資本資産価格モデル

金融において、資本資産価格モデル( CAPM ) は、資産の理論的に適切な必要収益率を決定し、十分に分散されたポートフォリオに資産を追加するかどうかの決定を行うために使用されるモデルです。

このモデルでは、金融業界ではベータ(β)という量で表されることが多い分散不可能なリスク (システマティック リスクまたは市場リスクとも呼ばれる) に対する資産の感度、および市場の期待収益と理論上の無リスク資産の期待収益を考慮に入れます。 CAPM は、特定の形式の効用関数 (第 1 モーメントと第 2モーメントのみが重要で、リスクは分散によって測定される、たとえば 2 次効用) または、確率分布が最初の 2 つのモーメントによって完全に記述される資産収益 (たとえば、正規分布) とゼロ取引コスト (すべての固有リスクを取り除くために分散化に必要) を前提としています。 これらの条件下では、CAPM は自己資本コストがベータによってのみ決まることを示しています。^{[1] [2]}数多くの実証テストに失敗しているにもかかわらず、^{[3]資産価格設定とポートフォリオ選択に対するより現代的なアプローチ（}裁定価格理論やマートンのポートフォリオ問題など）が存在するにもかかわらず、CAPMはさまざまな状況でその単純さと有用性のために今でも人気があります。

CAPMは、ハリー・マーコウィッツによる分散投資と現代ポートフォリオ理論に関する研究を基に、ジャック・トレイナー(1961, 1962)、^[4] ウィリアム・F・シャープ(1964)、ジョン・リントナー(1965a,b)、ヤン・モッシン(1966)によって独立に導入されました。シャープ、マーコウィッツ、マートン・ミラーは、金融経済学へのこの貢献により、1990年のノーベル経済学賞を共同受賞しました。フィッシャー・ブラック(1972)は、ブラックCAPMまたはゼロベータCAPMと呼ばれる、リスクのない資産の存在を前提としないCAPMの別のバージョンを開発しました。このバージョンは実証的なテストに対してより堅牢であり、CAPMの広範な採用に影響を与えました。

CAPM は、個々の証券またはポートフォリオの価格設定モデルです。個々の証券については、証券市場ライン(SML) と、その期待収益およびシステマティック リスク(ベータ) との関係を利用して、市場が個々の証券をその証券リスク クラスに対してどのように価格設定すべきかを示します。SML を使用すると、市場全体の報酬対リスク比率に対する任意の証券の報酬対リスク比率を計算できます。したがって、任意の証券の期待収益率がそのベータ係数によってデフレートされると、市場内の任意の個々の証券の報酬対リスク比率は市場の報酬対リスク比率と等しくなります。

${\displaystyle {\frac {E(R_{i})-R_{f}}{\beta _{i}}}=E(R_{m})-R_{f}}$

市場の報酬対リスク比率は実質的に市場リスクプレミアムであり、上記の式を変形して を解くと、資本資産価格モデル (CAPM) が得られます。 ${\displaystyle E(R_{i})}$

${\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})\,}$

どこ：

• ${\displaystyle E(R_{i})~~}$資本資産の期待収益率
• ${\displaystyle R_{f}~}$国債から生じる利子などの無リスク金利である。
• ${\displaystyle \beta _{i}~~}$（ベータ）は、期待される超過資産収益の期待される超過市場収益に対する感度であり、また${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\mathrm {Cov} (R_{i},R_{m})}{\mathrm {Var} (R_{m})}}=\rho _{i,m}{\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{m}}}}$
• ${\displaystyle E(R_{m})~}$市場の期待収益率である
• ${\displaystyle E(R_{m})-R_{f}~}$市場プレミアムと呼ばれることもある
• ${\displaystyle E(R_{i})-R_{f}~}$個人リスクプレミアムとも呼ばれる
• ${\displaystyle \rho_{i,m}}$投資と市場の間の相関係数を表す${\displaystyle i}$${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle \sigma_{i}}$投資の標準偏差である${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \sigma_{m}}$市場の標準偏差です。${\displaystyle m}$

リスクプレミアムの観点から言い換えると、次のようになります。

${\displaystyle E(R_{i})-R_{f}=\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})\,}$

これは、個々のリスクプレミアムが市場プレミアム× βに等しいことを示しています。

注 1: 期待市場収益率は通常、市場ポートフォリオ (例: S&P 500) の過去の収益の算術平均を測定することによって推定されます。

注 2: リスク プレミアムを決定するために使用されるリスク フリー収益率は、通常、過去のリスク フリー収益率の算術平均であり、現在のリスク フリー収益率ではありません。

完全な導出については、現代ポートフォリオ理論を参照してください。

調整ベータと呼ばれることが多い平均回帰ベータや消費ベータに関する研究も行われてきました。しかし、実証テストでは、従来の CAPM が修正ベータ モデルと同等かそれ以上の性能を示すことが分かっています。

