裁定価格理論

金融において、裁定価格理論（APT ）は、様々なマクロ経済（体系的）リスク変数を金融資産の価格設定に関連付ける資産価格設定のマルチファクターモデルです。 1976年に経済学者スティーブン・ロスによって提唱され、 ^{[1]その前身である}資本資産価格設定モデル（CAPM）の改良版であると広く信じられています。 ^{[2] APTは}一物一価の法則に基づいており、均衡市場内では合理的な投資家が裁定取引を実行し、最終的に均衡価格が実現されることを示しています。^[2]そのため、APTは、一定期間内に裁定取引の機会が尽きた場合、資産の期待収益は様々な要因または理論的な市場指標の線形関数であり、各要因の感度は要因固有のベータ係数または要因負荷によって表されると主張しています。その結果、トレーダーに「真の」資産価値の指標を提供し、裁定取引を通じて市場の不一致を活用できるようになります。 APTの線形ファクターモデル構造は、資産配分、運用ファンドのパフォーマンス、資本コストの計算を評価するための基礎として使用されています。^[3]さらに、新しいAPTモデルは、以前のCAPMモデルよりも理論的な用途で利用されており、より動的です。グレゴリー・コナーとロバート・コライチクが1986年に書いた記事では、APTフレームワークを利用してポートフォリオパフォーマンスの測定に適用し、ジェンセン係数がポートフォリオパフォーマンスの許容可能な測定であることを示唆しました。^[4]

APT は単一期間の静的モデルであり、投資家がリスクとリターンのトレードオフを理解するのに役立ちます。平均的な投資家は、特定のレベルまたはリスクに対してリターンを最適化することを目指しており、そのため、より大きなリスクを負うことでプラスのリターンを期待しています。APT モデルによると、リスク資産のリターンは、次のように表現できる場合、 ファクター強度構造に従っていると言われています。

${\displaystyle r_{j}=a_{j}+\beta _{j1}f_{1}+\beta _{j2}f_{2}+\cdots +\beta _{jn}f_{n}+\epsilon _{j}}$

どこ

• ${\displaystyle a_{j}}$は資産の定数です。${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle f_{i}}$1≤i≤n の場合、系統的因子です。
• ${\displaystyle \beta _{ji}}$は、1≤i≤n の因子に対する 番目の資産の感度であり、因子負荷量とも呼ばれます。${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{i}}$
• リスク資産の特異なランダムショックであり、平均はゼロです。${\displaystyle \epsilon _{j}}$

特異なショックには、資産間での相関はなく、要因との相関もないものと想定されます。

APT モデルでは、資産収益がファクター構造に従う場合、期待収益とファクター感応度の間に次の関係が存在するとされています。

${\displaystyle \mathbb {E} \left(r_{j}\right)=r_{f}+\beta _{j1}RP_{1}+\beta _{j2}RP_{2}+\cdots +\beta _{jn}RP_{n}}$

どこ

• ${\displaystyle RP_{i}}$は因子のリスクプレミアムです。${\displaystyle f_{i}}$
• ${\displaystyle r_{f}}$はリスクフリーレートです。

つまり、資産jの期待収益は、 n個の要因に対する資産の感度の線形関数です。

後者が正しいためには、満たさなければならないいくつかの仮定と要件があることに注意してください。市場には完全な競争が存在しなければならず、要素の総数は資産の総数を超えてはいけません（行列の特異点の問題を回避するため）。

収益、因子負荷量、因子 を持つ資産セットの場合、APT で使用される一般的な因子モデルは次のようになります。ここで、は多変量正規分布に従います。一般に、因子が次のように分布していると仮定すると便利です。ここで、は期待リスク プレミアム ベクトル、 は因子共分散行列です。収益と因子のノイズ項が相関していないと仮定すると、収益の平均と共分散はそれぞれ次のようになります。一般に、モデル内の因子はわかっていると仮定され、最小二乗法を使用できます。ただし、これに代わる方法として、因子は潜在変数であると仮定し、心理測定学で使用される形式に似た因子分析を使用して因子を抽出することができます。 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \Lambda \in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle f\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle r=r_{f}+\Lambda f+\epsilon ,\quad \epsilon \sim {\mathcal {N}}(0,\Psi )}$$${\displaystyle \epsilon }$$${\displaystyle f\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\Omega )}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Omega }$$${\displaystyle \mathbb {E} (r)=r_{f}+\Lambda \mu ,\quad {\text{Cov}}(r)=\Lambda \Omega \Lambda ^{T}+\Psi }$$

資産評価のためのAPTモデルは、以下の仮定に基づいています。^[2]

