歪度

確率論と統計学において、歪度は、実数値のランダム変数の確率分布の平均に関する非対称性の尺度です。歪度の値は、正、ゼロ、負、または未定義になります。

単峰性分布 (ピークが 1 つだけの分布)の場合、負の歪度は一般に裾が分布の左側にあることを示し、正の歪度は裾が右側にあることを示します。片方の裾が長く、もう片方の裾が太い場合、歪度は単純な規則に従いません。たとえば、歪度の値が 0 の場合、平均値の両側の裾が全体的にバランスが取れていることを意味します。これは対称分布の場合に当てはまりますが、片方の裾が細くて長く、もう片方の裾が短いが太い非対称分布の場合にも当てはまります。したがって、歪度のみを使用して特定の分布の対称性を判断するのは危険であり、分布の形状を考慮する必要があります。

下の図の 2 つの分布について考えてみましょう。各グラフでは、分布の右側の値が左側の値とは異なって先細りになっています。これらの先細りの部分は「裾」と呼ばれ、分布が 2 種類の歪度のうちどちらを持っているかを視覚的に判断する手段を提供します。

1. 負の偏り: 分布の左裾が長く、分布の大部分が図の右側に集中している。曲線自体は右に偏っているように見えるが、分布は左偏り、左裾、または左に偏っていると言われる。左とは、左裾が引き出され、平均値がデータの典型的な中心より左に偏っていることを意味する。左偏り分布は通常、右に傾いた曲線として現れる。^[1]
2. 正の偏り: 右裾が長く、分布の大部分が図の左側に集中している。曲線自体は左に偏っているように見えるが、分布は右偏り、右裾、右に偏っていると言われる。右とは、右裾が引き出され、平均値がデータの典型的な中心より右に偏っていることを意味する。右偏り分布は通常、左に傾いた曲線として現れる。^[1]

データ系列の歪度は、グラフだけでなく、単に値を調べることによっても観察できる場合があります。たとえば、数値シーケンス (49, 50, 51) について考えます。この数値は、中心値 50 の周りに均等に分布しています。平均よりはるかに低い値 (おそらく負の外れ値) を追加することで、このシーケンスを負に歪んだ分布に変換できます(例: (40, 49, 50, 51))。したがって、シーケンスの平均は 47.5、中央値は 49.5 になります。ノンパラメトリック歪度の式に基づくと、歪度は負であると定義されます。同様に、平均よりはるかに高い値 (おそらく正の外れ値) を追加することで、シーケンスを正に歪ませることができます (例: (49, 50, 51, 60))。この場合、平均は 52.5、中央値は 50.5 です。 ${\displaystyle (\mu -\nu )/\sigma ,}$

前述のように、歪度がゼロの単峰性分布は、必ずしもこの分布が対称であることを意味するわけではありません。ただし、対称的な単峰性または多峰性分布の歪度は常にゼロです。

歪度は平均値と中央値の関係とは直接関係がありません。負の歪度を持つ分布では、平均値が中央値よりも大きくなったり小さくなったりすることがあります。正の歪度の場合も同様です。^[2]

ノンパラメトリック歪度の古い概念は、平均 、中央値 、標準偏差 として定義され、歪度は次の関係で定義されます。正/右のノンパラメトリック歪度は、平均が中央値よりも大きいこと(右側)を意味し、負/左のノンパラメトリック歪度は、平均が中央値よりも小さいこと(左側)を意味します。ただし、歪度の現代的な定義と従来のノンパラメトリック定義は、常に同じ符号になるわけではありません。分布のいくつかの族では一致しますが、いくつかのケースでは異なり、それらを混同すると誤解を招きます。 ${\displaystyle (\mu -\nu )/\sigma ,}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \sigma}$

分布が対称であれば、平均値は中央値に等しく、分布の歪度はゼロです。^[3]分布が対称かつ単峰性であれば、平均値=中央値=最頻値です。これは、コイントスや1、2、3、4、... のような数列の場合です。ただし、逆は一般には当てはまりません。つまり、歪度がゼロ（以下で定義）であっても、平均値が中央値に等しいとは限りません。

2005年の雑誌記事では次のように指摘している。^[2]

