二項オプション価格モデル

金融において、二項オプション価格モデルは、オプションを評価するための格子ベースの数値的手法です。これは、原資産の可能な価格を離散時間二項ツリー上に表現し、後方帰納法によってオプションを評価します。権利行使の決定は個々のノードで評価できるため、この手法はアメリカンオプションやバミューダオプションに特に有用です。^[¹^]^[²^]

ウィリアム・F・シャープは、 1978年版の『インベストメンツ』で二項オプション価格決定手順を発表した。^{[ 3 ]}ジョン・コックス、スティーブン・ロス、マーク・ルービンスタインは1979年に広く使われている定式化を発表し、リチャード・レンドルマン・ジュニアとブリット・バーターは同年、別の2状態定式化を発表した。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

固定利付証券および金利デリバティブに適用される二項ツリーについては、格子モデル（金融）§ 金利デリバティブを参照してください。

モデルの使用

二項オプション価格モデル（BOPM）は、他のモデルでは容易に適用できない様々な条件に対応できるため、広く利用されています。これは主に、BOPMが単一時点ではなく、一定期間にわたる原資産の記述に基づいているためです。そのため、特定の期間内の任意の時点で行使可能なアメリカンオプションや、特定の時点で行使可能なバミューダオプションの評価に用いられます。比較的単純なモデルであるため、スプレッドシートを含むコンピュータソフトウェアで容易に実装できます。

ブラック・ショールズ式に比べて計算の複雑さや計算速度は劣るものの、特に配当金支払いを伴う長期オプションにおいては、より正確な結果が得られます。こうした理由から、二項モデルの様々なバージョンがオプション市場の実務者によって広く利用されています。

複数の不確実性要因を持つオプション（例：リアルオプション）や、複雑な特徴を持つオプション（例：アジアンオプション）の場合、二項分布法はいくつかの困難から実用的ではない可能性があり、代わりにモンテカルロオプションモデルが一般的に使用されます。また、二項分布法は離散的な時間単位を使用するため、モンテカルロシミュレーションはサンプリング誤差の影響を受けにくいという利点もあります。この傾向は、離散的な時間単位が小さくなるほど顕著になります。

非組換え二項木では、反対方向に移動するパスは合流せず、価格変動の各シーケンスに対して一意のノードが生成されます。この場合、BOPMの最悪実行時間はO(2 ⁿ )となります。ここでnはシミュレーションの時間ステップ数です。モンテカルロシミュレーションは一般的に多項式時間計算量を持ち、シミュレーションステップ数が多い場合は高速ですが、時間ステップ数が少ない場合はBOPMよりも計算負荷が高くなります（金融におけるモンテカルロ法を参照）。ただし、標準的な組換え木では、下降移動の後に上昇移動が起こると、上昇移動の後に下降移動が起こる場合と同じノードに到達します。したがって、 $Nステップ木では$ $(N+1)(N+2)/2$ 異なるノードであるため、単純な後方帰納法の計算複雑度は指数関数的ではなく二次関数的である。^{[ 4 ]}

方法

二項価格モデルは、オプションの主要な原資産変数の推移を離散時間で追跡します。これは、評価日から満期日までの複数の時間ステップにおける二項格子（ツリー）を用いて行われます。格子の各ノードは、特定の時点における原資産の可能な価格を表します。

評価は反復的に行われ、最終ノード（満期時に到達する可能性のあるノード）から開始し、ツリーを逆方向にたどって最初のノード（評価日）に戻ります。各段階で計算された値は、その時点でのオプションの価値となります。

この方法を用いたオプション評価は、前述のとおり、3つのステップからなるプロセスです。

価格ツリー生成、
各最終ノードにおけるオプション値の計算、
各先行ノードにおけるオプション値の逐次計算。

ステップ1：二項価格ツリーを作成する

価格ツリーは、評価日から満期日までを順に計算することで作成されます。

各ステップでは、原資産が特定の係数で上昇または下降すると想定されます（ $u$ または $d$ ）ツリーの各ステップごとに（定義により、 $u\geq 1$ そして $0<d\leq 1$ )したがって、 $S$ これが現在の価格である場合、次の期間の価格は次のようになります。 $S_{up}=S\cdot u$ または $S_{down}=S\cdot d$ 。

上昇要因と下降要因は、基礎となる（固定）ボラティリティを使用して計算されます。 $\sigma$ 、そしてステップの時間継続時間、 $t$ （原資産の日数計算規則を用いて）年単位で測定。価格の対数の分散が $\sigma ^{2}t$ 、我々は持っています：

u=e^{\sigma {\sqrt {\Delta t}}}

d=e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t}}}={\frac {1}{u}}.

