アジアンオプション

アジアン オプション(または平均値オプション) は、特別なタイプのオプション契約です。アジアン オプションの場合、ペイオフは、事前に設定された期間の平均原資産価格によって決まります。これは、オプション契約のペイオフが権利行使時の原資産価格によって決まる通常のヨーロピアン オプションやアメリカン オプションの場合とは異なります。したがって、アジアン オプションは、エキゾチック オプションの基本的な形式の 1 つです。

アジアン オプションには、行使価格が事前に決定され、原資産の平均価格がペイオフ計算に使用される平均価格オプション(固定行使価格) と、期間にわたる原資産の平均価格が行使価格になる平均行使価格オプション(変動行使価格) の 2 種類があります。

アジアン オプションの利点の 1 つは、満期時に原資産の市場操作のリスクが軽減されることです。 ^[1]アジアン オプションのもう 1 つの利点は、アジアン オプションのコストがヨーロッパやアメリカのオプションに比べて相対的に低いことです。平均化機能により、アジアン オプションはオプションに固有のボラティリティを軽減します。そのため、アジアン オプションは通常、ヨーロッパやアメリカのオプションよりも安価です。これは、企業が従業員のストック オプションを費用処理することを義務付けた財務会計基準審議会改訂基準書第 123 号の対象となる企業にとって有利です。^[2]

1980年代、マーク・スタンディッシュはロンドンを拠点とするバンカーズ・トラストで債券デリバティブと自己勘定裁定取引に携わっていた。デビッド・スポートンは、イングランド銀行がロンドン市場で銀行に外国為替オプション取引のライセンスを初めて与えた1984年以来、バンカーズ・トラストで金融市場のシステムアナリストとして働いていた。1987年、スタンディッシュとスポートンは東京で仕事中に「原油の平均価格に連動するオプションの商用利用初の価格設定方式を開発した」。彼らはアジアにいたため、このエキゾチックなオプションをアジアオプションと呼んだ。^{[3] [4] [5] [6]}

アジアン オプションにはさまざまな組み合わせがありますが、最も基本的な組み合わせを以下に示します。

• 固定ストライクレート（または平均レート）のアジアンコールペイアウト

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(A(0,T)-K,0\right),}$

ここで、Aは期間[0, T]の平均価格、Kは権利行使価格である。
同等のプットオプションは次のように表される。

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(KA(0,T),0\right).}$

• 変動ストライク（または変動レート）アジアンコールオプションの支払い

${\displaystyle C(T)={\text{max}}\left(S(T)-kA(0,T),0\right),}$

ここでS(T)は満期時の価格、kは重み付けで、通常は1なので説明では省略されることが多い。
同等のプットオプションのペイオフは次のように表される。

${\displaystyle P(T)={\text{max}}\left(kA(0,T)-S(T),0\right).}$

平均はさまざまな方法で得られます。通常、これは算術平均を意味します。連続の場合、これは次のように得られます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}S(t)dt.}$

離散モニタリング（時刻と時刻のモニタリング）の場合、平均は次のように表されます。 ${\displaystyle 0=t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}=T}$${\displaystyle t_{i}=i\cdot {\frac {T}{n}}}$

${\displaystyle A(0,T)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}S(t_{i}).}$

幾何平均を持つアジアオプションも存在する。連続の場合、これは次のように与えられる。

${\displaystyle A(0,T)=\exp \left({\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\ln(S(t))dt\right).}$

モンテカルロ法を用いたアジアンオプションの価格設定の問題については、ケムナとヴォルストの論文で議論されている。^[7]

オプション価格設定への経路積分アプローチ^[8]では、幾何平均の問題はファインマンと クライナートの有効古典的ポテンシャル^[9]を介して解くことができる。^[10]

ロジャースとシーは偏微分方程式アプローチで価格設定問題を解決した。^[11]

分散ガンマモデルは、アジア型オプションの価格設定時に効率的に実装できます。そして、ボンデソン級数表現を使用して分散ガンマプロセスを生成することで、アジア型オプションプライサーの計算パフォーマンスを向上させることができます。^[12]