多くの教科書では、平均は右偏りの場合は中央値の右側、左偏りの場合は中央値の左側にあるという経験則を教えています。この規則は驚くほど頻繁に外れます。この規則は、多峰性分布や、一方の裾が長くもう一方が重い分布では外れる可能性があります。しかし、最も一般的には、中央値の左側と右側の領域が等しくない離散分布ではこの規則が外れます。このような分布は、平均、中央値、偏りの教科書的な関係に矛盾するだけでなく、中央値の教科書的な解釈にも矛盾します。

例えば、米国の世帯における成人居住者の分布では、偏りは右に向いています。しかし、大多数のケースは最頻値（中央値でもある）以下であるため、平均値はより重い左裾に位置します。その結果、右偏りでは平均値が中央値の右側にあるという経験則は当てはまりませんでした。^[2]

確率変数Xの歪度は3次標準化モーメントであり、次のように定義される: ^{[4] [5]}${\displaystyle \gamma_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mu}}_{3}}$

${\displaystyle \gamma _{1}:={\tilde {\mu }}_{3}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}}$

ここで、μは平均、σは標準偏差、 E は期待値演算子、μ ₃は第3中心モーメント、κ _tは第tキュムラントです。これはピアソンの歪度モーメント係数[ 5 ^]または単に歪度モーメント係数^[4]と呼ばれることもありますが、ピアソンの他の歪度統計 (下記参照) と混同しないでください。最後の等式は、第3キュムラントκ ₃と第2キュムラントκ ₂の1.5乗の比で歪度を表します。これは、第4キュムラントを第2キュムラントの2乗で正規化するという尖度の定義に類似しています。歪度は Skew[ X ] と表記されることもあります。

σが有限でμも有限である場合、歪度は前の式を展開して 非中心モーメントE[ X ³ ]で表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mu }}_{3}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+3\mu ^{2}\operatorname {E} [X]-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu (\operatorname {E} [X^{2}]-\mu \operatorname {E} [X])-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.\end{aligned}}}$

歪度は無限大になることもあり、例えば

${\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0}$

ここで、第3キュムラントは無限大であり、

${\displaystyle \Pr[X<x]=(1-x)^{-3}/2{\mbox{ for negative }}x{\mbox{ and }}\Pr[X>x]=(1+x)^{-3}/2{\mbox{ for positive }}x.}$

ここで、3 番目のキュムラントは定義されていません。

有限の歪度を持つ分布の例には次のものがあります。

• 正規分布および有限の3次モーメントを持つその他の対称分布の歪度は0である。
• 半正規分布の歪度は1よりわずかに低い。
• 指数分布の歪度は2である。
• 対数正規分布は、そのパラメータに応じて任意の正の値の歪度を持つことができる。

n値のサンプルの場合、母集団の歪度の自然な推定値は2つあります^[6]

${\displaystyle b_{1}={\frac {m_{3}}{s^{3}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{3/2}}}}$

そして

${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{3/2}}},}$

ここで、は標本平均、sは標本標準偏差、m ₂は（バイアス付き）標本第2中心モーメント、m _{3 は}（バイアス付き）標本第3中心モーメントです。^[6]はモーメント推定法です 。 ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle g_{1}}$

標本歪度のもう一つの一般的な定義は^{[6] [7]}である。

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&={\frac {k_{3}}{k_{2}^{3/2}}}={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}\;b_{1}={\frac {\sqrt {n(n-1)}}{n-2}}\;g_{1},\\\end{aligned}}}$

ここで、は第3キュムラントの唯一の対称不偏推定量であり、は第2キュムラントの対称不偏推定量（すなわち標本分散）である。この調整されたフィッシャー・ピアソン標準化モーメント係数は、 ExcelやMinitab、SAS、SPSSなどのいくつかの統計パッケージに見られるバージョンである。^[7]${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle k_{2}=s^{2}}$${\displaystyle G_{1}}$

