マーチンゲール価格設定

マルチンゲール価格設定は、マルチンゲールとリスク中立性の概念に基づいた価格設定手法です。マルチンゲール価格設定手法は、現代の定量金融の基礎となるものであり、オプション、先物、金利デリバティブ、クレジットデリバティブなど、さまざまなデリバティブ契約に適用できます。

価格設定に対する偏微分方程式アプローチとは対照的に、マルチンゲール価格設定式は期待値の形で表され、モンテカルロ法を用いて効率的に数値的に解くことができます。そのため、マルチンゲール価格設定は、オプションのバスケットのような高次元契約を評価する際に好まれます。一方、アメリカン型契約の評価は厄介で、問題を離散化（バミューダ型オプションのようにする）する必要があり、2001年にFA LongstaffとES Schwartzがアメリカンオプションの価格設定のための実用的なモンテカルロ法を開発しました。^{[ 1 ]}

市場の状態はフィルタリングされた確率空間で表せると仮定します。${\displaystyle (\Omega ,({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},{\tilde {\mathbb {P} }})}$。 させて${\displaystyle \{S(t)\}_{t\in [0,T]}}$この空間上で確率的な価格プロセスとなる。デリバティブ証券の価格を設定する場合、${\displaystyle V(t,S(t))}$裁定取引なしの哲学の下で、

${\displaystyle D(t)V(t,S(t))={\tilde {\mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{\mathcal {F}}_{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt}$

どこ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$はリスク中立的な尺度です。

${\displaystyle (r(t))_{t\in [0,T]}}$は$\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$測定可能な（リスクフリーで、確率的な場合もある）金利プロセス。

これは、導関数の時間のほぼ確実な複製によって実現される。${\displaystyle T}$原資産証券とリスクフリーマネーマーケット（MMA）のみを使用したペイオフ。これらの原資産の価格は観測可能で既知である。具体的には、ポートフォリオプロセスを構築する。${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,T]}}$連続時間の中で、彼は${\displaystyle \Delta (t)}$各時点における原株の株式数${\displaystyle t}$、 そして${\displaystyle X(t)-\Delta (t)S(t)}$現金でリスクフリーレートを獲得${\displaystyle r(t)}$ポートフォリオは確率微分方程式に従う。

${\displaystyle dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

次に、まず計算することによってギルサノフの定理を適用しようと試みる。${\displaystyle {\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}$すなわち、観測された市場確率分布に関するラドン・ニコディム微分である。これにより、割引複製ポートフォリオプロセスがリスク中立条件下でマルチンゲールとなることが保証される。

このようなプロセス${\displaystyle \Delta (t)}$明確に定義され構築され、次に選択する${\displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$結果として${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$これは、${\displaystyle \mathbb {P} }$ほぼ間違いなく同じでしょう。なぜなら、この2つの指標は同等だからです。

• 金融市場のブラウン運動モデル
• マルチンゲール法（確率論）