1. 投資家は本質的にリスク回避的であり、同じ期待を抱いている。
2. 裁定取引の機会が限られている効率的な市場
3. 完璧な資本市場
4. 資産の数は無限
5. リスク要因は、分散化できない体系的なリスクを示しており、すべての金融資産に何らかの影響を与えます。したがって、これらの要因は次の条件を満たす必要があります。    
   • 特定の企業や業界に限定しない
   • リスクプレミアムを通じて市場から補償される
   • ランダム変数

裁定取引とは、投資家が資産評価の公正価格からのわずかな変動を利用して利益を得る行為です。これは、非効率的な市場で過大評価または過小評価された証券から、リスクの増加や追加投資なしでプラスの期待収益を実現することです。

APT のコンテキストでは、裁定取引は 2 つの資産の取引から成り、少なくとも 1 つの資産は価格設定が誤っています。裁定取引業者は、相対的に高すぎる資産を売却し、その収益を使って相対的に安すぎる資産を購入します。

APT では、資産の現在の価格がモデルによって予測された価格と異なる場合、その資産は誤った価格設定になっています。現在の資産価格は、 APT レートで割り引かれたすべての将来のキャッシュフローの合計に等しくなります。ここで、資産の期待収益はさまざまな要因の線形関数であり、各要因の変化に対する感度は要因固有のベータ係数によって表されます。

ここで適正価格の資産は、実際には合成資産、つまり適正価格の資産で構成されるポートフォリオである可能性があります。このポートフォリオは、各マクロ経済要因に対して、適正価格の資産と同じエクスポージャーを持ちます。裁定取引業者は、適正価格の資産をn個 (リスク要因ごとに 1 つ、プラス 1 つ) 特定し、次に要因ごとのポートフォリオ ベータが適正価格の資産と同じになるように資産に重み付けしてポートフォリオを作成します。

投資家が資産をロングし、ポートフォリオをショートしている場合（またはその逆）、期待収益（資産収益とポートフォリオ収益の差）がプラスで、マクロ経済要因に対する純エクスポージャーがゼロであるため、リスクフリー（企業固有のリスクを除く）のポジションが構築されます。したがって、裁定取引業者はリスクフリーの利益を上げることができます。

APT は、資本資産価格モデル(CAPM)とともに、資産価格に関する 2 つの影響力のある理論の 1 つです。APT は、CAPM と異なり、その仮定条件の制約が少なく、より幅広い用途で使用できる柔軟性を備えています。したがって、APT は、期待される資産収益率について (統計的ではなく) 大きな説明力を持っています。APT では、各投資家が、同一の「市場ポートフォリオ」ではなく、独自のベータ配列を持つ独自のポートフォリオを保有すると想定しています。ある意味では、CAPM は、証券市場ラインが資産価格の単一要因モデルを表し、ベータが市場価値の変化に左右されるという点で、APT の「特別なケース」と見なすことができます。

基本的に、CAPMは、経済のすべての要因が市場ポートフォリオによって表される1つの要因に調整できるという前提に基づいて導き出されており、したがって、それらのすべてが資産の収益に対して同等の重みを持つことを意味します。対照的に、APTモデルは、各株式がさまざまなマクロ経済要因に独自に反応することを示唆しており、したがってそれぞれの影響を個別に考慮する必要があります。^[2]

APTの欠点は、モデルで使用する要素の選択と数が曖昧であることです。ほとんどの学者は、収益をモデル化するために3〜5つの要素を使用していますが、選択された要素は経験的に堅牢ではありません。多くの場合、CAPMは、期待収益を推定するモデルとして、より高度なAPTよりも経験的に優れています。^[5]

さらに、APT はベータ係数が経済要因に対する原資産の感度を反映するため、「供給側」モデルとみなすことができます。したがって、要因ショックは、資産の期待収益、または株式の場合は企業の収益性に構造的な変化を引き起こします。

一方、資本資産価格モデルは「需要側」モデルと見なされます。その結果は、APT の結果と似ていますが、各投資家の効用関数の最大化問題と、その結果生じる市場均衡から生じます (投資家は資産の「消費者」と見なされます)。

CAPM と同様に、要因固有のベータは、問題の要因に対する過去の証券収益の線形回帰によって求められます。ただし、CAPM とは異なり、APT 自体は価格設定された要因の正体を明らかにしません。これらの要因の数と性質は、時間の経過とともに、また経済間で変化する可能性があります。結果として、この問題は本質的に経験的な性質です。ただし、潜在的な要因に求められる特性に関する いくつかの事前ガイドラインが提案されています。

