ポートフォリオ最適化

ポートフォリオ最適化とは、何らかの目的に従って、検討対象のポートフォリオのセットから最適なポートフォリオ（資産配分）を選択するプロセスです。目的は通常、期待収益などの要素を最大化し、財務リスクなどのコストを最小化することであり、結果として多目的最適化問題となります。検討対象となる要素は、有形（資産、負債、収益、その他のファンダメンタルズなど）から無形（選択的投資撤退など）まで多岐にわたります。

現代ポートフォリオ理論は、1952年にハリー・マーコウィッツによって博士論文として発表され、そこでマーコウィッツ・モデルが初めて定義されました。^{[1] [2]}このモデルでは、投資家は所定のリスクを条件としてポートフォリオの期待収益を最大化することを目指していると想定されています。この基準を満たす、つまり所定のリスクを与えられた状態で期待収益を最大化するポートフォリオは、効率的ポートフォリオと呼ばれます。定義により、より高い期待収益を生み出す他のポートフォリオは、過剰なリスクも持っている必要があります。この結果、望ましい期待収益と許容できるリスクの間にトレードオフが生じます。効率的ポートフォリオのこのリスクと期待収益の関係は、効率的フロンティアと呼ばれる曲線でグラフ化されます。効率的ポートフォリオは、それぞれが効率的フロンティア上の点として表され、十分に分散されています。リターンのより高いモーメントを無視すると、特にボラティリティが高い場合にリスクの高い証券への過剰投資につながる可能性がありますが、^{[3]リターン}分布が非ガウス分布である場合のポートフォリオの最適化は数学的に困難です。^[4]

ポートフォリオ最適化問題は、制約付き効用最大化問題として規定されます。ポートフォリオ効用関数の一般的な定式化では、ポートフォリオの期待収益 (取引および資金調達コストを差し引いたもの) からリスク コストを差し引いたものとして定義されます。後者の要素であるリスク コストは、ポートフォリオ リスクにリスク回避パラメータ (またはリスクの単価) を乗じたものとして定義されます。ガウス分布の収益分布の場合、これは収益の特定の分位数を最大化することと同等であり、対応する確率はリスク回避パラメータによって決定されます。実務家は、分散を改善し、リスクをさらに制限するために、追加の制約を追加することがよくあります。このような制約の例には、資産、セクター、および地域のポートフォリオ ウェイト制限があります。

ポートフォリオの最適化は、多くの場合、保有する資産クラスのウェイトの最適化と、同じ資産クラス内の資産のウェイトの最適化という 2 段階で行われます。前者の例としては、株式と債券の比率を選択することが挙げられ、後者の例としては、株式サブポートフォリオのうち株式 X、Y、Z に配分される比率を選択することが挙げられます。株式と債券は、根本的に異なる財務特性を持ち、異なる体系的リスクを持つため、別々の資産クラスと見なすことができます。各クラスでポートフォリオの一部を保有すると、ある程度の分散化が実現し、各クラス内でさまざまな特定の資産を保有すると、さらに分散化が実現します。このような 2 段階の手順を使用することで、個々の資産レベルと資産クラス レベルの両方で非体系的リスクを排除できます。効率的なポートフォリオの具体的な公式については、^[5]平均分散分析におけるポートフォリオの分離を参照してください。

ポートフォリオ最適化の 1 つのアプローチは、最終的なポートフォリオ資産に対して定義されるフォン ノイマン-モルゲンシュテルンの効用関数を指定することです。効用の期待値は最大化されます。低い収益よりも高い収益の選好を反映するために、この目的関数は資産の増加に比例し、リスク回避を反映するために凹型になります。保有可能な資産が多数ある場合の現実的な効用関数の場合、このアプローチは理論的には最も妥当ですが、計算量が多くなる可能性があります。

ハリー・マーコウィッツ^{[6]は、追加の線形制約と保有資産の上限と下限を処理できる}二次計画法の一般的な手順である「臨界線法」を開発した。さらに、この文脈では、このアプローチは効率的なポートフォリオの全体セットを決定する方法を提供する。ここでのその応用は、後にウィリアム・シャープによって説明された。^[7]

多くの資産にわたるポートフォリオの最適化は複雑で規模が大きいため、通常はコンピューターで作業します。この最適化の中心となるのは、ポートフォリオ内の資産の収益率の 共分散行列の構築です。

テクニックには以下が含まれます:

• 線形計画法^{[8] [9]}
• 二次計画法
• 非線形計画法
• 混合整数計画法
• メタヒューリスティック手法^[10]
• 多段階ポートフォリオ最適化のための確率的計画法^[11]
• コピュラベースの方法^[12]
• 主成分ベースの方法
• 決定論的グローバル最適化
• 遺伝的アルゴリズム^[13]