基礎となるランダム変数が正規分布するという仮定の下で、3つの比率、、はいずれも母集団の歪度 の不偏かつ一貫した推定値であり、であることが示されます。つまり、それらの分布は平均0、分散6の正規分布に収束します（Fisher、1930）。^[6]したがって、十分に大きなサンプルの場合、標本歪度の分散は近似されます。より正確には、正規分布からのサイズnのランダム標本では、 ^{[8] [9]}${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}=0}$${\displaystyle {\sqrt {n}}b_{1}\mathrel {\xrightarrow {d} } N(0,6)}$${\displaystyle 6/n}$

${\displaystyle \operatorname {var} (G_{1})={\frac {6n(n-1)}{(n-2)(n+1)(n+3)}}.}$

正規分布のサンプルでは、​​3つの推定値の中で分散が小さく、^[6]${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {var} (b_{1})<\operatorname {var} (g_{1})<\operatorname {var} (G_{1}).}$

非正規分布の場合、、およびは一般に母集団の歪度 の偏った推定値であり、その期待値は真の歪度とは逆の符号になることさえあります。たとえば、中心が −99、0.5、2 で重みが 0.01、0.66、0.33 である非常に薄いガウス分布で構成される混合分布の歪度は約 −9.77 ですが、 3 の標本では の期待値は約 0.32 になります。これは通常、3 つの標本すべてが分布の正の値の部分にあり、正の値が逆の方向に歪んでいるためです。 ${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle G_{1}}$

歪度は、ヒストグラムや正規分布図と組み合わせて使用​​して、データや分布を特徴付ける 記述統計です。

歪度は、分布が正規分布から逸脱する方向と相対的な大きさを示します。

顕著な歪度がある場合、平均値の信頼区間などの標準的な統計的推論手順は、真のカバレッジ レベルが名目レベル (例: 95%) と異なるという意味で不正確になるだけでなく、両側でエラー確率が不均等になる結果にもなります。

歪度は、 Cornish-Fisher展開を介して分布のおおよその確率と分位数（金融におけるリスク値など）を取得するために使用できます。

多くのモデルは正規分布、つまりデータが平均に対して対称であると仮定します。正規分布の歪度はゼロです。しかし、現実には、データ ポイントは完全に対称ではない場合があります。したがって、データセットの歪度を理解することで、平均からの偏差が正になるか負になるかがわかります。

D'Agostino の K 二乗検定は、サンプルの歪度とサンプルの尖度に基づく 適合度 正規性検定です。

歪度の他の尺度も使用されており、その中にはカール・ピアソン^[10]が提案したより単純な計算も含まれる（ピアソンの歪度のモーメント係数と混同しないように。上記を参照）。これらの他の尺度は以下のとおりである。

ピアソンモード歪度^[11]または第一歪度係数は次のように定義される。

⁠平均−最頻値/標準偏差⁠ .

ピアソン中央歪度、または第2歪度係数^{[12] [13]}は次のように定義される。

⁠3 (平均−中央値)/標準偏差⁠ .

これはノンパラメトリック歪度の単純な倍数です。

ボウリーの歪度（1901年から）^{[14] [15] は}ユールの係数（1912年から）^{[16] [17]}とも呼ばれ、次のように定義されます。

${\displaystyle {\frac {{\frac {{{Q}(3/4)}+{{Q}(1/4)}}{2}}-{{Q}(1/2)}}{\frac {{{Q}(3/4)}-{{Q}(1/4)}}{2}}}={\frac {{{Q}(3/4)}+{{Q}(1/4)}-2{{Q}(1/2)}}{{{Q}(3/4)}-{{Q}(1/4)}}},}$

ここで、Q は分位関数（累積分布関数の逆関数）です。分子は上位四分位と下位四分位の平均（位置の尺度）と中央値（別の位置の尺度）の差であり、分母は半四分位範囲です。対称分布の場合、これは 分散のMAD尺度に等しくなります。^{[引用が必要]}${\displaystyle ({Q}(3/4)}-{{Q}(1/4))/2}$

この指標の他の名称としては、ゴルトンの歪度指標^[18]、ユール・ケンドール指数^[19]、四分位歪度^{[20]などがある。}

同様に、ケリーの歪度は次のように定義される^[21]

${\displaystyle {\frac {{{Q}(9/10)}+{{Q}(1/10)}-2{{Q}(1/2)}}{{{Q}(9/10)}-{{Q}(1/10)}}}.}$