上記はオリジナルのCox、Ross、Rubinstein（CRR）法です。格子を生成するための他のさまざまな手法があり、「等確率」ツリーなどがあります。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

CRR方式では、ツリーが組み換え性を持つことが保証されます。つまり、原資産価格が上昇してから下降した場合（u,d）、価格は下降してから上昇した場合（d,u）と同じになります。この場合、2つの経路が合流または組み換えられます。この特性によりツリーのノード数が削減され、オプション価格の計算が高速化されます。

このプロパティを使用すると、各ノードにおける基となる資産の値を数式で直接計算でき、ツリーを事前に構築する必要はありません。ノードの値は次のようになります。

S_{n}=S_{0}\times u^{N_{u}-N_{d}},

どこ $N_{u}$ は上昇ティックの数であり、 $N_{d}$ これは下降ティックの数です。

ステップ2：各最終ノードでオプション値を見つける

ツリーの各最終ノード、つまりオプションの満期時点では、オプションの価値は単純にその本質的価値、つまり権利行使価値になります。

コールオプションの場合、

Max

[ (

S

n

-

K

), 0 ]

プットオプションの場合、

最大[(

K

-

Sn

)

,0]

、

ここで、 $K$ はストライク価格であり、 $S_{n}$ $は、 n$ ^番目の期間における原資産のスポット価格です。

ステップ3：以前のノードでオプション値を見つける

上記の手順が完了すると、最後から2番目の時点から始めて、ツリーの最初のノード（評価日）まで遡って、各ノードのオプション値が求められます。計算結果がオプション値となります。

概要：各ノードにおいて、リスク中立性の仮定を用いて「二項値」が算出されます（リスク中立評価を参照）。ノードで権利行使が許可されている場合、モデルはノードにおける二項値と権利行使値のうち大きい方を採用します。

手順は以下のとおりです。

リスク中立性の仮定の下では、デリバティブの今日の公正価格は、将来のペイオフの期待値をリスクフリーレートで割り引いた値に等しくなります。したがって、期待値は、後の2つのノード（オプションアップとオプションダウン）のオプション値を、それぞれの（固定）確率（原資産価格の上昇確率pと下落確率（1−p））で重み付けして計算されます。その後、期待値は、オプションの存続期間に対応するリスクフリーレートrで割り引かれます。
期待値を計算するための以下の式が各ノードに適用されます。
${\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)$ 、または
$C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,$
どこ
$C_{t,i}\,$ オプションの値は $i^{th}\,$ 時刻 $t$ におけるノード、
$p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}$ は、関連する二項分布がパラメータrとσを持つ原資産の幾何ブラウン運動をシミュレートするように選択されます。
$qは、オプションの存続期間に対応する原資産の$ 配当利回りです。したがって、リスク中立の世界では、先物価格の期待成長率はゼロであるはずであり、したがって、 $q=r$ 先物取引向け。
$p$ が区間内にあるためには、 $(0,1)$ 以下の条件 $\Delta t$ 満足しなければならない $\Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}$ 。
（なお、代替的な評価手法である無裁定価格設定でも、同一の結果が得られます。「デルタヘッジ」を参照してください。）
この結果は「二項値」と呼ばれます。これは、原資産価格のその時点までの推移を踏まえた、特定の時点（つまり各ノード）におけるデリバティブの適正価格を表します。つまり、その時点でオプションを行使するのではなく、保有した場合のオプションの価値です。
オプションのスタイルに応じて、各ノードで早期行使の可能性を評価します。(1)オプションを行使できる場合、かつ(2)行使値が二項値を超える場合、(3)ノードの値は行使値となります。
- ヨーロピアンオプションの場合、早期行使のオプションはなく、すべてのノードで二項値が適用されます。
- アメリカンオプションの場合、オプションは満期前に保有することも行使することもできるため、各ノードでの値は次のようになります。Max (二項値、行使値)。
- バミューダオプションの場合、早期行使が許可されているノードでは、値は「Max (二項値、行使値)」となります。早期行使が許可されていないノードでは、二項値のみが適用されます。

