単一インデックスモデル

シングルインデックスモデル (SIM) は、株式のリスクとリターンの両方を測定するためのシンプルな資産価格モデルです。このモデルは 1963 年にウィリアム シャープによって開発され、金融業界で広く使用されています。数学的には、SIM は次のように表現されます。

${\displaystyle r_{it}-r_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}(r_{mt}-r_{f})+\epsilon _{it}\,}$

${\displaystyle \epsilon _{it}\sim N(0,\sigma _{i}^{2})\,}$

どこ：

r期間tにおける在庫iの収益で_ある

r _{f は}リスクフリーレート（つまり国債の金利）です。

r _mtは期間tにおける市場ポートフォリオの収益率である。

${\displaystyle \alpha_{i}}$株のアルファ、つまり異常なリターンである

${\displaystyle \beta_{i}}$株式のベータ、つまり市場リターンに対する反応性である

株式の超過収益、市場の超過収益と呼ばれることに注意してください${\displaystyle r_{it}-r_{f}}$${\displaystyle r_{mt}-r_{f}}$

${\displaystyle \epsilon _{it}}$残差（ランダム）リターンは、平均ゼロ、標準偏差が${\displaystyle \sigma_{i}}$

これらの方程式は、株式の収益が市場の影響を受け (ベータ)、企業固有の期待値 (アルファ) と企業固有の予想外の要素 (残差) を持つことを示しています。各株式のパフォーマンスは、市場指数 ( All Ordinariesなど) のパフォーマンスと関連しています。証券アナリストは、株式ベータの計算、株式選択スキルの評価、イベント スタディの実施などの機能に SIM を使用することがよくあります。

分析を簡素化するために、単一インデックス モデルでは、すべての株式収益に影響を及ぼす体系的リスクを引き起こすマクロ経済要因は1 つだけであり、この要因はS&P 500などの市場インデックスの収益率で表すことができるものと想定します。

このモデルによれば、あらゆる株式のリターンは、一般的にアルファ係数 (α) で表される企業固有の要因による個々の株式の期待超過リターン、市場に影響を与えるマクロ経済イベントによるリターン、および企業のみに影響を与える予期しないミクロ経済イベントによるリターンに分解できます。

この用語は株式のベータによって修正された市場の動きを表し、 は企業固有の要因による証券の非体系的リスクを表します。金利や人件費の変化などのマクロ経済イベントは、すべての株式の収益に影響を与える体系的リスクを引き起こします。一方、企業固有のイベントは、主要人物の死亡や企業の信用格付けの低下など、特定の企業の収益に影響を与える予期しないミクロ経済イベントであり、企業には影響しますが、経済への影響は無視できます。ポートフォリオでは、企業固有の要因による非体系的リスクは、分散化によってゼロに減らすことができます。 ${\displaystyle \beta _{i}(r_{m}-r_{f})}$${\displaystyle \epsilon_{i}}$

インデックス モデルは次のものに基づいています。

• ほとんどの株式はマクロ経済要因に対して同様に反応するため、正の共分散を示します。
• ただし、一部の企業は他の企業よりもこれらの要因に敏感であり、この企業固有の分散は通常、1 つ以上の経済要因について市場と比較した分散を測定するベータ (β) で表されます。
• 証券間の共分散は、マクロ経済要因に対する異なる反応から生じます。したがって、各株式の共分散は、ベータと市場分散を掛け合わせることで求められます。

単一インデックス モデルでは、市場リターンを差し引くと残りのリターンは相関がないと想定されます。

${\displaystyle E((R_{i,t}-\beta _{i}m_{t})(R_{k,t}-\beta _{k}m_{t}))=0,}$

これにより

${\displaystyle Cov(R_{i},R_{k})=\beta _{i}\beta _{k}\sigma ^{2}.}$

これは実際には正しくありませんが、シンプルなモデルを提供します。より詳細なモデルには複数のリスク要因が含まれます。これにはより多くの計算が必要になりますが、それでもポートフォリオ内の各証券ペアの共分散を計算するよりは少なくて済みます。この方程式では、共分散を計算するために個々の証券のベータと市場分散のみを推定する必要があります。したがって、インデックス モデルは、数千の証券の大規模なポートフォリオをモデル化するために実行する必要がある計算の数を大幅に削減します。

• 資本資産価格モデル
• 多因子モデル

• Sharpe, William F. (1963). 「ポートフォリオ分析のための簡略モデル」. Management Science . 9 (2): 277–93. doi :10.1287/mnsc.9.2.277. S2CID  55778045.
• P. Diksha. 「ポートフォリオ管理のシャープ理論」。経済学の議論。
• Yip, Henry (2005)。スプレッドシートの証券評価と投資理論への応用。John Wiley and Sons Australia Ltd. ISBN 0470807962。