お金らしさ

金融において、マネーネスとは、デリバティブ（最も一般的にはコール オプションまたはプット オプション）の行使価格に対する原資産（例えば、株式）の現在の価格（または将来の価格）の相対的な位置のことです。マネーネスは、まず 3 つの分類に分けられます。

• デリバティブが今日満期を迎えた場合にプラスの本質的価値を持つ場合、それはイン・ザ・マネー（ITM）であると言われます。
• デリバティブが原資産の現在の価格で満期を迎えると価値がなくなる場合、アウト・オブ・ザ・マネー（OTM）であると言われます。
• そして、現在の原資産価格と行使価格が等しい場合、そのデリバティブはアット・ザ・マネー（ATM ）であると言われます。

現在の価格 (スポット) を使用するか、将来の価格 (フォワード) を使用するかによって、わずかに異なる 2 つの定義があり、「アット ザ マネー スポット」または「アット ザ マネー フォワード」などと指定されます。

この大まかな分類は、マネーネスを数値として表すさまざまな定義によって定量化することができ、資産が権利行使価格に対してどの程度インザマネーまたはアウトオブザマネーであるか、あるいは逆に、資産のスポット（またはフォワード）価格に対して権利行使価格がどの程度インザマネーまたはアウトオブザマネーであるかを測定する。この定量化されたマネーネスの概念は、相対的 ボラティリティ面、すなわち絶対価格ではなくマネーネスの観点から見たインプライド・ボラティリティを定義する際に最も重要に用いられる。これらの尺度の中で最も基本的なものは単純なマネーネスであり、これは慣例に応じてスポット（またはフォワード）と権利行使価格、またはその逆数に対する比率である。マネーネスの特に重要な尺度は、デリバティブがインザマネーで満期を迎える可能性、つまりリスク中立尺度である。これは、与えられた権利行使価格のバイナリー・コールオプションのフォワード価値である、インザマネーで満期を迎える確率のパーセンテージで測定でき、ブラック・ショールズ公式の補助項N ( d ₂ )に等しい。これは標準偏差で測定することもできます。標準偏差は、ボラティリティの観点から、現在の価格が行使価格よりどれだけ上または下にあるかを測定します。この量はd ₂で与えられます。（標準偏差は、オプション自体ではなく、原資産の価格変動を指します。）マネーネスに密接に関連するもう1つの尺度は、コールオプションまたはプットオプションのデルタです。マネーネスのプロキシは他にもあり、市場によって異なります。^[1]

IBMの現在の株価が 100 ドルであるとします。権利行使価格が 100 ドルのコール オプションまたはプット オプションはアット ザ マネーです。権利行使価格が 80 ドルのコール オプションはイン ザ マネーです (100 − 80 = 20 > 0)。権利行使価格が 80 ドルのプット オプションはアウト オブ ザ マネーです (80 − 100 = −20 < 0)。逆に、権利行使価格が 120 ドルのコール オプションはアウト オブ ザ マネーで、権利行使価格が 120 ドルのプット オプションはイン ザ マネーです。

上記はITM、OTM、ATMを定義する従来の方法ですが、一部の新しい著者は、権利行使価格と現在の市場価格の比較は無意味であると考え、現在の市場価格の代わりにフォワード参照レートの使用を推奨しています。たとえば、プットオプションは、オプションの権利行使価格がフォワード参照レートよりも高い場合、インザマネーになります。^[2]

オプションの本質的価値 (または「金銭的価値」) は、オプションが即時に行使された場合の価値です。したがって、原資産 (または商品など) の現在の (スポット) 価格が合意された (行使) 価格を上回る場合、コールはプラスの本質的価値を持ち (「イン ザ マネー」と呼ばれます)、プットはゼロの本質的価値を持ち (「アウト オブ ザ マネー」と呼ばれます) ます。

オプションの時間的価値は、オプションの合計価値から本質的価値を引いたものです。これは、原資産の将来の価格変動の不確実性から部分的に生じます。時間的価値の要素は、現在から満期日までの割引率の巻き戻しからも生じます。ヨーロピアン オプションの場合、満期日前にオプションを行使することはできないため、時間的価値がマイナスになる可能性があります。一方、アメリカン オプションの場合、時間的価値がマイナスになった場合は、それを行使します (証券が配当落ちになるなどの特別な状況は無視します)。これにより境界条件が生じます。

オプションは、権利行使価格が原資産の現在のスポット価格と同じ場合、アット・ザ・マネー（ATM）である。アット・ザ・マネー・オプションには本質的価値はなく、時間的価値のみがある。^[3]

たとえば、「アット・ザ・マネー」のコールストックオプションでは、現在の株価と権利行使価格は同じです。オプションを行使しても売り手は利益を得ることはできませんが、株価が上昇するとオプションの価値が上がります。

