リスクのある価値

バリュー アット リスク( VaR ) は、投資/資本の損失リスクの尺度です。これは、通常の市場条件で、1 日などの一定期間内に、一連の投資が (所定の確率で) どの程度損失するかを推定します。VaR は通常、金融業界の企業や規制当局によって、起こり得る損失をカバーするために必要な資産の量を測定するために使用されます。

与えられたポートフォリオ、期間、および確率 pについて、p VaR は、その期間の最大損失として非公式に定義することができ、それらの損失は、その合計確率が最大でpとなるすべてのより悪い結果を除外した後のものである。これは、時価評価価格設定とポートフォリオの取引がないことを前提としている。^[1]

たとえば、株式ポートフォリオの 1 日の VaR が 5% で 100 万ドルの場合、取引がない場合、ポートフォリオの価値が 1 日で 100 万ドル以上下落する確率は 0.05 です。非公式には、このポートフォリオで 100 万ドル以上の損失が発生するのは、20 日のうち 1 日 (確率が 5% であるため) と予想されます。

より正式には、p VaRは、損失がVaRを超える確率が（最大で）（1-p）であるのに対し、損失がVaR未満の確率が（少なくとも）pであるように定義されます。VaRのしきい値を超える損失は、「VaR違反」と呼ばれます。^[2]

pが固定されている場合、p VaR は VaR 違反が発生したときの損失の大きさを評価しないため、リスク管理の指標としては疑問視されることがあります。たとえば、コインを 7 回投げて 7 回表が出ないことに賭けたとします。この賭けは、表が出なければ (確率 127/128) 100 ドル勝ち、表が出れば (確率 1/128) 12,700 ドル負けるという条件です。つまり、損失額は 0 ドルまたは 12,700 ドルです。損失が発生する確率は 1/128 で 1% 未満なので、1% VaR は 0 ドルになります。ただし、損失額は 12,700 ドルになる可能性があり、これはp ≤ 0.78125% (1/128)のp VaRとして表すことができます。^[3]

VaRは金融において、リスク管理、財務管理、財務報告、規制資本の計算という4つの主な用途があります。VaRは金融以外の用途でも使用されることがあります。^[4] しかし、これは議論の余地のあるリスク管理ツールです。

重要な関連する考え方としては、経済資本、バックテスト、ストレステスト、期待ショートフォール、テール条件付き期待値などがある。^[5]

VaRの一般的なパラメータは1％と5％の確率と1日と2週間の期間ですが、他の組み合わせも使用されています。^[6]

通常の市場を想定し、取引は行われず、損失を日々の勘定で測定されるものに限定する理由は、損失を観測可能にするためである。極端な金融イベントでは、市場価格が入手できないか、損失を被った金融機関が破綻するため、損失を判定できないことがある。訴訟、市場の信頼と従業員の士気の低下、ブランド名の毀損など、災害の長期的な影響は、現れるまでに長い時間がかかり、特定の過去の決定に割り当てるのが難しい場合がある。VaRは、通常の日と極端なイベントの境界を示す。金融機関はVaRの金額よりもはるかに大きな損失を被る可能性があるが、言えることは、それほど頻繁に損失を被ることはないということである。^[7]

確率レベルは、1からVaRブレイクの確率を引いた値として指定されることがほとんどであるため、上記の例のVaRは、1日5% VaRではなく、1日95% VaRと呼ばれます。VaRブレイクの確率はほぼ常に小さく、確実に50%未満であるため、これは通常混乱を招くことはありません。^[1]

VaRは事実上常に損失を表しますが、通常は正の数値として報告されます。負のVaRはポートフォリオが利益を上げる可能性が高いことを意味します。たとえば、1日の5% VaRがマイナス100万ドルの場合、ポートフォリオが翌日に100万ドル以上を稼ぐ可能性が95%あることを意味します。 ^[8]

もう一つの矛盾は、VaR が期間末の損益を指す場合と、期間内の任意の時点での最大損失を指す場合があることです。元の定義は後者でしたが、1990 年代初頭に VaR がトレーディング デスクとタイム ゾーン全体で集計されたとき、1 日の終わりの評価のみが信頼できる数値であったため、前者が事実上の定義になりました。1990 年代後半に複数日の VaR が使用され始めたとき、分布はほとんどの場合、期間末のみで推定されました。また、理論的には、ある時点の推定値と期間内の最大値を扱う方が簡単です。そのため、現在では理論と実践の両方で期間末の定義が最も一般的です。^[9]

