Panjerの再帰

Panjerの再帰は、複合確率変数の確率分布近似を計算するためのアルゴリズムである。${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$ 両方${\displaystyle N\,}$そして${\displaystyle X_{i}\,}$は確率変数であり、特殊な型です。より一般的なケースでは、 Sの分布は複合分布です。検討された特殊なケースの再帰は、ハリー・パンジャー(ウォータールー大学名誉教授^{[ 2 ]} )の論文^{[ 1 ]}で紹介されました。これはアクチュアリー科学で広く使用されています(システミックリスクも参照)。

我々は複合確率変数に興味がある${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$どこ${\displaystyle N\,}$そして${\displaystyle X_{i}\,}$以下の前提条件を満たすこと。

このアルゴリズムは、再帰によって以下を計算する。${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$。

開始値は${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$特別な場合

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,}$

そして

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,}$

そして、

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{kj}.\,}$

次の例は、近似密度を示しています。${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$どこ${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$そして${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}$格子幅h = 0.04とする。（フレシェ分布を参照。）

前述のように、再帰の初期化時に問題が発生する可能性があります。GuéganとHassani（2009）は、その問題に対処するための解決策を提案しています。^{[ 5 ]}

• Panjerの再帰と、それと併用できる分布