オプションが正確にアット・ザ・マネーになることはめったにないため、オプションが売られたとき（ATMオプションを買ったり売ったりするとき）を除いて、オプションがニア・ザ・マネーまたはクローズ・トゥ・ザ・マネーであると非公式に言うことができる。^[4]同様に、標準化されたオプション（固定セットの行使価格、たとえば1ドルごと）を考えると、どれが最も近いザ・マネーであるかを言うことができる。「ニア・ザ・マネー」は、厳密に言えば、最も近いザ・マネーの行使価格を指す。逆に、オプションがファー・フロム・ザ・マネーであると非公式に言うことができる。

インザマネー(ITM) オプションには、時間的価値だけでなく、プラスの本質的価値もあります。コール オプションは、権利行使価格がスポット価格を下回る場合にインザマネーになります。プット オプションは、権利行使価格がスポット価格を上回る場合にインザマネーになります。

「イン・ザ・マネー」のコールストックオプションでは、現在の株価が権利行使価格よりも高いため、オプションを行使すると、そのオプションの所有者に利益がもたらされます。これは、株式の市場価格からオプションの権利行使価格を差し引いたものに、オプションによって付与される株式数を掛けた値 (手数料を差し引いた値) に等しくなります。

アウトオブ ザ マネー(OTM) オプションには、本質的な価値はありません。コール オプションは、権利行使価格が原資産のスポット価格を上回る場合にアウト オブ ザ マネーになります。プット オプションは、権利行使価格がスポット価格を下回る場合にアウト オブ ザ マネーになります。

「アウト オブ ザ マネー」のコール ストック オプションでは、現在の株価が権利行使価格よりも低いため、オプションを行使する理由はありません。所有者はオプションを売却するか、価格が変化するのを待つことができます。

資産には、スポット価格だけでなく、先物価格 (将来の配達価格) もあります。また、先物価格に関して貨幣性について話すこともできます。つまり、ATMF、"ATM 先物" などについて話すのです。たとえば、USD/JPY のスポット価格が 120 で、1 年後の先物価格が 110 の場合、110 でストライクされたコールは ATMF ですが、ATM ではありません。

ITM オプションを購入することは、実質的には本質的価値の額の資金を貸し出すことです。さらに、ITM コールは、フォワードをエントリーして OTM プットを購入することで複製できます (逆の場合も同様)。したがって、ATM オプションと OTM オプションが主に取引されています。

直感的に言えば、マネーネスと満期までの時間は、オプションを評価するための2 次元座標系(通貨 (ドル) 価値またはインプライド ボラティリティ) を形成し、スポット (またはフォワード、またはストライク) からマネーネスへの変更は変数の変更です。したがって、マネーネス関数は、スポット価格 (またはフォワード、またはストライク) を入力し、マネーネスと呼ばれる実数を出力する関数Mです。変数の変更であるための条件は、この関数が単調 (すべての入力に対して増加するか、すべての入力に対して減少する) であることであり、関数はブラック ショールズ モデルの他のパラメーター、特に満期までの時間、金利、およびインプライド ボラティリティ(具体的には ATM インプライド ボラティリティ) に依存する可能性があり、次の関数が生成されます。

${\displaystyle M(S,K,\tau,r,\sigma),}$

ここで、Sは原資産のスポット価格、Kは権利行使価格、τは満期までの時間、rはリスクフリーレート、σはインプライドボラティリティです。フォワード価格Fは、スポット価格Sとリスクフリーレートr から計算できます。インプライドボラティリティを除いて、これらはすべて観測可能であり、インプライドボラティリティはブラックショールズ式を使用して観測可能な価格から計算できます。

この関数がマネーネスを反映するには、つまり、スポットとストライクが相対的に動くにつれてマネーネスが増加するためには、スポットSとストライクKの両方で単調でなければならず（同様に、 Sで単調なフォワードF も単調であり、これらのうち少なくとも 1 つは厳密に単調で、反対方向、つまりSで増加しKで減少する（コール マネーネス）か、S で減少しKで増加する（プット マネーネス）かのいずれかでなければなりません。多少異なる形式化も可能です。^[5]「有効な」マネーネスを定義するために、さらに公理を追加することもできます。