ジャンプ拡散モデルと確率的ボラティリティモデルでは、幾何アジアンオプションの価格設定問題は依然として解決可能である。^[13]レヴィモデルの算術アジアンオプションについては、数値的手法^{[13]または解析的境界[14]}に頼ることができる。

幾何アジアン オプションの閉形式の解を導出できます。モンテ カルロシミュレーションの制御変数と組み合わせて使用​​すると、この式は算術アジアン オプションの公正価値を導出するのに役立ちます。

連続時間幾何平均を次のように定義します。ここで、基になる は標準的な幾何ブラウン運動に従います。ここから、次のように簡単に計算できます。元々 であった確率積分を導くには、次の点に注意してください。これは、伊藤の補題によって確認できます。この式を積分し、 という事実を使用すると、積分が同等であることがわかります。これは、後の導出で役立ちます。マルチンゲール価格設定を使用すると、幾何平均によるヨーロッパのアジアンコールの値は次のようになります。を見つけるには、 となる を見つけなければなりません。代数計算の後、次のことがわかります。この時点で、確率積分は、この問題の解を見つけるための難関です。ただし、伊藤の等長変換を使用すると、積分が次のように正規分布していることを簡単に確認できます。これは、 となると言うことと同じです。したがって、次のようになります。これで、幾何平均によるヨーロッパのアジアンコールの値を計算できるようになりました。この時点で、以下を定義しておくと便利です。ブラック・ショールズ・モデルで行われるのと同じプロセスを実行すると、次のことがわかります。実際、幾何平均法による欧州アジア・プットについて同じ議論を実行すると、次のことがわかります。これは、幾何平均法による欧州アジア・オプションのプット・コール・パリティのバージョンが存在することを意味します。${\displaystyle G_{T}}$$${\displaystyle G_{T}=\exp \left[{1 \over {T}}\int _{0}^{T}\log S(t)dt\right]}$$${\displaystyle S(t)}$$${\displaystyle G_{T}=S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}}$$${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}W_{t}dt}$$${\displaystyle d[(T-t)W_{t}]=(T-t)dW_{t}-W_{t}dt}$$${\displaystyle W_{0}=0}$${\displaystyle C_{G}}$$${\displaystyle C_{G}=e^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{\ell }^{\infty }\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle G_{T}\geq K\implies S_{0}e^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}}\geq K}$$$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}$$$${\displaystyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$${\textstyle {\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(T-t)dW_{t}=\sigma {\sqrt {T \over {3}}}x}$${\textstyle x\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$$${\displaystyle x\geq {\log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\equiv \ell }$$$${\displaystyle b={1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right),\;\sigma _{G}={\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{\sqrt {T}}}$$$${\displaystyle C_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (d_{1})-Ke^{-rT}\Phi (d_{2})}$$${\textstyle P_{G}}$$${\displaystyle P_{G}=Ke^{-rT}\Phi (-d_{2})-S_{0}e^{(b-r)T}\Phi (-d_{1})}$$$${\displaystyle C_{G}-P_{G}=S_{0}e^{(b-r)T}-Ke^{-rT}}$$

店頭市場で販売されているバリエーションがいくつかあります。たとえば、BNPパリバは条件付きアジアンオプションと呼ばれるバリエーションを導入しました。これは、平均原資産価格が事前に指定されたしきい値を超える価格の観測に基づいています。条件付きアジアンプットオプションのペイオフは

${\displaystyle \max \left(K-{\frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)>b\}}dt}},0\right),}$

ここで は閾値であり、 は真の場合は に等しく、そうでない場合は 0 に等しい指標関数である。このようなオプションは、観測範囲の制限により平均価格の変動性が低下するため、従来のアジアン・プット・オプションよりも安価な代替手段となる。これは通常、マネーで売却され、最長 5 年間存続する。条件付きアジアン・オプションの価格設定については、Feng と Volkmer が議論している。^[15]${\displaystyle b>0}$${\displaystyle I_{A}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$