SMLは、資本資産価格モデル (CAPM) の式の結果をグラフ化します。x軸はリスク (ベータ) を表し、y軸は期待収益を表します。市場リスク プレミアムは、SML の傾きから決定されます。

β と必要収益率の関係は、証券市場線(SML) 上にプロットされ、期待収益率が β の関数として表示されます。切片は市場で利用可能な名目無リスク金利で、傾きは市場プレミアム E( R _m )−  R _fです。証券市場線は、資産価格の単一要因モデルを表すものと見なすことができます。ここで、β は市場価値の変化に対するエクスポージャーです。SML の式は次のようになります。

${\displaystyle \mathrm {SML} :E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{M})-R_{f}).~}$

これは、ポートフォリオに組み入れる資産が、そのリスクに対して妥当な期待収益率を提供しているかどうかを判断するのに役立つツールです。個々の証券は、SML グラフ上にプロットされます。証券の期待収益率とリスクが SML より上にプロットされている場合、投資家は固有のリスクに対してより大きな収益率を期待できるため、その証券は過小評価されています。また、SML より下にプロットされている証券は、投資家が想定するリスク量に対してより低い収益率を受け入れることになるため、過大評価されています。

CAPM を使用して期待収益率/必要収益率を計算したら、この必要収益率を特定の投資期間における資産の推定収益率と比較して、適切な投資かどうかを判断できます。この比較を行うには、P/E、M/B など、 ファンダメンタル分析またはテクニカル分析手法に基づいて、証券の収益見通しを独自に推定する必要があります。${\displaystyle E(R_{i})}$

CAPM が正しいと仮定すると、資産の推定価格が、資産の将来のキャッシュフローの現在価値を CAPM が示唆するレートで割り引いた値と同じである場合、資産は適正に価格設定されています。推定価格が CAPM 評価よりも高い場合、資産は過大評価されています (推定価格が CAPM 評価よりも低い場合は過小評価されています)。^[5]資産が SML 上にない場合、これも誤った価格設定を示している可能性があります。時点における資産の期待収益は であるため、時点に資産が CAPM が示唆するよりも高い期待収益はが低すぎる (資産は現在過小評価されている) ことを示しています。これは、時点に資産が CAPM が示唆する価格に戻ると仮定した場合です。^[6]${\displaystyle t}$${\displaystyle E(R_{t})={\frac {E(P_{t+1})-P_{t}}{P_{t}}}}$${\displaystyle P_{t}}$${\displaystyle t+1}$

CAPM（確実性等価価格決定式とも呼ばれる）を使用した資産価格は、次式で表される線形関係にある。 ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{1+R_{f}}}\left[E(P_{T})-{\frac {\mathrm {Cov} (P_{T},R_{M})(E(R_{M})-R_{f})}{\mathrm {Var} (R_{M})}}\right]}$

資産またはポートフォリオの将来の価格です。[ ^5]${\displaystyle P_{T}}$

CAPM は、資産に適した必要収益率または割引率、つまり、その資産の相対的なリスクを考慮して、その資産によって生み出される将来のキャッシュフローを割り引くべき率を返します。

ベータが 1 を超えると、平均以上の「リスク」があることを示します。ベータが 1 を下回ると、平均より低いことを示します。したがって、リスクの高い株式はベータが高くなり、割引率も高くなります。リスクに敏感でない株式はベータが低くなり、割引率も低くなります。一般に受け入れられている凹型の効用関数を考えると、CAPM は直感と一致します。つまり、投資家はリスクの高い資産を保有するために、より高いリターンを要求する (はず) のです。

ベータは、分散不可能なリスク、つまり市場リスクに対する資産固有の感応度を反映するため、市場全体のベータは定義により 1 になります。株式市場指数は、市場のローカルプロキシとして頻繁に使用され、その場合 (定義により) ベータは 1 になります。したがって、大規模で分散化されたポートフォリオ (投資信託など) の投資家は、市場と一致するパフォーマンスを期待します。

ポートフォリオのリスクは、分散不可能なリスクとも呼ばれるシステマティック リスクと、特異リスクまたは分散可能なリスクとも呼ばれるシステマティックリスクから構成されます。システマティック リスクは、すべての証券に共通するリスク、つまり市場リスクを指します。非システマティック リスクは、個々の資産に関連するリスクです。非システマティック リスクは、ポートフォリオに多くの資産を含めることで、より小さなレベルに分散できます(特定のリスクは「平均化」されます)。システマティック リスクの場合、1 つの市場内で同じことはできません。市場によって異なりますが、英国や米国などの先進市場で約 30 ～ 40 の証券を含むポートフォリオでは、ポートフォリオが十分に分散され、リスク エクスポージャーがシステマティック リスクのみに限定されます。この数は、ポートフォリオ内での証券の重み付け方法によって変わる可能性があり、これにより各証券の全体的なリスク寄与が変わります。たとえば、時価総額の重み付けでは、時価総額が大きい企業の証券がポートフォリオのより大きな部分を占めるため、実質的に分散度が低くなります。発展途上市場では資産のボラティリティが高いため、分散化のためにより多くの証券が必要になります。