次の時間ステップで計算される値（つまり、評価に一歩近づいた値）を計算する際、モデルは、ノードの式で、ここで選択された値を「オプションアップ」/「オプションダウン」に応じて適切に使用する必要があります。このアルゴリズムは、アメリカン・プット・オプションの価格を計算するアプローチを示していますが、コール・オプションやヨーロピアン・オプション、バミューダ・オプションにも容易に一般化できます。特にヨーロピアン・オプションについては、一般的な二項格子評価モデルは単一の超幾何閉形式表現では表せないことが示されています。^{[ 7 ]}

ブラック・ショールズとの関係

二項モデルとブラック・ショールズ・マートンモデルは、いずれも同様の仮定に基づいている。一定の金利、配当利回り、ボラティリティを持つコックス・ロス・ルービンシュタイン仕様の下では、二項ツリーはブラック・ショールズ・マートンモデルで使用される幾何ブラウン運動の離散時間近似である。二項モデルは、価格の変動が二項分布に従うと仮定している。時間ステップ数が増加するにつれて、原資産価格の対数の分布は正規分布に近づき、原資産価格は対数正規分布に近づく。したがって、二項モデルで計算されたヨーロピアンオプションの値は、ブラック・ショールズ・マートン値に収束する。^[⁵^]^[⁶^]

収束は単調である必要はありません。計算された価格は時間ステップ数の変化に応じて振動する可能性があり、収束速度は選択されたツリーの仕様と実装に依存します。^{[ 5 ]}

数値的手順として見ると、CRR法はブラック・ショールズ偏微分方程式の明示的有限差分法の特殊なケースとして解釈することもできます。オプション価格設定のための有限差分法を参照してください。^[⁸^]

参考文献

1 2 Cox, John C. ; Ross, Stephen A. ; Rubinstein, Mark (1979). "オプション価格設定: 簡略化されたアプローチ". Journal of Financial Economics . 7 (3): 229– 263. doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 .
1 2 Rendleman, Richard J. Jr.; Bartter, Brit J. (1979 年 12 月). "2 状態オプション価格設定". The Journal of Finance . 34 (5): 1093– 1110. doi : 10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x . JSTOR 2327237 .
↑シャープ、ウィリアム F. 「略歴」。NobelPrize.org 。ノーベル賞アウトリーチ。 2026年7月24日取得。
↑ゲルベシオティス、アレクサンドロス V. (2004)。「アーキテクチャに依存しない並列二項ツリーのオプション価格評価」。並列コンピューティング。30 (2): 301–316。土井: 10.1016/j.parco.2003.09.003。
1 2 3 Joshi, Mark S. (2009). 「アメリカン・プットの価格設定における二項ツリーの収束」The Journal of Risk . 11 (4): 87– 108. doi : 10.21314/JOR.2009.197 .
1 2 Chance, Don M. (2008). "対数正規分布資産の二項オプション価格モデルの統合". Journal of Applied Finance . 18 (1): 38– 56. SSRN 969834 .
↑ Georgiadis, Evangelos (2011). "二項オプション価格決定には閉形式解がない". Algorithmic Finance . 1 (1). IOS Press: 11– 18. doi : 10.3233/AF-2011-003 .
↑ Rubinstein, Mark (2000). "二項式および三項式オプション価格モデルの関係について". The Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50 . doi : 10.3905/jod.2000.319149 .

外部リンク

オプション価格設定のための二項モデル、セイヤー・ワトキンス教授
二項オプション価格設定（PDF）、ロバート・M・コンロイ教授
フィオナ・マクラクランによる二項オプション価格モデル、ウルフラム・デモンストレーションズ・プロジェクト
二項モデルにおけるオプション価格設定における予想株式収益率の無関係性について：ヴァレリ・ザカムーリンによる教育的考察
グレッグ・オロシによる二項オプション価格モデルにおけるリスク中立確率の簡単な導出

[CRR1979-1] 1 2 Cox, John C. ; Ross, Stephen A. ; Rubinstein, Mark (1979). "オプション価格設定: 簡略化されたアプローチ". Journal of Financial Economics . 7 (3): 229– 263. doi : 10.1016/0304-405X(79)90015-1 .

[RendlemanBartter1979-2] 1 2 Rendleman, Richard J. Jr.; Bartter, Brit J. (1979 年 12 月). "2 状態オプション価格設定". The Journal of Finance . 34 (5): 1093– 1110. doi : 10.1111/j.1540-6261.1979.tb00058.x . JSTOR 2327237 .

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二項オプション価格モデル

モデルの使用

方法

ステップ1：二項価格ツリーを作成する

ステップ2：各最終ノードでオプション値を見つける

ステップ3：以前のノードでオプション値を見つける

ブラック・ショールズとの関係

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