ヌメレール

ニュメレール（またはニュメレール）は、価値を計算するための基本的な基準です。数理経済学では、ニュメレールは取引可能な経済実体であり、その価格で他のすべての取引可能なものの相対価格が表現されます。貨幣経済では、お金の機能の 1 つはニュメレールとして機能することです。つまり、計算単位として機能し、さまざまな商品やサービスの価値を測定できる共通のベンチマークを提供します。

貨幣であれ消費財であれ、ニュメレールを使用すると、一般均衡理論のように相対価格のみが関係する場合に価値の比較が容易になります。経済分析で特定の財をニュメレールと呼ぶ場合、他のすべての価格はその財の価格によって標準化されるといいます。たとえば、財gの単位がニュメレールの単位の 2 倍の市場価値を持つ場合、gの (相対) 価格は 2 です。ニュメレールの 1 単位の相対的な価値は 1 であるため、ニュメレールの価格は常に 1 です。

証券取引が行われる金融市場では、資産の価格設定にヌメレールを使用することができます。たとえば、時刻0に金融市場に投資された $1 の時刻tにおける価格を とします。資産価格設定の基本定理によれば、ヌメレール (この場合はM )で価格設定されたすべての資産は、リスク中立の尺度、たとえばに関してマルチンゲールです。つまり、 ${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]}$

さて、これが別の厳密に正の取引資産（つまりマネーマーケットで価格設定されたマルチンゲール）であると仮定します。すると、ラドン・ニコディム導関数によって新しい確率尺度を定義することができます。${\displaystyle N(t)>0}$${\displaystyle Q^{N}}$

${\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}={\frac {N(T)}{M(T)}}}$

そして、新しいニューメレール で価格設定されたとき、 が の下にあるマルチンゲールであることが示されます。 ${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle Q^{N}}$${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\\&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{aligned}}}$

この手法は、 LIBORやスワップ市場モデル、商品市場など、多くの重要な用途に使用されています。Jamshidian (1989)は、債券オプション価格を計算するために、金利のVasicek モデルのコンテキストで初めてこの手法を使用しました。Geman、El Karoui、および Rochet (1995) は、ニューメレール変更手法の一般的な形式フレームワークを導入しました。たとえば、ニューメレール変更ツールキットについては、 BrigoおよびMercurio (2001) ^[1]を参照してください。

適切なニューメレールの決定は、オプションや特定の資産などのいくつかの金融価格設定モデルに基づいています。リスク資産をニューメレールとして特定することは、モデル化する基礎資産の数と相関関係があります。基礎となるシフトは、次のようにモデル化されます。

${\displaystyle Z_{i}:={\frac {X_{i}}{X_{0}}}}$

${\displaystyle X=(X_{0},X_{1},...,X_{n})\to Z=(1,Z_{1},...,Z_{n})}$

ここで、1 は数値を定義します。

• 前進策
• 物価指数
• 計算単位

• Farshid Jamshidian (1989)。「債券オプションの正確な価格決定式」。The Journal of Finance。44 : 205–209。doi : 10.1111/ j.1540-6261.1989.tb02413.x。
• Helyette Geman ; Nicole El Karoui ; JC Rochet (1995). 「ニューメレールの変化、確率尺度の変化、オプション価格設定」。応用確率ジャーナル。32 (2): 443–458。doi :10.2307/3215299。JSTOR  3215299。S2CID 124199920  。
• ダミアーノ・ブリゴ、ファビオ・メルクリオ（2006）[2001]。金利モデル - 理論と実践、スマイル、インフレーション、クレジット（第2版）。シュプリンガー・ヴェルラグ。ISBN 978-3-540-22149-4。
• アリンガム、マイケル (2008)。「Numeraire」。新パルグレイブ経済学辞典。パルグレイブ・マクミラン。pp. 1–2。doi : 10.1057/ 978-1-349-95121-5_1514-2。ISBN 978-1-349-95121-5。