VaRの定義は非建設的である。VaRが備えるべき特性は規定しているが、VaRの計算方法は規定していない。さらに、定義には幅広い解釈の余地がある。^[10]このことから、VaRには2つの大きな種類があり、1つは主にリスク管理に使用され、もう1つは主にリスク測定に使用される。ただし、その区別は明確ではなく、ハイブリッドバージョンは一般的に財務管理、財務報告、規制資本の計算に使用されている。^[11]

リスク管理者にとって、VaRは数値ではなくシステムです。このシステムは定期的に（通常は毎日）実行され、公表された数値は、一定期間のポジションのオープン時の価格変動と計算されたものと比較されます。公表されたVaRはその後調整されることはなく、入力エラー（IT障害、詐欺、不正取引を含む）、計算エラー（VaRを時間通りに作成できなかった場合を含む）、市場動向によって生じたVaRのブレークは区別されません。^[12]

頻度主義の主張によれば、VaR ブレイクの長期頻度は、サンプリング誤差の範囲内で指定された確率に等しく、VaR ブレイクは時間的に独立しており、VaR のレベルとは独立している。この主張は、公開された VaR と実際の価格変動を比較するバックテストによって検証されます。この解釈では、多くの異なるシステムで、同様に優れたバックテストで VaR が生成されますが、日々の VaR 値には大きな相違があります。^[1]

リスク測定には、システムではなく数値が必要です。ベイジアン確率論では、当時の情報と信念を前提として、 VaR ブレイクの主観的確率は指定されたレベルであったと主張しています。VaR は、入力と計算のエラーを修正するために事後に調整されますが、計算時に入手できなかった情報を組み込むために調整されるわけではありません。 ^[8]この文脈では、「バックテスト」は別の意味を持ちます。システムが稼働していた期間にわたって公開された VaR を実際の市場動向と比較するのではなく、VaR は、データが利用可能で関連性があると見なされる限り長い期間にわたって、スクラブされたデータに基づいて遡及的に計算されます。VaR の計算には、価格変動を決定するのと同じポジション データと価格設定モデルが使用されます。^[2]

ここで挙げた情報源の中には、1 種類の VaR のみを正当なものとして扱っているものもありますが、最近の情報源のほとんどは、リスク管理 VaR は現在の短期的および戦術的決定を下すのに優れており、リスク測定 VaR は過去を理解し、将来の中期的および戦略的決定を下すのに使用すべきであることに同意しているようです。VaR を財務管理または財務報告に使用する場合は、両方の要素を組み込む必要があります。たとえば、トレーディング デスクがVaR 制限に抑えられている場合、それは今日許容するリスクを決定するためのリスク管理ルールであると同時に、報告期間の終了時のデスクのリスク調整後リターンのリスク測定計算への入力でもあります。[ 5 ^]

VaR は、基金、信託、年金制度のガバナンスにも適用できます。基本的に、受託者は、プールされた口座全体と個別に管理される分散された部分に対してポートフォリオの Values-at-Risk メトリックを採用します。確率推定の代わりに、各許容損失の最大レベルを定義します。これにより、監視のための簡単なメトリックが提供され、管理者が管理するように指示されるため、説明責任が追加されますが、定義されたリスクパラメータ内で損失を回避するという追加の制約があります。このようにして使用される VaR は、関連性を高め、標準偏差リターンよりもはるかに直感的なリスク測定制御を監視する簡単な方法になります。このコンテキストでの VaR の使用、および投資管理の監視全般に関連する取締役会ガバナンス慣行に関する価値のある批評は、ガバナンスのベストプラクティスに記載されています。^[13]

を損益分布（損失はマイナス、利益はプラス）とします。レベル における VaR は、を超えない確率が少なくとも となる最小の数です。数学的には、は の-分位数、つまり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y:=-X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1-\alpha }$${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)}$${\displaystyle (1-\alpha )}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{\alpha }(X)=-\inf {\big \{}x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)>\alpha {\big \}}=F_{Y}^{-1}(1-\alpha ).}$^{[14] [15]}

