尺度
• ルベーグ測度– 整数次元空間におけるサイズの最も広い定義 
• マルチンゲール尺度– 確率尺度リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• セット関数– セットから数値への関数 
• 確率分布

• ビリングスリー、パトリック（1995）。確率と測度。ジョン・ワイリー。ISBN 0-471-00710-2。
• アッシュ、ロバート・B.、ドレアン＝デード、キャサリン・A. (1999).確率と測度論. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-065202-1。
• 確率測度、関数、分布の区別、Math Stack Exchange

• ウィキメディア・コモンズにある確率測定に関連するメディア