資産価格決定の基本定理

資産価格決定の基本定理（裁定取引、金融の定理とも呼ばれる）は、金融経済学と数理ファイナンスの両方において、市場が裁定取引のない市場であること、そして市場が完全であるための必要十分条件を提供する。裁定取引の機会とは、初期投資なしで損失の可能性もなく利益を得る方法である。^{[ 1 ]}裁定取引の機会は現実世界では一時的に存在するが、合理的な市場モデルはこの種の利益を避けるべきであると言われている。^{[ 2 ]： 5}最初の定理は、市場モデルの基本的な特性を保証するという点で重要である。完全性は市場モデルに共通する特性である（例えばブラック・ショールズ・モデル）。完全市場とは、あらゆる偶発債務を複製できる市場のことである。この特性はモデルに共通するが、必ずしも望ましい、あるいは現実的であるとは考えられていない。^{[ 2 ]： 30}

離散的（つまり有限状態）市場では、以下が成り立つ：^{[ 2 ]}

1. 資産価格決定の第一基本定理：離散確率空間上の離散市場${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$は、元の確率測度Pと同等のリスク中立確率測度が少なくとも 1 つ存在する場合に限り、裁定取引が存在しない。
2. 資産価格決定の第2基本定理：株式の集合Sとリスクフリー債券Bからなる無裁定市場（S,B）は、 Pと等価で基準資産Bを持つ唯一のリスク中立測度が存在する場合に限り完全である。

株価リターンが単一のブラウン運動に従う場合、リスク中立的な尺度は一意に定まります。株価プロセスがより一般的なシグママルチンゲールまたはセミマルチンゲールに従うと仮定すると、裁定取引の概念は狭すぎるため、無限次元の設定でこれらの機会を説明するには、リスクが消滅するフリーランチなし（NFLVR）などのより強い概念を使用する必要があります。^{[ 3 ]}

連続時間では、資産価格決定の基本定理のバージョンは次のようになります。^{[ 4 ]}

させて${\displaystyle S=(S_{t})_{t\geq 0}}$d次元セミマルチンゲール市場（株式の集合）である。${\displaystyle B}$リスクフリー債券と${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$基礎となる確率空間。さらに、我々は測度を${\displaystyle Q}$同等の 局所マルチンゲール測度${\displaystyle Q\approx P}$そしてプロセスが$\displaystyle \left(\frac S_t^i}{B_t})_t$尺度の下でのローカルマルチンゲールは${\displaystyle Q}$。

1. 資産価格決定の第一基本定理：仮定${\displaystyle S}$局所的に限定されている。すると市場は${\displaystyle S}$NFLVRを満たすのは、同等の局所マルチンゲール測度が存在する場合に限る。
2. 資産価格決定の第二基本定理：等価な局所マルチンゲール測度が存在すると仮定する${\displaystyle Q}$。 それから${\displaystyle S}$完全市場であるのは、${\displaystyle Q}$これは、唯一の局所マルチンゲール尺度です。

• 裁定価格理論
• 資産価格設定
• 金融経済学 § 無裁定価格設定と均衡
• 合理的な価格設定

情報源

さらに読む

• Harrison, J. Michael; Pliska, Stanley R. (1981). "連続取引理論におけるマルチンゲールと確率積分" . Stochastic Processes and Their Applications . 11 (3): 215– 260. doi : 10.1016/0304-4149(81)90026-0 .
• Delbaen, Freddy; Schachermayer, Walter (1994). "資産価格決定の基本定理の一般化". Mathematische Annalen . 300 (1): 463– 520. doi : 10.1007/BF01450498 .

• http://www.fam.tuwien.ac.at/~wschach/pubs/preprnts/prpr0118a.pdf