これは VaR の最も一般的な定義であり、2 つの恒等式は同等です (実際、任意の実数ランダム変数の累積分布関数は明確に定義されています)。ただし、この式は、何らかのパラメトリック分布を持つと仮定しない限り、計算に直接使用することはできません。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$

リスク管理者は、通常、市場が閉鎖されているか流動性が低いか、損失を負う主体が崩壊するか計算能力を失うかのいずれかの理由で、悪いイベントの一部が未定義の損失をもたらすと想定します。したがって、彼らは明確に定義された確率分布の仮定に基づく結果を受け入れません。^[7] ナシム・タレブは、この仮定を「ペテン師」と呼んでいます。^[16]一方、多くの学者は、通常は太い裾を持つとはいえ、明確に定義された分布を仮定することを好みます。^[1]この点は、おそらく他のどの点よりも VaR 理論家の間で論争を引き起こしました。^[10]

リスク値は歪み関数^{[17] [18]}によって与えられる歪みリスク尺度として表すこともできる。 ${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.}$

「VaR」という用語は、リスク測定とリスク メトリックの両方に使用されます。このため、混乱が生じることがあります。1995 年より前の情報源では通常、リスク測定が強調されていますが、それ以降の情報源ではメトリックが強調される傾向があります。

VaRリスク指標は、リスクを、固定期間における固定ポートフォリオの時価評価損失と定義します。金融の世界では、これに代わるリスク指標が数多く存在します。将来のパフォーマンスに時価評価（損失の定義に市場価格を使用）を使用できないため、損失は（代わりに）ファンダメンタル価値の変化と定義されることがよくあります。たとえば、金融機関が、金利上昇により市場価格が下落したローンを保有しているが、キャッシュフローや信用品質に変化がない場合、一部のシステムでは損失を認識しません。また、市場の信頼の低下や従業員の士気低下、ブランド名の低下、訴訟など、日々の財務諸表では測定されない経済的損害コストを組み込もうとするシステムもあります。^[5]

一定の期間にわたって静的なポートフォリオを想定するのではなく、一部のリスク指標では、予想される取引の動的な影響（ストップロス注文など）を組み込み、ポジションの予想保有期間を考慮します。^[5]

VaRリスク指標は、損失の可能性の分布を、より大きな損失が発生する確率が指定された点である分位数で要約します。一般的な代替指標は期待ショートフォールです。^[1]

VaRベースのリスク管理の支持者は、VaRの第一の、そしておそらく最大の利点は、システムの改善とそれが金融機関に強制するモデリングであると主張している。1997年にフィリップ・ジョリオンは次のように書いている。^[19]

VAR の最大の利点は、リスクについて批判的に考えるための構造化された方法論を導入することにあります。VAR を計算するプロセスを経る機関は、財務リスクへのエクスポージャーに向き合い、適切なリスク管理機能を構築することを余儀なくされます。したがって、VAR に到達するプロセスは、数値自体と同じくらい重要かもしれません。

毎日、時間通りに、特定の統計特性を持つ数値を公開することは、トレーディング組織のあらゆる部分を高い客観的基準に従わせます。堅牢なバックアップ システムとデフォルトの仮定を実装する必要があります。誤って報告、モデル化、または価格設定されたポジションは、不正確または遅れたデータ フィードや頻繁にダウンするシステムと同様に、目立ちます。他のレポートに含まれていない損益に影響を与えるものは、VaR の過大または過剰な VaR ブレークのいずれかとして表示されます。「リスクを負う機関でVaR を計算しない機関は、災害を免れる可能性がありますが、VaR を計算できない機関はそうではありません。」^[20]

VaR の 2 つ目の利点は、リスクを 2 つの領域に分けることです。VaR の制限内では、従来の統計手法が信頼できます。比較的短期で特定のデータを分析に使用できます。確率推定は、テストするのに十分なデータがあるため意味があります。ある意味では、これらは結果に左の境界がある多くの独立した観測の合計であるため、真のリスクはありません。たとえば、カジノは、次のルーレット スピンで赤が出るか黒が出るかを心配しません。リスク管理者は、この領域では真のコストがほとんどないため、生産的なリスクを取ることを奨励します。人々は、これらのリスクが頻繁に発生するため、心配しすぎて、最悪の日に何が起こるかについて十分に心配しない傾向があります。^[21]