合理的な投資家は、分散可能なリスクを一切引き受けるべきではありません。このモデルの範囲内では、分散不可能なリスクのみが報われるからです。したがって、資産の必要収益率、つまりリスクを補う収益率は、その「単独のリスク」ではなく、ポートフォリオのコンテキストにおけるリスク度、つまりポートフォリオ全体のリスク度への寄与度と結び付けられる必要があります。CAPM のコンテキストでは、ポートフォリオ リスクは、より高い分散、つまり予測可能性の低さとして表されます。言い換えれば、ポートフォリオのベータは、投資家が引き受ける体系的なエクスポージャーに報いる決定的な要因です。

CAPM では、ポートフォリオのリスク リターン プロファイルを最適化できると想定しています。つまり、最適なポートフォリオは、そのリターン レベルに対して可能な限り低いリスク レベルを示します。さらに、ポートフォリオに導入される各追加資産によってポートフォリオがさらに分散されるため、最適なポートフォリオはすべての資産 (取引コストがないと想定) で構成され、各資産の価値が上記を達成するために加重される必要があります (すべての資産は無限に分割可能であると想定)。このようなすべての最適なポートフォリオ (つまり、各リターン レベルごとに 1 つ) が、効率的フロンティアを構成します。

非体系的リスクは分散可能であるため、ポートフォリオの総リスクはベータとして考えることができます。

全投資家: ^[7]

1. 経済的効用を最大化することを目指します（資産の量は与えられ、固定されています）。
2. 合理的でリスクを回避します。
3. 幅広い投資分野に幅広く分散投資しています。
4. 価格受容者であり、価格に影響を与えることはできません。
5. リスクフリー金利で無制限に貸し借りができます。
6. 取引コストや課税コストなしで取引できます。
7. 非常に細かく分割可能な証券を扱います（すべての資産は完全に分割可能で流動性があります）。
8. 均一な期待を持つ。
9. すべての情報がすべての投資家に同時に提供されるものと想定します。

2004年のレビューで、経済学者のユージン・ファーマとケネス・フレンチは、「CAPMが実証テストで失敗したことは、モデルのほとんどの応用が無効であることを意味している」と主張している。^[3]

