フォワードレート

フォワードレートとは、債券の将来の利回りのことです。これは利回り曲線を用いて計算されます。例えば、6か月後の3か月物米国債の利回りはフォワードレートです。^{[ 1 ]}

先物レートの計算

私たちは将来の金利を見つけようとしています $\displaystyle r_{1,2}}$ 期間 $(t_{1},t_{2})$ 、 $t1$ そして $t2$ 年数で表すと、 $\displaystyle r_1}}$ 期間 $(0,t_{1})$ そして評価する $\displaystyle r_2$ 期間 $(0,t_{2})$ そのためには、債券の無裁定価格から導かれる、利率で投資した収益が $\displaystyle r_1}}$ 期間 $(0,t_{1})$ そしてその収益を再投資する $\displaystyle r_{1,2}}$ 期間 $(t_{1},t_{2})$ 利率で投資した収益に等しい $\displaystyle r_2$ 期間 $(0,t_{2})$ 。

$\displaystyle r_{1,2}}$ 利率の計算方法（単利、年複利、連続複利）によって異なり、3つの異なる結果が得られます。

数式で表すと次のようになります。

単純料金

(1+r_{1}t_{1})(1+r_{1,2}(t_{2}-t_{1}))=1+r_{2}t_{2}

解決する $\displaystyle r_{1,2}}$ 収量：

したがって $r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {1+r_{2}t_{2}}{1+r_{1}t_{1}}}-1\right)$

期間（0, t）の割引率の式 $\displaystyle \Delta _{t}}$ 年数で表され、 $\displaystyle r_t$ この期間については $DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t}\,\Delta _{t})}}$ フォワードレートは、割引係数を用いて次のように表すことができます。 $r_{1,2}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}-1\right)$

年複利

(1+r_{1})^{t_{1}}(1+r_{1,2})^{t_{2}-t_{1}}=(1+r_{2})^{t_{2}}

解決する $\displaystyle r_{1,2}}$ 収量：

r_{1,2}=\left({\frac {(1+r_{2})^{t_{2}}}{(1+r_{1})^{t_{1}}}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1

期間 (0, t )の割引率の式 $\displaystyle \Delta _{t}}$ 年数で表され、 $\displaystyle r_t$ この期間については $DF(0,t)={\frac {1}{(1+r_{t})^{\Delta _{t}}}}$ フォワードレートは、割引係数を用いて次のように表すことができます。

r_{1,2}=\left({\frac {DF(0,t_{1})}{DF(0,t_{2})}}\right)^{1/(t_{2}-t_{1})}-1

連続複利率

e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}}\cdot \ e^{r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}

解決する $\displaystyle r_{1,2}}$ 収量：

ステップ1→

e^{r_{2}\cdot t_{2}}=e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}

ステップ2→

\ln \left(e^{r_{2}\cdot t_{2}}\right)=\ln \left(e^{r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)}\right)

ステップ3→

r_{2}\cdot t_{2}=r_{1}\cdot t_{1}+r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)

ステップ4→

r_{1,2}\cdot \left(t_{2}-t_{1}\right)=r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}

ステップ5→

r_{1,2}={\frac {r_{2}\cdot t_{2}-r_{1}\cdot t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}

期間 (0, t )の割引率の式 $\displaystyle \Delta _{t}}$ 年数で表され、 $\displaystyle r_t$ この期間については $DF(0,t)=e^{-r_{t}\,\Delta _{t}}$ フォワードレートは、割引係数を用いて次のように表すことができます。