この定義は抽象的で、表記法が複雑です。実際には、比較的単純で具体的なマネーネス関数が使用され、関数への引数はわかりやすくするために抑制されています。

マネーネスを定量化する場合、参照オプションを指定せずに、スポット（またはフォワード）とストライクに関して単一の数値として計算されます。したがって、方向によって 2 つの規則があります。コール マネーネスでは、スポットがストライクに対して増加するとマネーネスが増加し、プット マネーネスでは、スポットがストライクに対して減少するとマネーネスが増加します。これらは、符号を変更することで切り替えることができ、シフト係数またはスケール係数を使用することもできます（たとえば、ストライクK のプットが ITM で満了する確率は、ストライクKのコールがITM で満了する確率から 1 を引いた値であり、これらは補完的なイベントです）。スポットとストライクを切り替えると、これらの規則も切り替わります。また、スポットとストライクはマネーネスの計算式では補完的であることが多いですが、必ずしもそうである必要はありません。どの規則を使用するかは、目的によって異なります。後続の例では、コールマネーネス（スポットが増加するとマネーネスが増加する）を使用し、マネーネスとしてコール デルタを使用するのと同じ方向です。

マネーネスはスポットとストライクの両方の関数ですが、通常、どちらかが固定され、もう一方は変化します。特定のオプションが与えられた場合、ストライクは固定されており、スポットが異なると、そのオプションのマネーネスは異なる市場価格で生じます。これは、オプションの価格設定やブラック・ショールズ公式の理解に役立ちます。逆に、特定の時点での市場データが与えられた場合、スポットは現在の市場価格で固定されていますが、オプションが異なればストライクも異なり、したがってマネーネスも異なります。これは、インプライド・ボラティリティ・サーフェスの構築、またはより簡単にボラティリティ・スマイルのプロットに役立ちます。^[1]

このセクションでは、単純だがあまり有用でない尺度から、より複雑だがより有用な尺度まで、マネーネスの尺度について概説する。^[6]マネーネスのより単純な尺度は、理論的な仮定なしに観測可能な市場データから直ちに計算できるが、より複雑な尺度では、インプライド・ボラティリティ、つまりブラック・ショールズ・モデルを使用する。

最も単純な（プット）マネーネスは固定ストライク・マネーネス^[5]で、M = Kであり、最も単純なコール・マネーネスは固定スポット・マネーネスで、M = Sである。これらは絶対マネーネスとも呼ばれ、座標を変更せず、マネーネスの尺度として生の価格を使用することに対応している。座標がKとT（テナー）である対応するボラティリティ面は絶対ボラティリティ面である。最も単純で自明でないマネーネスはこれらの比率、S / Kまたはその逆数K / Sであり、（スポット）単純マネーネス^[6]として知られ、類似のフォワード単純マネーネスがある。慣例的に、固定量は分母にあり、可変量は分子にあるため、ボラティリティ面を構築する場合など、単一のオプションとさまざまなスポットの場合はS / K、特定のスポットでのさまざまなオプションの場合はK / Sとなる。非自明な貨幣性Mと満期までの時間τを座標とするボラティリティ面は、相対ボラティリティ面（貨幣性Mに関して）と呼ばれます。

スポットはトレーダーによく使用されますが、理論的にはフォワードの方が優れているため好まれます。^{[6] [7]}そのため、以下ではF / Kを使用します。実際には、低金利と短期の期間の場合、スポットとフォワードの違いはほとんどありません。^[5]

（コール）単純マネーネスでは、ATM は 1 のマネーネスに対応し、ITM は 1 より大きい値、OTM は 1 より小さい値に対応し、ITM/OTM の等価レベルは逆数に対応します。これは対数を取ることで線形化され、対数単純マネーネス が得られます。対数単純マネーネスでは、ATM は 0 に対応し、ITM は正で OTM は負であり、ITM/OTM の対応するレベルは符号の切り替えに対応します。対数を取ると、フォワードまたはスポットに関するマネーネスは、次のように加算係数（割引係数の対数）によって異なることに注意してください。${\displaystyle \ln \left(F/K\right).}$${\displaystyle \ln \left(F/K\right)=\ln(S/K)+rT.}$

上記の尺度は時間とは無関係ですが、与えられた単純な貨幣性に対して、満期が近いオプションと満期が遠いオプションは異なる動きをします。満期が遠いオプションの方が原資産が変化する時間が長いからです。したがって、満期までの時間τを貨幣性に組み込むことができます。ブラウン運動の分散は時間の平方根に比例するので、単純な貨幣性の対数をこの係数で割ると次のようになります。^[8] これは満期までの時間に対して実質的に正規化されます。この貨幣性の尺度では、ボラティリティスマイルは満期までの時間とはほぼ無関係です。^[6]${\displaystyle \ln \left(F/K\right){\Big //\sqrt {\tau }}.}$

この指標は、原資産のボラティリティσを考慮していない。これまでの入力とは異なり、ボラティリティは市場データから直接観察することはできず、ブラック・ショールズ・モデルのATMインプライド・ボラティリティを主に使用して、何らかのモデルで計算する必要がある。分散はボラティリティに比例するため、ボラティリティで標準化すると次のようになる。^[9]

${\displaystyle m={\frac {\ln \left(F/K\right)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}$