VaR の限度を超えると、すべてが台無しになります。リスクは、長期的かつ広範な市場データに基づくストレス テストで分析する必要があります。 ^[22]確率の記述はもはや意味がありません。^[23] VaR ポイントを超えた損失の分布を知ることは不可能であり、役に立ちません。リスク マネージャーは、代わりに、可能であれば損失を制限し、そうでない場合は損失を乗り切るための適切な計画を確実に実行することに集中する必要があります。^[1]

特定のシステムでは3つのレジームが使用されています。^[24]

1. VaR の 1 ～ 3 倍は正常な発生です。定期的な VaR の中断が予想されます。損失分布には通常、ファット テールがあり、短期間に複数の中断が発生する場合があります。さらに、市場が異常な状態になり、取引によって損失が悪化する可能性があり、訴訟、従業員の士気の低下、市場の信頼の低下、ブランド名の毀損など、被った損失が日々の指標で測定できない場合があります。VaR の 3 倍の損失を日常的なイベントとして処理できない機関は、おそらく VaR システムを導入するまで存続できないでしょう。
2. ストレス テストの範囲は VaR の 3 倍から 10 倍です。金融機関は、この範囲で損失を引き起こす可能性のあるすべての予測可能なイベントを調査し、それらを乗り越える準備ができていることに自信を持つ必要があります。これらのイベントは確率を信頼性を持って推定するにはあまりにもまれであるため、リスク/リターンの計算は役に立ちません。
3. 予測可能なイベントによって VaR の 10 倍を超える損失が発生することはありません。発生する場合は、ヘッジまたは保険をかけるか、ビジネス プランを変更して回避するか、VaR を増やす必要があります。予測可能な損失が日常の非常に大きな損失よりも桁違いに大きい場合、ビジネスを運営するのは困難です。これらのイベントは日常の経験とは規模が合わないため、計画するのは困難です。

VaRが指標として有用なもう1つの理由は、ポートフォリオのリスクを1つの数値に圧縮し、異なるポートフォリオ（異なる資産）間で比較できるようにすることです。また、どのポートフォリオでも、ポートフォリオをより適切にヘッジできる特定のポジションを分離して、VaRを削減し、最小限に抑えることもできます。^[25]

VaRは、パラメトリック（例えば、分散共分散VaRまたはデルタガンマVaR）またはノンパラメトリック（例えば、ヒストリカルシミュレーションVaRまたは再サンプルVaR）のいずれかで推定することができる。^{[5] [7]} VaR推定のノンパラメトリック手法については、Markovich ^[26]およびNovak ^[27]で議論されている。VaR予測のためのいくつかの戦略の比較は、Kuesterら^{[28]で示されている。}

2012年5月に発表されたマッキンゼーのレポート^[29]では、大手銀行の85%がヒストリカルシミュレーションを使用していると推定されています。残りの15%はモンテカルロ法（多くの場合PCA分解を適用）を使用していました。

バックテストは、VaR 予測と実際のポートフォリオの損益の精度を判定するプロセスです。期待ショートフォールなどの他のほとんどのリスク測定方法に比べて VaR が優れている点は、一連の VaR 予測を検証するための複数のバックテスト手順を利用できることです。バックテストの初期の例としては、Christoffersen (1998) ^[30]が挙げられます。これは後に Pajhede (2017) ^[31]によって一般化され、 VaR を超える損失の「ヒット シーケンス」をモデル化し、これらの「ヒット」が互いに独立しており、発生確率が正しいかどうかをテストします。たとえば、95% VaR を使用する場合、時間の経過とともに VaR を超える損失の確率が 5% になるはずですが、これらのヒットは独立して発生するはずです。

ヒットシーケンス内のヒット間の時間をモデル化するバックテストは他にも多数あります。Christoffersen and Pelletier (2004)、^[32] Haas (2006)、^[33] Tokpavi et al. (2014) ^[34]および Pajhede (2017) ^[31]を参照してください。いくつかの論文で指摘されているように、高レベルのカバレッジ、たとえば 99% VaR を考慮すると漸近分布は不十分になることが多いため、テストの正しいサイズ特性を取得するために、Dufour (2006) ^[35]のパラメトリック ブートストラップ法がよく使用されます。バックテスト ツールボックスは Matlab、^[36]または R で使用できますが、パラメトリック ブートストラップ法を実装しているのは最初のものだけです。