• 従来のCAPMは、過去のデータを入力として、資産iの将来の収益を計算します。しかし、過去のデータは将来を予測するには十分ではない可能性があり、現代のCAPMアプローチでは将来のリスク推定値に依存するベータを使用しています。^[8]
• ほとんどの実務家や学者は、リスクは変化する性質（一定ではない）であることに同意しています。従来のCAPMに対する批判は、使用されるリスク測定が一定のままである（非変動ベータ）というものです。最近の研究では、CAPMの予測精度を向上させるために、時間とともに変化するベータを経験的にテストしました。^[9]
• このモデルは、リターンの分散がリスクの適切な測定基準であると仮定している。これは、リターンが正規分布している、または実際には任意の2パラメータで分布しているという仮定によって暗示されるが、一般的なリターン分布については、他のリスク測定基準（コヒーレントリスク測定基準など）の方が、アクティブ株主と潜在的株主の選好をより適切に反映する。実際、金融投資におけるリスクは分散そのものではなく、損失の確率である。代替的な安全第一の資産価格モデルと同様に、リスクは本質的に非対称である。^{[10] [11]} バークレイズウェルスは、非正規リターンの資産配分に関する調査を発表しており、リスク許容度が非常に低い投資家は、CAPMが示唆するよりも多くの現金を保有すべきであることが明らかになっている。^[12]
• 一部の投資家は、他の条件が同じであれば、正の歪度を好みます。つまり、これらの投資家は、リターンが正に歪んでいる場合、低いリターンを受け入れます。たとえば、カジノのギャンブラーは、より多くのリスクを取るためにお金を払います。CAPMは、ベータに加えて、共歪度を価格設定要因として含めるように拡張できます。^{[13] [14]}
• このモデルでは、すべての現株主と潜在的株主が同じ情報にアクセスでき、すべての資産のリスクと期待収益について合意していると仮定しています（同質期待仮定）。^[要出典]
• このモデルは、積極的株主と潜在的株主の確率的信念が真の収益分布と一致することを前提としている。別の可能性としては、積極的株主と潜在的株主の期待に偏りがあり、市場価格が情報的に非効率的になっているということがある。この可能性は行動ファイナンスの分野で研究されており、ケント・ダニエル、デイビッド・ハーシュライファー、アヴァニダール・スブラマニヤム（2001）による過信に基づく資産価格モデルなど、心理学的仮定を用いてCAPMに代わるモデルを提供している。^[15]
• このモデルは株式のリターンの変動を十分に説明していないようだ。実証研究では、低ベータ株はモデルが予測するよりも高いリターンをもたらすことが示されている。^{[16] [17]}
• この点に関するデータは、1969年にニューヨーク州バッファローで開催された会議で、フィッシャー・ブラック、マイケル・ジェンセン、マイロン・ショールズが発表した論文で早くも発表されている。その事実自体は合理的（効率的市場仮説は救われるが、CAPMは間違っていることになる）か、非合理的（CAPMは救われるが、EMHは間違っていることになる。実際、この可能性により、ボラティリティ・アービトラージは確実に市場に勝つための戦略になる）かのどちらかである。^{[18] [19] [20]リスクとリターンの不可解な経験的関係は、}低ボラティリティ・アノマリーとも呼ばれる。
• このモデルでは税金や取引コストは存在しないと仮定しているが、より複雑なモデルではこの仮定は緩和される可能性がある。^[21]
• 市場ポートフォリオは、すべての市場のすべての資産で構成され、各資産は時価総額によって重み付けされます。これは、個々のアクティブ株主と潜在的株主に市場と資産の優先順位はなく、アクティブ株主と潜在的株主はリスクとリターンのプロファイルのみに基づいて資産を選択することを前提としています。また、すべての資産は、保有または取引できる金額に関して無限に分割可能であることも前提としています。^{[引用が必要]}
• 市場ポートフォリオには、理論上は、投資として誰もが保有するあらゆる種類の資産（美術品、不動産、人的資本など）が含まれるべきである。実際には、そのような市場ポートフォリオは観察不可能であり、人々は通常、真の市場ポートフォリオの代理として株価指数を代用する。残念ながら、この代用は無害ではなく、CAPMの妥当性に関して誤った推論につながる可能性があることが示されており、真の市場ポートフォリオを観察することが不可能であるため、CAPMは経験的にテストできない可能性があると言われている。これは、 1977年にリチャード・ロールが論文でより詳細に提示し、一般にロールの批判と呼ばれている。^[22]しかし、市場ポートフォリオの選択は経験的テストにとってそれほど重要ではないかもしれないと考える人もいる。^[23]他の著者は、世界の富または世界の市場ポートフォリオが何で構成され、その収益がどうであったかを文書化しようとした。^{[24] [25] [26]}
• このモデルは、経済主体が短期的な視点で最適化を行うことを前提としており、実際、長期的な見通しを持つ投資家は、短期金利ではなく長期インフレ連動債を最適に選択するだろう。なぜなら、長期インフレ連動債は、そのような経済主体にとってよりリスクのない資産となるからである。^{[27] [28]}
• このモデルは2つの日付のみを想定しているため、時間の経過とともにポートフォリオを繰り返し消費して再調整する機会はありません。このモデルの基本的な洞察は、ロバート・マートンのインターテンポラルCAPM（ICAPM）^[29]とダグラス・ブリーデンとマーク・ルビンスタインの消費CAPM （CCAPM） ^[30]で拡張され一般化されています。
• CAPMは、すべてのアクティブ株主と潜在的株主がすべての資産を考慮し、1つのポートフォリオを最適化することを前提としています。これは、個々の株主が保有するポートフォリオとは大きく矛盾しています。人間は断片化されたポートフォリオ、またはむしろ複数のポートフォリオを持つ傾向があります。各目標に対して1つのポートフォリオです。行動ポートフォリオ理論^[31]とマズローのポートフォリオ理論を参照してください。^[32]
• 実証テストでは、CAPMでは説明できないサイズ効果やバリュー効果などの市場異常が示されています。^[33]詳細については、ファマ・フレンチの3因子モデルを参照してください。^[34]

ロジャー・ダヤラ^[35]はさらに一歩進んで、CAPMは狭い仮定セット内でも根本的な欠陥があり、CAPMは循環的または非合理的であると主張している。循環性とは、総リスクの価格が共分散リスクの価格のみの関数であること（およびその逆）を指す。非合理的性とは、CAPMが宣言した「価格の改訂」によって、共分散リスクの（低い）量に対してのみ、総リスクの（高い）量と同じ割引率が得られる（つまり、リスクの量が異なっても割引率が同じ）ことを指す。ロジャーの発見は、後にライとストースによって支持された。^[36]

• 裁定価格理論
• ビルドアップ方式
• カーハート4因子モデル
• チャンス制約ポートフォリオ選択
• 消費ベータ（CCAPM）
• ファーマ・フレンチ3因子モデル
• 異時点間 CAPM (ICAPM)
• 低ボラティリティ異常
• 現代ポートフォリオ理論
• ロイの安全第一の基準

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