ポートフォリオの最適化は通常、規制上の制約や流動性の欠如などの制約の下で行われます。これらの制約により、ポートフォリオ内の資産の小さなサブサンプルに重点を置いたポートフォリオのウェイト付けが行われる可能性があります。ポートフォリオの最適化プロセスが税金、取引コスト、管理手数料などの他の制約の影響を受ける場合、最適化プロセスの結果、分散が不十分なポートフォリオになる可能性があります。^[14]

投資家は、法律により一部の資産を保有することが禁じられている場合があります。場合によっては、制約のないポートフォリオ最適化により、一部の資産の空売りが行われることがあります。ただし、空売りは禁止される場合があります。場合によっては、関連する税コストが高すぎるため、資産を保有することが非現実的です。そのような場合、最適化プロセスに適切な制約を課す必要があります。

取引コストは、ポートフォリオのウェイトを変更する取引コストです。最適なポートフォリオは時間とともに変化するため、頻繁に再最適化するインセンティブがあります。ただし、取引が頻繁すぎると、取引コストも頻繁に発生します。したがって、最適な戦略は、取引コストの回避と古いポートフォリオ比率セットの維持の回避を適切にトレードオフする再最適化と取引の頻度を見つけることです。これは、再バランス調整を行わない場合、株式比率が時間の経過とともにベンチマークから逸脱する トラッキング エラーのトピックに関連しています。

集中リスクとは、不利な事象が発生したときにポートフォリオ全体に重大な損失をもたらすほどの大きな単一のポジションまたはセクターへのエクスポージャーを保有することによって生じるリスクを指します。ポートフォリオが集中リスクに関する制約なしに最適化されている場合、最適なポートフォリオは任意のリスク資産ポートフォリオになる可能性があり、したがって、単一の資産のみに投資するポートフォリオになることを妨げるものは何もありません。集中リスクの管理は、包括的なリスク管理フレームワークの一部である必要があり^[15]、そのようなリスクの軽減を実現するために、最適ポートフォリオの単一のコンポーネントに割り当てることができる重みに上限を強制する制約を追加することが可能です。

ポートフォリオ最適化へのさまざまなアプローチは、リスクをさまざまな方法で測定します。堅牢なリスク測定ではない従来の測定基準、標準偏差、またはその二乗（分散）に加えて、ソルチノ比、CVaR（条件付きリスク値）、統計的分散などの測定基準もあります。

投資は将来を見据えた活動であるため、収益の共分散は観察するのではなく予測する必要があります。

ポートフォリオ最適化では、投資家がリスク回避傾向にあること、株価が過去または予測値と実際の値との間に大きな差を示す可能性があることを前提としています。特に、金融危機は株価変動の相関が大幅に増加するという特徴があり、分散投資のメリットが著しく低下する可能性があります。^[16]

平均分散最適化フレームワークでは、分散共分散行列の正確な推定が最も重要です。ガウスコピュラと適切に指定された周辺分布を使用したモンテカルロシミュレーションを使用する定量的手法が有効です。 ^{[17]モデリングプロセスで、}自己回帰、非対称ボラティリティ、歪度、尖度 などの株式リターンの経験的特性を考慮に入れることが重要です。これらの属性を考慮しないと、相関、分散、共分散に重大な推定誤差が生じ、負のバイアス（真の値の70%程度）が発生する可能性があります。^[18]

投資ポートフォリオにおけるテールリスクの最小化に焦点を当てた他の最適化戦略（例：バリュー・アット・リスク、条件付きバリュー・アット・リスク）は、リスク回避型の投資家の間で人気があります。テールリスクへのエクスポージャーを最小限に抑えるには、大規模な資産ポートフォリオ全体で低い（左）テール依存性（例：クレイトン、回転ガンベル）を許容するブドウコピュラを使用したモンテカルロシミュレーションを使用した資産収益の予測が最も適しています。^[19] （テール） リスクパリティは、資本の配分ではなくリスクの配分に焦点を当てています。

最近では、ヘッジファンドのマネージャーは、ポートフォリオを最適化するためにあらゆる投資家効用関数を使用できる「本格的な最適化」を適用しています。^[20] このような方法論は、リスク選好がテールリスクの削減、投資ポートフォリオのリターン分布における負の歪度とファットテールの最小化を含む現代の投資家にとって、より実用的で適切であると言われています。 ^{[21]このような方法論が高モーメント効用関数の使用を伴う場合、非対称依存性を考慮した}結合分布 の予測を可能にする方法論を使用する必要があります。結合分布に非対称依存性を組み込むことを可能にする適切な方法論は、クレイトン標準ヴァインコピュラです。コピュラ（確率論）§ 定量的ファイナンスを参照してください。

投資家のグループは、個別に投資する代わりに、共同ポートフォリオに全資本を投資し、（不確実な）投資利益を効用/リスクの好みに最も適した方法で分割することを選択する場合があります。少なくとも期待効用モデル^[22]と平均偏差モデル^[23]では、各投資家は通常、個々の投資から、自分の最適ポートフォリオよりも確実に高い価値を持つシェアを獲得できることがわかります。

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