これは標準化されたマネーネス（フォワード）として知られており、マネーネスを標準偏差単位で測定します。

言葉で言えば、標準化されたマネーネスは、現在の先物価格が権利行使価格より上回る標準偏差の数です。したがって、原資産の先物価格が権利行使価格に等しく、オプションがアット・ザ・マネー・フォワードである場合、マネーネスはゼロになります。標準化されたマネーネスは、この点からの標準偏差で測定され、正の値はイン・ザ・マネーのコールオプションを意味し、負の値はアウト・オブ・ザ・マネーのコールオプションを意味します（プットオプションの場合は符号が反転します）。

標準化された貨幣性は、ブラック・ショールズ公式の補助変数、すなわちd ₊ = d ₁およびd ₋ = d ₂という項と密接に関係しており、次のように定義されます。

${\displaystyle d_{\pm }={\frac {\ln \left(F/K\right)\pm (\sigma ^{2}/2)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}.}$

標準化された貨幣性は、以下の平均値です。

${\displaystyle m={\frac {\ln(F/K)}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}={\tfrac {1}{2}}\left(d_{-}+d_{+}\right),}$

順序は次のようになります。

${\displaystyle d_{-}},}$

それぞれの場合でのステップだけ異なります。これは小さいことが多いため、異なる解釈があるにもかかわらず、これらの量は混同されたり、混同されたりすることがよくあります。 ${\displaystyle \sigma {\sqrt {\tau }}/2}$

これらはすべて標準偏差の単位であるため、これらの値に対して標準正規 累積分布関数 N を評価することで、パーセンテージに変換するのが合理的です。これらの量の解釈はやや微妙で、 numéraireの特定の選択によるリスク中立的な尺度への変更で構成されます。簡単に言うと、これらは (コール オプションの場合) 次のように解釈されます。

• N ( d _{− ) は}バイナリーコールオプションの（将来価値）価格、または、オプションがヌメレールキャッシュ（リスクフリー資産）でITMで満了するリスク中立的な可能性です。
• N ( m )は標準化された貨幣性に対応するパーセンテージである。
• N ( d ₊ ) はデルタ、つまり、資産が numéraire の場合にオプションが ITM で満期を迎えるリスク中立確率です。

N は単調であるため（CDF であるため）、 これらは同じ順序になります。

${\displaystyle N(d_{-})<N(m)<N(d_{+})=\Delta .}$

これらのうち、N ( d ₋ ) は (リスク中立の)「期限切れにインザマネーになる可能性」であり、したがって理論的に正しいパーセントマネーネスであり、d ₋が正しいマネーネスです。パーセントマネーネスは、リスク中立の尺度でデリバティブが期限切れにインザマネーになる暗黙の確率です。したがって、マネーネスが 0 の場合、期限切れに ITM になる確率は 50% ですが、マネーネスが 1 の場合、期限切れに ITM になる確率は約 84% になります。

これは、ドリフトr (リスクフリー レート) と拡散σ (暗示的ボラティリティ) を伴う幾何ブラウン運動に従う資産に対応します。ドリフトは平均であり、対応する中央値 (50パーセンタイル)はr − σ ^{2 /2 であり、これが補正係数の理由です。これは}暗示的確率であり、現実世界の確率 ではないことに注意してください。

その他の量、つまり（パーセント）標準化マネーネスとデルタは、実際のパーセントマネーネスと同一ではありませんが、多くの実用例では、これらは非常に近い値になります（ボラティリティが高いか、満期までの時間が長い場合を除く）。デルタは、トレーダーによって（パーセント）マネーネスの尺度としてよく使用されます。^[5]デルタはマネーネスよりも大きく、（パーセント）標準化マネーネスはその中間にあります。したがって、25 デルタのコール オプションのマネーネスは 25% 未満（通常はそれよりわずかに少ない）であり、50 デルタの「ATM」コール オプションのマネーネスは 50% 未満です。これらの不一致は、バイナリ オプションと垂直スプレッドの価格に見られます。プットの場合、デルタは負であるため、負のデルタが使用されることに注意してください。より一貫して、デルタの絶対値はコール/プット マネーネスに使用されます。

( σ ² /2) τの係数の意味は比較的微妙です。d ₋とmの場合、これは幾何ブラウン運動(対数正規分布)の中央値と平均値 (それぞれ) の差に対応し、幾何ブラウン運動 の伊藤の補題における同じ補正係数です。 Delta で使用されているd ₊の解釈はより微妙で、最もエレガントには、numéraire の変更として解釈できます。より基本的な用語で言えば、オプションがインザマネーで期限切れになる確率と権利行使時の原資産の価値は独立ではありません。原資産の価格が高いほど、インザマネーで期限切れになる可能性が高くなり、権利行使時の価値も高くなります。これが Delta がマネー性よりも高い理由です。