歪度関数のより一般的な定式化は、Groeneveld, RAとMeeden, G. (1984)によって説明されている: ^{[22] [23] [24]}

${\displaystyle \gamma (u)={\frac {Q(u)+Q(1-u)-2Q(1/2)}{Q(u)-Q(1-u)}}}$

関数γ ( u )は−1≤γ  ( u ) ≤1を満たし、分布のモーメントの存在を必要とせずに定義されます。^[22] Bowleyの歪度はu = 3/4で評価されたγ( u )で あり、Kellyの歪度はu = 9/10で評価されたγ( u )です。この定義は、1/2≤u< 1の範囲でのこの値の 最大値として定義される、 対応する全体的な歪度尺度^[23]につながります。 この式の分子と分母を積分することで、別の尺度を得ることができます。^[22]

一見すると、分位数ベースの歪度測定は解釈しやすいですが、多くの場合、モーメントベースの方法よりもサンプルの変動が著しく大きくなります。つまり、対称分布 (一様分布など) からのサンプルは、偶然にも、分位数ベースの歪度が大きくなっていることがよくあります。

グローネフェルトとミーデンは、歪度の代替指標として、^{[22]を提案している。}

${\displaystyle \operatorname {skew} (X)={\frac {(\mu -\nu )}{\operatorname {E} (|X-\nu |)}},}$

ここで、μは平均、νは中央値、|...| は絶対値、E() は期待値演算子です。これは、ピアソンの第 2 歪度係数と形式的に密接に関連しています。

モーメントの代わりにLモーメントを使用すると、L歪度と呼ばれる歪度の尺度が得られます。^[25]

歪度の値がゼロであることは、確率分布が対称的であることを意味しない。したがって、この特性を持つ非対称性の別の尺度が必要である。そのような尺度は2000年に導入された。^{[26]これは}距離歪度と呼ばれ、dSkewと表記される。Xがd次元ユークリッド空間で値を取るランダム変数であり、Xは有限の期待値を持ち、X 'はXの独立した同一分布のコピーであり、ユークリッド空間のノルムを表す場合、位置パラメータθに関する 非対称性の単純な尺度は${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \operatorname {dSkew} (X):=1-{\frac {\operatorname {E} \|X-X'\|}{\operatorname {E} \|X+X'-2\theta \|}}{\text{ if }}\Pr(X=\theta )\neq 1}$

そして、 X = θ のときdSkew( X ) := 0 です (確率 1)。距離歪度は常に 0 から 1 の間であり、Xが θ に関して対角対称である場合 ( Xと 2θ− X は同じ確率分布を持つ) に限り 0 に等しく、X が確率 1 で定数c ( ) である場合にのみ 1 に等しくなります。^{[27]したがって、}標本距離歪度に基づく対角対称性の単純で一貫した統計的検定があります。 ${\displaystyle c\neq \theta }$

${\displaystyle \operatorname {dSkew} _{n}(X):=1-{\frac {\sum _{i,j}\|x_{i}-x_{j}\|}{\sum _{i,j}\|x_{i}+x_{j}-2\theta \|}}.}$

メドカップルはスケール不変の頑健な歪度指標であり、そのブレークダウンポイントは25%である。^[28]これはカーネル関数の値の 中央値である。

${\displaystyle h(x_{i},x_{j})={\frac {(x_{i}-x_{m})-(x_{m}-x_{j})}{x_{i}-x_{j}}}}$

となるすべてのカップルについて、 はサンプルの中央値です。これは、すべての可能な分位歪度指標の中央値として見ることができます。 ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$${\displaystyle x_{i}\geq x_{m}\geq x_{j}}$${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$

• ブラッグピーク
• コスケネス
• 尖度
• 形状パラメータ
• 歪んだ正規分布
• 歪度リスク

Wikiversityには歪度に関する学習リソースがあります

ウィキメディア・コモンズには、歪度 (統計)に関連するメディアがあります。

• 「非対称係数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 多変量分布の非対称係数 (Michel Petitjean 著)
• 歪度と尖度のより堅牢な推定について Kim と White による歪度推定量の比較。
• クローズドスキュー分布 - シミュレーション、逆変換、パラメータ推定