ヘストンモデル

金融において、スティーブン・L・ヘストンにちなんで名付けられたヘストンモデルは、原資産のボラティリティの変化を記述する数学モデルです。^[1]これは確率的ボラティリティモデルです。このモデルでは、資産のボラティリティは一定ではなく、決定論的でさえもなく、ランダムなプロセスに従うと仮定しています。

基本的なヘストンモデルでは、資産価格S _{t が}^{確率過程によって決定されると仮定している。 [1] [2]}

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S},}$

ボラティリティはオルンシュタイン・ウーレンベック過程に従う${\displaystyle {\sqrt {\nu _{t}}}}$

${\displaystyle d{\sqrt {\nu _{t}}}=-\theta {\sqrt {\nu _{t}}}\,dt+\delta \,dW_{t}^{\nu }.}$

伊藤の補題によれば、瞬間分散はフェラー平方根またはCIR過程によって与えられる。 ${\displaystyle \nu_{t}}$

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\ぬ },}$

および相関ρを持つウィーナー過程（つまり連続ランダムウォーク） です。${\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }}$

モデルには 5 つのパラメータがあります。

• ${\displaystyle \nu_{0}}$、初期分散。
• ${\displaystyle \theta}$、価格の長期分散、または長期平均分散。tが無限大に近づくにつれて、ν _tの期待値はθ に近づきます。
• ${\displaystyle \rho}$2つのウィーナー過程の相関関係。
• ${\displaystyle \kappa}$_{ν t が}θ に戻る速度。
• ${\displaystyle \xi}$、ボラティリティのボラティリティ、または「ボラティリティのボラティリティ」は、 ν _tの分散を決定します。

パラメータが以下の条件（フェラー条件として知られる）に従う場合、プロセスは厳密に正である^[3]${\displaystyle \nu_{t}}$

${\displaystyle 2\kappa \theta >\xi ^{2}.}$

記事全文はリスク中立尺度を参照

デリバティブの価格設定における基本的な概念はリスク中立尺度です。これについては上記の記事でさらに詳しく説明されています。ここでは、次の点に注意すれば十分です。

1. ペイオフが 1 つ以上の原資産の関数であるデリバティブの価格を設定するには、リスク中立の尺度に基づいて割引ペイオフの期待値を評価します。
2. リスク中立測度は、等価マルチンゲール測度とも呼ばれ、現実世界の測度と等価で裁定取引のない測度です。このような測度では、各原資産の割引価格はマルチンゲールです。ギルサノフの定理を参照してください。
3. ブラック・ショールズ・フレームワークとヘストン・フレームワーク（フィルタリングがウィーナー過程の線形独立セットのみから生成される場合）では、各ウィーナー過程にドリフトを追加することで、同等の尺度を非常に緩い意味で記述できます。
4. 上記のドリフトに特定の値を選択することで、裁定取引のない条件を満たす同等の尺度を得ることができます。

基礎となる資産と線形独立なウィーナー過程の集合がある一般的な状況を考えてみましょう。等価測度の集合は、可能なドリフトの空間であるR ^{mと同型です。等価マルチンゲール測度の集合が}R ^mに埋め込まれた多様体と同型であると考えます。まず、資産がなくR ^mと同型である状況を考えます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ここで、各原資産が同等の尺度の集合に制約を与えるものと考えてみます。これは、その期待割引プロセスが定数（つまり、初期値）に等しくなければならないためです。一度に 1 つの資産を追加することで、制約が追加されるたびに の次元が1 次元ずつ減少すると考えることができます。したがって、上記の一般的な状況では、同等のマルチンゲール尺度の集合の次元は であることがわかります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle mn}$

ブラック・ショールズ・モデルでは、資産が 1 つとウィーナー過程が 1 つあります。同等のマルチンゲール尺度の集合の次元は 0 です。したがって、ドリフトの値は 1 つ、つまりリスク中立尺度は 1 つであり、その値の下では割引資産はマルチンゲールになります。^[要出典]${\displaystyle e^{-\rho t}S_{t}}$