バーゼル IIの 2 番目の柱には、VaR 数値を検証するための バックテスト手順が含まれています。

リスク測定の問題は、統計、経済学、金融の分野で古くからある。金融リスク管理も、長い間、規制当局や金融幹部の関心事であった。遡及分析により、この歴史の中で VaR に似た概念がいくつか発見されている。しかし、VaR が明確な概念として登場したのは 1980 年代後半になってからである。きっかけとなったのは1987 年の株式市場の暴落である。これは、学術的に訓練されたクオンツが多数、企業全体の存続を心配するほどの地位に就いた最初の大規模な金融危機であった。^[1]

標準的な統計モデルでは、この暴落はありそうにないことから、クオンツ金融の基盤全体が疑問視されることになった。歴史を再考した結果、一部のクオンツは、10年に1、2回程度、トレーディング、投資管理、デリバティブの価格設定に使用されるモデルに組み込まれた統計的仮定を覆すような危機が繰り返し発生していると判断した。こうした危機は、通常は相関関係のない市場も含め、一度に多くの市場に影響を及ぼし、経済的な原因や警告がはっきりとわかることはほとんどなかった（事後的な説明は豊富だったが）。^{[23]ずっと後になって、}ナシム・タレブはこれを「ブラック・スワン」と名付け、その概念は金融の枠をはるかに超えるものとなった。^[37]

これらのイベントが定量分析に含まれていた場合、結果が支配的となり、日々機能しない戦略につながった。これらのイベントが除外されていた場合、「ブラックスワン」の間に得られた利益は、危機で被った損失よりもはるかに小さくなる可能性があります。その結果、機関が破綻する可能性があります。^{[20] [23] [37]}

VaR は、長期履歴と広範な市場イベントで定性的に研究される極端なイベントと、特定の市場の短期データを使用して定量的に研究される日常的な価格変動を区別する体系的な方法として開発されました。少なくとも一部の市場では、「ブラック スワン」の前に推定 VaR の増加または VaR ブレークの頻度の増加が発生することが期待されていました。これがどの程度真実であるかは議論の余地があります。^[23]

VaR推定値を観測可能にするため、異常な市場や取引は除外されている。^[21]例えば、9/11後のように市場が閉鎖されていたり、2008年に何度か起こったように流動性が著しく低かったりする場合、損失を定義することが常に可能であるとは限らない。 ^[20]リスクを負う機関が破綻したり解体したりした場合にも、損失を定義することは難しい。^[21]トレーダーが特定の行動を取り、他の行動を避けることに依存する尺度は、自己参照につながる可能性がある。^[1]

これはリスク管理VaRである。1990年以前には、バンカーズ・トラストなどのいくつかの金融機関の定量的トレーディンググループで定着していたが、名称も定義も標準化されていなかった。トレーディングデスク間でVaRを集約する努力は行われていなかった。^[23]

1990 年代初頭の金融危機により、多くの企業が問題に直面することになりました。なぜなら、企業内の多くの場所で、明白でない方法で、同じ基本的な賭けが行われていたからです。多くのトレーディング デスクがすでにリスク管理 VaR を計算しており、これはすべてのビジネスに対して定義でき、強い仮定なしに集計できる唯一の共通のリスク測定基準であったため、企業全体のリスクを報告するための自然な選択でした。JPモルガンのCEOデニス ウェザーストーンは、市場が閉まってから 15 分以内に入手可能な、企業のすべてのリスクを1 ページにまとめた「4:15 レポート」を要求したことで有名です。^[10]

リスク測定VaRはこの目的のために開発された。最も大規模な開発はJPモルガンで行われ、同社は1994年にこの手法を公開し、必要な基礎パラメータの推定値への無料アクセスを提供した。これは比較的小規模なクオンツグループ以外にVaRが公開された初めてのケースであった。2年後、この手法は独立した営利企業として分離され、現在はRiskMetrics Group（現在はMSCIの一部）の一部となっている。^[10]

1997年、米国証券取引委員会は、上場企業に対しデリバティブ取引に関する定量的な情報を開示するよう命じた。大手銀行やディーラーは、財務諸表の注記にVaR情報を記載することでこの規則を施行することを選択した。^[1]