1. 資産価格への影響は予想外の動きとして現れ、各期間の初めには市場にとって完全に予測不可能である^[2]
2. これらは、期待収益に対する分散不可能な影響（明らかに、企業固有のものではなくマクロ経済的なものである可能性が高い）を表しているはずであり、したがって、非ゼロ価格で定量化可能でなければならない^[2]
3. これらの変数に関するタイムリーで正確な情報が必要である
4. この関係は経済的根拠に基づいて理論的に正当化できるはずである

チェン、ロール、ロスは、証券収益を説明する上で重要なマクロ経済要因として以下の点を特定した。^[6]

• インフレの予想外の出来事;
• 工業生産指数が示すGNPの予想外の結果。
• 社債のデフォルトプレミアムの変化による投資家信頼の驚き。
• 利回り曲線の意外な変化。

実務上、低頻度 (たとえば月次) で報告され、推定誤差がかなり大きいマクロ経済要因の代わりに、指数やスポット市場価格、先物市場価格が使用されることがあります。市場指数は、因子分析によって導き出されることもあります。より直接的な「指数」として、次のようなものが使用されることがあります。

• 短期金利;
• 長期金利と短期金利の差。
• S&P 500やNYSE Compositeなどの多様な株価指数。
• 石油価格
• 金やその他の貴金属の価格
• 為替レート

国際裁定価格理論（IAPT）は、為替リスクなどの要因をさらに考慮した裁定価格理論の基本的な考え方の重要な拡張です。1983年にブルーノ・ソルニクは、国際為替レートに関連するリスクを含めるように元の裁定価格理論を拡張し、多通貨取引を行う国際市場に適用できるモデルを作成しました。ソルニクは、すべての国際資産に共通するいくつかの要因がある可能性があり、逆に、国籍に基づいて特定の市場に適用できる他の共通要因がある可能性があると示唆しました。^[7]

ファマとフレンチは1995年に3因子モデルを最初に提案しました。これは、ソルニックの上記の示唆と一致して、統合された国際市場では共通の要因セットが発生する可能性があることを示唆しており、したがって、彼らのモデルを使用してすべての統合市場の資産の価格設定が可能になります。ファマとフレンチの3因子モデルは、市場リスク、規模、価値に基づいて株式の収益を説明しようとしています。^[8]

2012 年の論文は、ソルニクの IAPT モデルと、基準通貨の変動が資産のリスク プレミアムに直接的かつ理解可能な影響を及ぼすという示唆を実証的に調査することを目的としていました。これは、個々の投資家のリターンを通貨と非通貨 (ユニバーサル) リターンに分類したリターン関係を生成することによってテストされました。この論文では、ファマとフレンチの 3 因子モデル (上記で説明) を使用して、共通要因に対する国際通貨の影響を推定しました。国際市場における総外国為替リスクは、即時の為替レート リスクと残余市場要因で構成されていると結論付けられました。これは、実証データ テストとともに、外国為替の変動がリスク プレミアムと APT モデルに含まれる要因負荷に直接影響を及ぼすという考えを検証し、IAPT モデルの妥当性を確認しています。^[9]

• ベータ係数
• 資本資産価格モデル
• カーハート4因子モデル
• 資本コスト
• 収益反応係数
• 効率的市場仮説
• ファーマ・フレンチ3因子モデル
• 裁定取引のない価格設定の基本定理
• 投資理論
• 現代ポートフォリオ理論
• ポストモダンポートフォリオ理論
• 合理的な価格設定
• リスク要因（金融）
• ロールの批評
• バリュー投資

• Burmeister, Edwin; Wall, Kent D. (1986). 「裁定価格理論とマクロ経済要因測定」. Financial Review . 21 (1): 1–20. doi :10.1111/j.1540-6288.1986.tb01103.x.
• Chen, NF; Ingersoll, E. (1983). 「有限資産の線形因子モデルにおける正確な価格設定: 注釈」Journal of Finance . 38 (3): 985–988. doi :10.2307/2328092. JSTOR  2328092.
• ロール、リチャード、ロス、スティーブン (1980) 。 「裁定価格理論の実証的研究」。ジャーナル・オブ・ファイナンス。35 ( 5): 1073–1103。doi :10.2307/2327087。JSTOR  2327087。

• 裁定価格理論 ウィリアム・N・ゴーツマン教授、イェール大学経営大学院
• 戦略的ポートフォリオ計画への裁定価格理論アプローチ ( PDF )、リチャード・ロールとスティーブン・A・ロス
• APT、ミシガン大学ビジネススクールのタイラー・シャムウェイ教授
• 裁定価格理論南アフリカ投資アナリスト協会
• 裁定価格理論に関する参考文献、ロバート A. コライチク教授、ケロッグ経営大学院
• 第 12 章: 裁定価格理論 (APT)、マサチューセッツ工科大学のJiang Wang 教授。