ヘストン モデルでは、資産は 1 つのままですが (ボラティリティは市場で直接観察または取引できるとは見なされません)、ウィーナー プロセスは 2 つあります。1 つは株価の確率微分方程式 (SDE) で、もう 1 つは株価の分散の SDE です。ここでは、同等のマルチンゲール尺度の集合の次元は 1 つであり、唯一のリスクのない尺度はありません。^{[引用が必要]}

もちろん、これは問題である。理論上はどのリスクフリー指標もデリバティブの価格設定に使用できるが、それぞれが異なる価格を与える可能性が高い。しかし、理論上は、これらのリスクフリー指標のうち、ボラティリティ依存オプション（たとえば、ヨーロピアンコール、またはより具体的には、分散スワップ）の市場価格と互換性があるのは 1 つだけである。したがって、ボラティリティ依存資産を追加することができる。^[要出典]そうすることで、制約が 1 つ追加され、市場と互換性のある単一のリスクフリー指標を選択することができる。この指標は、価格設定に使用できる。

• フーリエ変換をオプションの価値評価に使用することは、CarrとMadanによって示されました。^[4]

• ヘストンモデルの実装についてはカールとイェッケルによって議論された。^[5]

• 時間依存ヘストンモデルの閉形式オプション価格の導出は、ベンハモウらによって発表された^{[6] 。}

• ダブルヘストンモデルの閉形式オプション価格の導出は、クリストファーセンら^[7]とゴーティエとポサマイ^{[8]によって行われた。}

• ヘストンモデルを確率的金利で拡張したものは、GrzelakとOosterleeによって提案された。^[9]

• ヘストンモデルの特性関数の数値的に連続かつパラメータに関して容易に微分可能な表現は、Cuiらによって導入された^{[10] 。}

• 局所的確率的ボラティリティのコンテキストにおけるモデルの使用は、Van Der Weijstによって提案されました。^[11]

• ボラティリティに関するヘストン価格方程式の明示的な解は、コウリッツィンによって開発されました。^[12]これは、ボラティリティ方程式の既知の弱解とギルサノフの定理と組み合わせて、ヘストンモデルの明示的な弱解を生成することができます。このような解は、効率的なシミュレーションに役立ちます。

• 高精度の参考価格はアラン・ルイスのブログ記事で参照できます。^[13]
• ヘストン モデル (Schonbusher、SVI、gSVI) に基づくボラティリティ サーフェスのパラメータ化はほとんど知られていません。

ヘストン モデルのキャリブレーションは、多くの場合、最小二乗問題として定式化され、目的関数は市場で観測された価格とモデルから計算された価格の二乗差を最小化します。

価格は通常、バニラオプションの価格です。GuillaumeとSchoutens ^[14]のように、モデルは分散スワップの期間構造に合わせて調整されることもあります。さらに別のアプローチとして、フォワードスマイルを捉えるために、フォワードスタートオプションやバリアオプションも含める方法があります。

ヘストンモデルでは、バニラオプションの価格は解析的に与えられるが、積分を計算するには数値的手法が必要である。ル・フロック^[15]は、適用されたさまざまな積分法をまとめ、効率的な適応型フィロン積分法を提案した。

キャリブレーションには通常、モデルパラメータに対する目的関数の勾配が必要です。これは通常、有限差分近似で計算されますが、解析的勾配よりも精度、効率、簡潔性に欠けます。これは、後者の洞察に富んだ表現が、2017年にCuiらによって特性関数の新しい表現が導入されて初めて利用可能になったためです^{[10] 。もう1つの可能性は、}自動微分に頼ることです。たとえば、アルゴリズム微分の接線モードは、双対数を使用して簡単に適用できます。

• 確率的ボラティリティ
• リスク中立測度（同等のマルチンゲール測度の別名）
• ギルサノフの定理
• マーチンゲール（確率論）
• SABRボラティリティモデル
• Kahl、Jäckel、Lord による実装用の MATLAB コード

• Damghani, Babak Mahdavi; Kos, Andrew (2013). 「弱い笑顔による裁定取引の解消: リスクの歪曲への応用」. Wilmott . 2013 (1): 40–49. doi :10.1002/wilm.10201. S2CID  154646708.
• Mario, Dell'Era (2014). 「幾何学的変換によるHESTON PDEの閉形式解」. 4 (6): 793–807. {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です