1999年に始まり、今日ほぼ完了しているバーゼルII合意の世界的な採用は、VaRの使用をさらに促進しました。VaRは市場リスクの推奨される指標であり、VaRに似た概念が合意の他の部分でも使用されています。^[1]

VaRは1994年にトレーディングデスクから一般の人々の目に触れて以来、議論の的となっている。1997年にナシム・タレブとフィリップ・ジョリオンの間で行われた有名な討論では、いくつかの主要な論点が提示された。タレブはVaRについて次のように主張した。^[38]

1. 2,500年の経験を無視し、トレーダー以外の人が構築したテストされていないモデルを採用した
2. 稀な出来事のリスクを推定すると主張したが、それは不可能なので、詐欺行為だった。
3. 偽りの自信を与えた
4. トレーダーに利用される

2008年、デイビッド・アインホーンとアーロン・ブラウンは、世界リスク専門家協会レビューでVaRについて議論した。^{[20] [3]}アインホーンはVaRを「自動車事故の時以外は常に作動する エアバッグ」に例えた。彼はさらにVaRについて次のように主張した。

1. 金融機関における過剰なリスクテイクとレバレッジにつながった
2. 分布の中心付近にある管理可能なリスクに焦点を当て、裾を無視した
3. 「過度だが遠いリスク」を取るインセンティブを生み出した
4. 「その使用により、上級管理職や監視機関の間に誤った安心感が生まれた場合、潜在的に壊滅的な結果を招く可能性がある」

ニューヨークタイムズの記者ジョー・ノセラは、2009年1月4日に「リスク管理の誤り^{」[39]という長文の記事を書き、2007年から}2008年の金融危機でVaRが果たした役割について論じました。この記事では、リスク管理者（上記に引用した数名を含む）へのインタビューの結果、VaRはリスク専門家にとって非常に有用であったが、銀行幹部や規制当局に誤った安心感を与えることで危機を悪化させたと示唆しています。プロのリスク管理者にとって強力なツールであるVaRは、誤解されやすく、誤解されると危険であると描写されています。

タレブは2009年に議会で証言し、いくつかの理由からVaRの禁止を求めた。その理由の1つは、テールリスクは測定不可能であること。もう1つは、アンカーリング上の理由からVaRはより高いリスクテイクにつながるということである。^[40]

VaRは加法性が低い：^[5]複合ポートフォリオのVaRは、その構成要素のVaRの合計よりも大きくなる可能性がある。

たとえば、米国の平均的な銀行支店は、10 年に 1 回強盗に遭います。支店が 1 つの銀行では、特定の日に強盗に遭う確率は約 0.0004% なので、強盗のリスクは 1 日の 1% VaR には含まれません。その 1 桁にも満たないため、金融機関が心配する必要のない範囲であり、保険をかけ、予防策について保険会社のアドバイスを受ける必要があります。保険の本質は、個々の VaR 制限を超えるリスクを集約し、統計的予測可能性を得るのに十分な規模のポートフォリオにまとめることです。支店が 1 つの銀行にセキュリティ専門家を雇用しても、利益は上がりません。

金融機関の支店が増えると、特定の日に強盗が発生するリスクは VaR の 1 桁以内にまで上昇します。その時点で、金融機関が内部ストレス テストを実行し、リスク自体を分析することは理にかなっています。保険に費やす金額は減り、社内の専門知識に費やす金額は増えます。非常に大規模な銀行機関では、強盗は日常的に発生します。損失は毎日の VaR 計算の一部であり、ケースバイケースではなく統計的に追跡されます。大規模な社内セキュリティ部門が予防と管理を担当し、ゼネラル リスク マネージャーは、他のビジネス コストと同様に損失を追跡します。ポートフォリオや金融機関が大きくなると、特定のリスクは、確率が低く予測可能性が低く影響が大きいものから、統計的に予測可能で個別の影響が低い損失に変わります。つまり、保険対象となる VaR の外側から、ケースバイケースで分析される VaR の外側に近いもの、そして統計的に処理される VaR の内側へと移行するということです。^[20]

VaRは静的なリスク指標です。定義上、VaRは原資産の確率分布の特定の特性です（つまり、VaRは本質的に分位数です）。動的なリスク指標については、Novak、^[27] ch. 10を参照してください。

VaRの一般的な濫用は以下の通りである: ^{[7] [10]}

1. 起こり得る損失は VaR の倍数 (多くの場合 3 倍) 未満であると想定します。損失は非常に大きくなる可能性があります。
2. バックテストに合格していない VaR を報告する。VaR の計算方法に関係なく、過去には正しい数のブレーク (サンプリング誤差内) が生成されているはずです。すべてが多変量正規分布に従うという検証されていない仮定に基づいて VaR を推定することは、常識に反する一般的な行為です。

VaRは、劣加法性に違反するため、 一貫したリスク指標ではない。

${\displaystyle \mathrm {もし} \;X,Y\in \mathbf {L} ならば、\;\mathrm {then} \;\rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y).}$

ただし、条件付きバリューアットリスク(CVaR) やエントロピーバリューアットリスク(EVaR)などの一貫したリスク測定によって制限されることがあります。CVaR は、信頼水準が 0 からαまでの VaR 値の平均によって定義されます。

しかし、VaRはCVaRとは異なり、堅牢な統計であるという性質を持っています。関連するリスク測定のクラスは「Range Value at Risk」（RVaR）であり、これはCVaRの堅牢なバージョンです。^[41]

（すべての正の実数値に対してモーメント生成関数が存在する ボレル測定可能関数の集合）に対して、${\displaystyle X\in \mathbf {L} _{M^{+}}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{M^{+}}}$

${\displaystyle {\text{VaR}}_{1-\alpha }(X)\leq {\text{RVaR}}_{\alpha ,\beta }(X)\leq {\text{CVaR}}_{1-\alpha }(X)\leq {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X),}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{VaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{t\in \mathbf {R} }\{t:{\text{Pr}}(X\leq t)\geq 1-\alpha \},\\&{\text{CVaR}}_{1-\alpha }(X):={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\text{VaR}}_{1-\gamma }(X)d\gamma ,\\&{\text{RVaR}}_{\alpha ,\beta }(X):={\frac {1}{\beta -\alpha }}\int _{\alpha }^{\beta }{\text{VaR}}_{1-\gamma }(X)d\gamma ,\\&{\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{z>0}\{z^{-1}\ln(M_{X}(z)/\alpha )\},\end{aligned}}}$

ここで、 はzにおけるXのモーメント生成関数です。上記の式では、変数X は、通常の場合のように富ではなく、金銭的損失を表します。 ${\displaystyle M_{X}(z)}$

• 自己資本比率指令
• 条件付きバリュー・アット・リスク/期待ショートフォール
• サイバーリスクバリューアットリスク（CyVaR）に基づくサイバーリスク定量化
• 確率的計画法のための EMP — VaR と CVaR を含む最適化問題の解決技術
• エントロピー値が危険にさらされている
• 金融リスク管理 § 銀行業務
• 利益が危険にさらされる
• マージンリスク
• 流動性リスク
• リスクリターン比率
• テール値が危険にさらされている
• 評価リスク

議論

• 「リスクのある価値」、ベン・ソプランゼッティ博士、公認会計士
• 「パーフェクト ストーム」 – リスク管理における美しくも真実の嘘 2009-03-25 にWayback Machineでアーカイブ、Satyajit Das
• 「Gloria Mundi」 – リスクのある価値について、バリー・シャクター
• リスク管理の失敗、ジョー・ノセラの ニューヨークタイムズの記事。
• 「VaR は難しいものである必要はない」、リッチ・タネンバウム
• 「リスクの一貫した測定」、フィリップ・アルツナー、フレディ・デルバン、ジャン＝マルク・エバー、デビッド・ヒース

ツール

• 「金利デリバティブの価格設定と取引」、JHM Darbyshire、理学修士。
• オンライン リアルタイム VaR 計算機、ラズバン パスカラウ、アラバマ大学
• Value-at-Risk (VaR)、Simon Benninga および Zvi Wiener。(Mathematica in Education and Research Vol. 7 No. 4 1998)
• デリバティブ戦略マガジン。「DE Shaw の内側」トレーディングとリスク管理 1998
• 過去のリスク値をシミュレーションするオンライン計算機